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一元二次方程根的判别式
桐城市石南初中
丁
萍
一元二次方程的一般形式：
二次项系数
，一次项系数
，常数项
.
a
b
c
解一元二次方程的方法：
直接开平方法
因式分解法
配方法
公式法
用公式法解下列方程
一元二次方程的求根公式：
一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程
你能谈论一下它的根的情况吗?
在什么情况下，一元二次方程有解?有什
么样的解?
什么情况下一元二次方程无解?
想一想
一元二次方程的根的情况：
1.当
时，方程有两个不相等的实数根
2.当
时，方程有两个相等的实数根
3.当
时，方程没有实数根
反过来：
1.当方程有两个不相等的实数根时，
2.当方程有两个相等的实数根时，
3.当方程没有实数根时，
问题一：不解方程，判断一元二次方程的根的情况
解：
这里a=5，b=-3，c=-2，
△=b2-4ac=9-4×5×(-2)=49>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
解：原方程化为:25y2-20y+4=0
这里a=25，b=-20，c=4，
△=b2-4ac=400-4×25×4=0，
所以方程有两个相等的实数根．
解：这里，
△=b2-4ac=3-4×2×1=-5<0，
所以方程无实数根．
问题二：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围
已知关于x
的一元二次方程
当m取什么值时：
1、方程有两个不相等的实数根
2、方程有两个相等的实数根
3、方程没有实数根
解：
（1）当
，即
时，方程有两个不相等的实数根.
（2）当
，即
时，方程有两个相等的实数根.
（3）当
，即
时，方程没有实数根
如果关于x的一元二次方程
(k-2)x2+k=(2k-1)x有实数根，那么k的取值范围是什么？
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
①本节课你学到了什么知识？掌握了什么方法？
②本节课你有什么收获？还有什么疑问?
布置作业：P33
1、3、4一元二次方程根的判别式
桐城市石南初中
丁
萍
一、教学目标
【知识和技能】
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；
2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；
3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.
【过程和方法】
1.培养学生的探索、创新精神；
2.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.
【情感态度价值观】
1.向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；
2.加深师生间的交流，增进师生的情感；
3.培养学生的协作精神.
二、教学重点、难点
教学重点：会用判别式判定根的情况，用根的判别式解决实际问题.
教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导.
三、教具准备
多媒体课件
四、课时安排
（1课时）
五、教学过程
<一>
复习提问
1、一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项.
2、解一元二次方程的方法.
一元二次方程的求根公式：
<二>
设置悬念，进入新课
同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程,那么，现在丁老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我．
（学生会争先恐后地编题考老师．）
你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘．
用公式法解一元二次方程:
⑴x2+3x+2=0
⑵
x2+8x+16=0
⑶3y2+10=2y
注：找三名学生板演，其余学生在位上做．
（学生都会在积极解答，寻找其中的奥秘．）
<三>
启发引导，发现结论
请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，每题都是先确定了a、b、c的值，然后求出x1,x2，b2-4ac在解方程起着重要的作用，显然我们可以根据b2-4ac的值的符号来判断一元二次方程的根的情况，因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△（读作delta，它是希腊字母）”来表示，即△=b2-4ac．
我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美．
通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种，谁能总结出来？
我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：
①
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②
当△＝0时，方程有两个相等的实数根
；
③
当△＜0时，方程没有实数根．
课本中“上述判断反过来说，也是正确的”这句话可以理解为原命题的逆命题是正确的.
①
若方程有两个不相等的实数根，则△＞0；
②
若方程有两个相等的实数根，
则△=0；
③
若方程没有实数根，
则△＜0．
原命题与逆命题的用途不同:
原命题的用途是：在不解方程的情况下，根据△值的符号，用原命题来判断方程根的情况．
逆命题的用途是：在已知方程根的情况下，用逆命题来确定△值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范围．
注意运用原命题与逆命题时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用．
<四>应用新知
例1
不解方程，判断一元二次方程的根的情况
⑴
⑵
⑶
解：
⑴
这里a=5，b=-3，c=-2，△=b2-4ac=9-4×5×(-2)=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根．
⑵
⑶
两名学生板演，其余学生在位上做．
例2
当取何值时，关于的方程
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
解：
（1）当，即时，方程有两个不相等的实数根.
（2）当，即时，方程有两个相等的实数根.
（3）当，即时，方程没有实数根
例3
当取何值时，关于的方程有实数根？并求出这时方程的根（用含的代数式表示）.
分析：利用一元二次方程的根的判别式来判断.
解:
原方程可化为：
当时，即时，方程有实数根.
这时，方程的根是，
即
教学结论：判定含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是：把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△=－4ac的值；根据根的判别式，写出结论．
【说明】解字母方程是学生学习的薄弱处，在教学中应加以重视.
试一试：
如果关于x的一元二次方程(k-2)x2+k=(2k-1)x有实数根，那么k的取值范围是什么？(由学生完成解题过程后，教师评价.)
实系数一元二次方程有实数根必须具备两个条件：（1）；（2），两者不可缺一，但在实际应用时，学生往往会忽视的情况，在教学时应引起注意.
<五>
课堂练习
P32
练习
1、2
<六>
小结与评价
1.本节课你学到了什么知识？掌握了什么方法？
2.本节课你有什么收获？还有什么疑问?
<七>
布置作业
P33
1、3、4
六、板书设计（略）
七、教学反思
