3.1.1数系的扩充和复数的概念11

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3.1数系的扩充和复数的概念
3.1.1数系的扩充和复数的概念
第三章
数系的扩充和复数的概念
数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实
从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？
知识回顾
N
Z
Q
R
我们可以用下面一组方程来形象的说明
数系的发展变化过程：
（1）在自然数集中求方程 x-1＝0的解？
（2）在整数集中求方程 x+1＝0的解？
（3）在有理数集中求方程 x2-2＝0的解？
（4）在实数集中求方程 x2+1＝0的解？
自然数集
整数集
有理数集
实数集
知识引入
对于一元二次方程 没有实数根．
我们已经知道：
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
思考？
实际上，早在16世纪时期，数学家们就已经解决了这个矛盾，而且形成了一整套完整的理论。因为这个新数不是实数，就称为虚数单位，英文译名为imaginary number unit.所以，用“i”来表示这个新数。
引入一个新数：
引入的新数必须满足一定的条件，才能进行相关的运算，虚数单位i应满足什么条件呢？
新课讲解
引入一个数 i ，规定：
（1）它的平方等于-1 即i 2 1；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。
由上述规定出现了
形如a+bi(a,b∈R)的数.
（1）、复数：
（2）、复数集：
新课讲解
1、概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示
即 C={ a+bi |a,b∈R}.
实部
2、复数的代数形式：
通常用字母 z 表示，即
虚部
其中 称为虚数单位。
讲解新课
说出下列复数的实部和虚部
练一练
Z=0 + 0 i
复数集C和实数集R之间有什么关系？
讨论？
3.复数的分类：



í
ì

í
ì


0
0
b
a
且
非纯虚数

=
0
0
b
a
且
纯虚数
0

b
虚数
=
0
b
实数
虚数集
复数集
实数集
纯虚数集
4.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
注：
2) 一般来说，两个不全为实数的复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
0
0，
实数：
虚数：
纯虚数：
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则z= a一定不是虚数
×
×
√
若b=0则
z为实数
若z=bi为纯虚数则
例1.实数 m 取什么数值时，复数z=m +1+(m－1)i是：
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解：复数z=m+1+(m－1)i 中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，
∴（1） 当m－1 =0，即m=1时，复数z是实数；
（2） 当m－1 ≠0，即 m≠1时，复数z是虚数；
（3）当 时，即m=－1时，z是纯虚数；
练习:当m为何实数时，复数
是（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
例2.已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x, y∈R，求x, y值.
解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部 ，虚部等于虚部，得方程组，
解得 x= , y =4.
1.对于实数m,指出复数z的实部和虚部;
2.实数m为何值时，
（1）实数？
（2）虚数？
（3）零？
（4）纯虚数？
（5）负数？
知识拓展