高中数学回归分析_课件苏教版选修1-2

(共20张PPT)
回归分析
对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据：
问题情境：
时刻 x/s 1 2 3 4 5 6 7 8
位置观测值 y/cm 5.5 7.5 10.0 11.7 15.7 16.1 17.0 21.1
问题：试估计x为9s时的位置y的值是多少？
0
2
4
6
8
10
5
10
15
20
25
●
●
●
●
●
●
●
●
方法是：先作出散点图，如下所示
从图中我们看出点呈直线趋势，即时间x与观测值y之间有着较好的线性关系。再根据《数学》（必修3）的线性回归的系数公式得线性回归方程为：
那么问题就解决了！
学生活动：
这个结果是否一定很准确？为什么？
结果不准确，而是存在一些误差，其原因有：①所用的确定型函数不恰当②忽略了某些因素的影响③存在观测误差
注：两个相互联系的变量之间的关系大体有两种：一是确定性函数关系，另一个是非确定性关系（如相关关系）
建构数学：
用
表示上述两个变量x与y关系，也称为线性回归模型。
其中
是确定性函数关系， 表示随机误差 。
对于一个问题来说，如果用
这样的模型表示两个变量的关系，那么
（1）这个模型合理吗？
（2）如果模型合理，又如何求出其中的a与b的值？
先解决问题（2）：如何求a与b的精确值？
设有n对数据
先描出散点图（部分）如下所示：
0
2
4
6
8
10
5
10
15
20
25
A●
●
●
●
●
●
●
●B
图中每一个点，都有一对应的随机误差
我们希望总误差最小，即下式值最小
而此时求出的a与b值可作为较精确的值，
通常记为
计算公式为：
（1）
此处为最小二乘法（见《数学》必修3）
也可以化为
称为线性回归方程，对应的直线为回归直线， 为回归截距， 为回归系数， 为回归值。
数学应用1：
例1：下表给出了我国从1949年到1999年的人口数据资料，根据表中数据估计我国2004年的人口数。
年份(x) 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999
人口数/百万(y) 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246
求回归方程步骤：
（1）作散点图（有样本点是否呈直线趋势来判断两个变量是否线性相关）
（2）根据公式求回归系数 和回归截距
（3）写出回归方程，根据需要进行预测估计
简解：作出散点图发现点在一条直线附近，可以用
来表示变量x与y关系，根据公式（1）算得
则线性回归方程为
从而估计出2004年的人口数。
再解决问题（1）：检验模型是否合理？
对随机抽取的n对数据
样本相关系数r的计算公式为
（2）
称为对两个变量的相关性检验
相关系数r的性质：
（1）
（2） 越接近于1,x与y的线性相关
程度越强；
（3） 越接近于0,x与y的线性相关程度越弱；
对r进行显著性检验，步骤如下：
（1）提出统计假设 ：变量x, y不具有线性
相关关系
（2）如果以95%的把握做判断，通过课本93页的附录1查出一个r的临界值
（其中1-0.95=0.05称为检验水平）
（3）计算样本相关系数r
（4）做出统计判断：
若 则否定假设 ,表明有95%的
把握认为变量x, y之间具有线性相关关系；
若 则不拒绝假设，即没有充分理由
认为变量x, y具有线性相关关系
对于刚才讲的例题1，可以这样检验：
（1）提出统计假设 ：变量x, y不具有线性相关关系
（2）由0.05与 在课本93页查得
（3）根据公式（2）计算得线性相关系数为r =0.998
（4）因为|r| =0.998>0.602，所以有95%的把握认为变量
x, y具有线性相关关系，即所求出的线性方程是有意义的
例2：随机抽取8对母女的身高数据，试根据这些数据探讨y与x之间的关系。
母亲身高x/cm 154 157 158 159 160 161 162 163
女儿身高y/cm 155 156 159 162 161 164 165 166
数学应用2：
简解：作出散点图发现点在一条直线附近，
∵
几个值都可以算出来（通过计算器计算）
∴
又∵
∴认为x与y具有线性关系
又由公式（1）得
则回归方程为
提醒：
在用公式（2）计算样本相关系数r时，需要根据
公式特点先求出
回顾反思：
1.判断两个变量是否具有线性相关关系，可以通过散点图或者进行相关性检验判断。
2.对具有线性关系的两个变量，他们的回归方程通过公式（1）来求出，方程到底是否有意义还需要进行相关性检验（用到公式（2））来判断。