山东省济宁汶上一中2011-2012学年高二3月月考 数学理试题

汶上一中11-12学年高二3月月考
数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．
1．复数的平方是一个实数的充要条件是 （ ）
A． a=0且b≠0 B． a≠0且b=0 C． a=0且b=0 D． a=0或b=0
2．△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则b边所对的角为 （ ）
(A) 锐角 (B) 钝角 C． 直角 D．不能确定
3．函数，则 （ ）
A．在上递增； B．在上递减；(C)在上递增； D．在上递减
4．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（　　）
A．1 B． C． D．
5．已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )
A．-16 D． a<-1或a>2
6．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位
女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．360 B．288 C．216 D．96
7. 曲线与轴所围成图形的面积为（ ）
A． B．3 C． D．4
8.若,则的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
9. 直线x－y－1=0与实轴在y轴上的双曲线x2－y2=m (m≠0)的交点在以原点为中心，边长
为2且各边分别平行于坐标轴的正方形内部，则m的取值范围是（ ）
A．010．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c(　　)
A．有最大值 B．有最大值－ C．有最小值 D．有最小值－
11．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则的值为（ ）
A．- B． C．-2 D．2
12.已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是 ( )
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知抛物线的焦点F恰好是椭圆的左焦点，且两曲线的公共点的连线过F，则该椭圆的离心率为
14．平面上有相异10个点，每两点连线可确定的直线的条数是每三点为顶点所确定的三角形个数的，若无任意四点共线，则这10个点的连线中有且只有三点共线的直线的条数为__________条．
15．关于二项式，有下列三个命题：①.该二项式展开式中非常数项的系数和是； ②.
该二项式展开式中第项是；③.当时，除以的余数是．其中正确命题的序号是　　 　（把你认为正确的序号都填上）．
16.若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积____________________________.
三、解答题：（共6小题，共计70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
18.（本小题满分12分）某学校拟建一座长米,宽米的长方形体育馆．按照建筑要求,每隔米需打建一个桩位,每个桩位需花费万元（桩位视为一点且打在长方形的边上）,桩位之间的米墙面需花万元,在不计地板和天花板的情况下,当为何值时,所需总费用最少？
19．（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.
（1）求证：A1C//平面AB1D；
（2）求二面角B—AB1—D的正切值；
（3）求点C到平面AB1D的距离.
20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
求椭圆的方程；
设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值
21．（本小题满分12分）已知函数函数是区间
上的减函数.
（1）当曲线在点的切线与轴、轴围成的三角形面积为，求的最大值；
（2）若时恒成立，求t的取值范围；
（3）试判定函数在区间内的零点个数，并作出证明．
22. （本小题满分12分）设函数，其中.
（1）讨论在定义域内的单调性；
（2）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.
参考答案：
1-5 DADDC 6-10 BACCB 11-12 AC
13． _____ 14。 3 __
15． ①、③ _____
16.
17． （1），
，
（2）猜想： 即：
（n∈N*）
下面用数学归纳法证明
n=1时，已证S1=T1
假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：
则
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立.
18．由题意可知，需打个桩位．
墙面所需费用为：，
∴所需总费用
（）
令，则，
当时，；当时，．∴当时，取极小值为．
而在内极值点唯一，所以．∴当时，（万元），即每隔3米打建一个桩位时，所需总费用最小为1170万元．
19． 建立空间直角坐标系D—xyz，如图，
（1）证明：连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.
设A1A = AB = 1，则
，
2）解：， ，
设是平面AB1D的法向量，则，
故；
同理，可求得平面AB1B的法向量是
设二面角B—AB1—D的大小为θ，
，∴
（3）解由（II）得平面AB1D的法向量为，
取其单位法向量
∴点C到平面AB1D的距离
20．（1）由，得，再由，得
由题意可知， 解方程组 得 a=2,b=1
所以椭圆的方程为
(2)由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),
于是A,B两点的坐标满足方程组
由方程组消去Y并整理，得
由得
设线段AB是中点为M，则M的坐标为
以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是
（2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为
令x=0，解得由
整理得综上
21． ①因为，切线的斜率为切点
故切线的方程为即，…1分
令得,又令得
所以
从而
∵当时，,当时,,
所以的最大值为
②由①知：，
上单调递减，
即在[-1，1]上恒成立，
要使时恒成立
因
（其中）恒成立，
令，
则恒成立，
③函数连续，且
当时,为减函数,
当时, 为增函数,
根据函数极值判别方法，为极小值，而且
对都有
故当整数时，
所以当整数时， ，
函数在 上为连续减函数.
由所给定理知，存在唯一的
而当整数时，
类似地，当整数时，函数在 上为连续增函数且与异号，由所给定理知，存在唯一的故当时，方程在内有两个实根 ………15分
22.（1）函数定义域为
记
当在无解，即时，在单调递增
当在有两个不等实根，即在有两个不等实根，
设，则，即时，在单调递增，在单调递减，在单调递增
3）当在仅有一实根，在单调递减，在单调递增
（2）对于函数，令函数，
则，，
所以函数在上单调递增，又时，恒有，
即恒成立.取，则有恒成立.
显然，存在最小的正整数N=1，使得当时，不等式恒成立.
-2
2
O
1
-1
-1
1