平行线等分线段定理
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(共22张PPT)
做一做：
（1）在横格纸上画直线L1，使得L1与横线垂 直 ，观察L1被各条横线分成的线段是否相等。
（2）再画一条直线L2，那么L2被各条横线分成的线段有何关系？
L1
L2
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
结 论：
如何来证明？
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
l3
E
F
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1
∴EB1 =AB ，B1F=BC
∵AB=BC ∴EB1=B1F
又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F
∴A1B1=B1C1
4
3
2
1
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
平行线等分线段定理:
求证： A1B1=B1C1
证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于
点E、F
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
如果一组平行线在一条直线上截得
的线段 ，那么在其他直线上截得
的线段也
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l3
l2
符号语言
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
∴ A1B1=B1C1
？
？
相等
相等
平行线等分线段定理:
经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
？
？
A
B
C
D
E
F
符号语言：
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
推论1:
A
E
B
C
F
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
符号语言
∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB
∴AF=FC
推论2:
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的
直线，必平分另一腰。
？
？
A
B
C
D
E
F
符号语言：
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
？
？
A
E
B
C
F
推论2 经过三角形一边的中点与另一
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言
∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB
∴AF=FC
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
例题讲解：
已知：线段ＡＢ
求作：线段ＡＢ的五等分点。
Ａ
Ｂ
作法：１）作射线ＡＣ。
Ｃ
Ｆ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｈ
Ｉ
Ｊ
Ｋ
Ｌ
Ｍ
Ｎ
４）过点Ｇ、Ｆ、Ｅ、Ｄ分别作ＨＢ的平行线ＧＬ、ＦＫ、ＥＪ、ＤＩ，分别交ＡＢ于点Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ。
Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ就是所求的五等分点
２）在射线ＡＣ上顺次截取
ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。
３）连结ＨＢ。
判断题：
若AB∥CD∥EF，
A
B
C
D
E
F
AC=CE，
则 BD=DF=AC=CE.
( )
×
E是AB的中点，
则DG=
H是
E
F
B
C
A
D
G
H
的中点，
.
F是
的中点
BG
AC
CD
已知AD∥EF∥BC，
填空题：
填空题：
且AE=BE，
那么DF=
.
CF
已知AD∥EF∥BC，
E
F
B
C
A
D
AF交BE于O，且AO=OD=DF，
厘米.
若BE=60厘米，那么BO=
20
已知AB∥CD∥EF，
C
D
E
F
O
A
B
已知△ABC中，AB=AC，
AD⊥BC，
M是AD的中点，
CM交AB于P，
DN∥CM交AB于N，
如果AB=6厘米，
则PN=
厘米.
2
D
A
B
C
.
M
P
N
∟
已知△ABC中，CD平分∠ACB，
A
B
C
D
AE⊥CD交BC于E，
E
DF∥CB交AB于F，
F
AF=4厘米，
则AB=
厘米.
8
∟
证明题
1.已知：□ABCD中，E、F分别是AB、DC的
A
B
C
D
E
F
中点，
M
N
求证：BM=MN=NC.
分析：需证明EC∥AF.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC；
.
.
分别交BD于M、N，
∵E、F分别是AB、DC的中点，
∴AE=FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴EC∥AF,
∴BM=MN, MN=ND,
即BM=MN=ND.
CE、AF
2.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，
A
B
C
D
E
E是AB边的中点，
EF∥DC，交BC于F，
F
求证：DC=2EF.
证明：
M
作EM∥BC交DC于M，
∵E是梯形ABCD的腰AB的中点，
∴M是DC的中点，即DC=2MC；
∵EF∥DC，
∴EF=MC，
∴DC=2EF.
.
3.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，
ABDE是平行四边形，
AD的延长线交EC于F，
求证：EF=FC.
分析：需证明AF、BC在
其它直线上截得
相等的线段.
A
B
C
D
E
F
一、如图：有块三角形菜地，分配给三家农民耕种，边 AB紧靠水渠，P处是三家合用的肥料仓库，问怎样分地才能使得每家的耕地面积都相等且都临水渠和仓库，以便于运输和浇水 。
A
B
P
讨 论 题
一、如图：有块三角形菜地，分配给张、王、李三家农民耕种，已知张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人，菜地分配方法按人口比例，并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB，P处是三家合用的肥料仓库，所以点P 必须是三家地的交界地
要求：用尺规在图中作出各家菜地的分界线
（保留作图痕迹，不写作法、标出户名）
A
B
P
E
F
张
王
李
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的
直线，必平分另一腰。
？
？
A
B
C
D
E
F
图4
符号语言：
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
？
？
A
E
B
C
F
推论2 经过三角形一边的中点与另一
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言
∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB
∴AF=FC
图5
平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
小结
小结
1、平行线等分线段定理和两个推论
F
？
？
A
E
B
C
？
？
A
B
C
D
E
F
2、定理和推论的应用
(1)把线段n等分
(2)证明在同一直线上的线段相等
辅助线点滴：
有线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理及推论的基本图形。
：
做一做：
（1）在横格纸上画直线L1，使得L1与横线垂 直 ，观察L1被各条横线分成的线段是否相等。
（2）再画一条直线L2，那么L2被各条横线分成的线段有何关系？
L1
L2
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
结 论：
如何来证明？
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
l3
E
F
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1
∴EB1 =AB ，B1F=BC
∵AB=BC ∴EB1=B1F
又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F
∴A1B1=B1C1
4
3
2
1
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
平行线等分线段定理:
求证： A1B1=B1C1
证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于
点E、F
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
如果一组平行线在一条直线上截得
的线段 ，那么在其他直线上截得
的线段也
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l3
l2
符号语言
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
∴ A1B1=B1C1
？
？
相等
相等
平行线等分线段定理:
经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
？
？
A
B
C
D
E
F
符号语言：
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
推论1:
A
E
B
C
F
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
符号语言
∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB
∴AF=FC
推论2:
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的
直线，必平分另一腰。
？
？
A
B
C
D
E
F
符号语言：
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
？
？
A
E
B
C
F
推论2 经过三角形一边的中点与另一
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言
∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB
∴AF=FC
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
例题讲解：
已知：线段ＡＢ
求作：线段ＡＢ的五等分点。
Ａ
Ｂ
作法：１）作射线ＡＣ。
Ｃ
Ｆ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｈ
Ｉ
Ｊ
Ｋ
Ｌ
Ｍ
Ｎ
４）过点Ｇ、Ｆ、Ｅ、Ｄ分别作ＨＢ的平行线ＧＬ、ＦＫ、ＥＪ、ＤＩ，分别交ＡＢ于点Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ。
Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ就是所求的五等分点
２）在射线ＡＣ上顺次截取
ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。
３）连结ＨＢ。
判断题：
若AB∥CD∥EF，
A
B
C
D
E
F
AC=CE，
则 BD=DF=AC=CE.
( )
×
E是AB的中点，
则DG=
H是
E
F
B
C
A
D
G
H
的中点，
.
F是
的中点
BG
AC
CD
已知AD∥EF∥BC，
填空题：
填空题：
且AE=BE，
那么DF=
.
CF
已知AD∥EF∥BC，
E
F
B
C
A
D
AF交BE于O，且AO=OD=DF，
厘米.
若BE=60厘米，那么BO=
20
已知AB∥CD∥EF，
C
D
E
F
O
A
B
已知△ABC中，AB=AC，
AD⊥BC，
M是AD的中点，
CM交AB于P，
DN∥CM交AB于N，
如果AB=6厘米，
则PN=
厘米.
2
D
A
B
C
.
M
P
N
∟
已知△ABC中，CD平分∠ACB，
A
B
C
D
AE⊥CD交BC于E，
E
DF∥CB交AB于F，
F
AF=4厘米，
则AB=
厘米.
8
∟
证明题
1.已知：□ABCD中，E、F分别是AB、DC的
A
B
C
D
E
F
中点，
M
N
求证：BM=MN=NC.
分析：需证明EC∥AF.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC；
.
.
分别交BD于M、N，
∵E、F分别是AB、DC的中点，
∴AE=FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴EC∥AF,
∴BM=MN, MN=ND,
即BM=MN=ND.
CE、AF
2.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，
A
B
C
D
E
E是AB边的中点，
EF∥DC，交BC于F，
F
求证：DC=2EF.
证明：
M
作EM∥BC交DC于M，
∵E是梯形ABCD的腰AB的中点，
∴M是DC的中点，即DC=2MC；
∵EF∥DC，
∴EF=MC，
∴DC=2EF.
.
3.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，
ABDE是平行四边形，
AD的延长线交EC于F，
求证：EF=FC.
分析：需证明AF、BC在
其它直线上截得
相等的线段.
A
B
C
D
E
F
一、如图：有块三角形菜地，分配给三家农民耕种，边 AB紧靠水渠，P处是三家合用的肥料仓库，问怎样分地才能使得每家的耕地面积都相等且都临水渠和仓库，以便于运输和浇水 。
A
B
P
讨 论 题
一、如图：有块三角形菜地，分配给张、王、李三家农民耕种，已知张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人，菜地分配方法按人口比例，并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB，P处是三家合用的肥料仓库，所以点P 必须是三家地的交界地
要求：用尺规在图中作出各家菜地的分界线
（保留作图痕迹，不写作法、标出户名）
A
B
P
E
F
张
王
李
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的
直线，必平分另一腰。
？
？
A
B
C
D
E
F
图4
符号语言：
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
？
？
A
E
B
C
F
推论2 经过三角形一边的中点与另一
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言
∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB
∴AF=FC
图5
平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
小结
小结
1、平行线等分线段定理和两个推论
F
？
？
A
E
B
C
？
？
A
B
C
D
E
F
2、定理和推论的应用
(1)把线段n等分
(2)证明在同一直线上的线段相等
辅助线点滴：
有线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理及推论的基本图形。
：