第六讲：数列 ( http: / / www.21cnjy.com / )1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． ( http: / / www.21cnjy.com / )2、理解等差数列的概念，等差数列的通项公式与前n项和的公式 ( http: / / www.21cnjy.com / )3、理解等比数列概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 ( http: / / www.21cnjy.com / )类型一：an与Sn的关系例1. 数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3……求：{an}的通项公式；
变式训练1.设数列的前项的和，
求首项与通项。
类型二：由递推关系式求通项例2. 根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式． ( http: / / www.21cnjy.com / )⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2) ( http: / / www.21cnjy.com / )⑵ a1＝1，an＝ (n≥2) ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑶ a1＝1，an＝ (n≥2) ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求该数列的通项公式． ( http: / / www.21cnjy.com / )
类型三：证明等差或等比
例3. 已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝．
⑴ 求证：数列{bn}是等差数列．⑵ 求数列{an}的通项公式．
变式训练3.已知，，数列满足，， ．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；
类型四：等差（比）数列的定义和性质
例4. 已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}前n项和。求Tn．
变式训练4.已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．
类型五：数列求和
例5. （1）已知数列：1，，，，…，，求它的前n项的和Sn．
（2.） 求Sn＝1＋＋＋…＋．
变式训练5.设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
⑴ 求数列{an}和{bn}通项公式．
⑵ 设Cn＝，求数列{Cn}前n项和Tn ．
类型六：数列综合
例6.已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：（1）数列是等比数列；
⑵设数列，求证：数列是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和。
例7、已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
数列章节测试题
一、选择题：
1、在数列中，， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．{an}是等差数列，，则使的最小的n值是（ ）
A．5 B． C．7 D．8
4、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案
则第个图案中有白色地面砖的块数是（ ）
A. B.
C. D.
5.若数列前100项之和为0，则的值为（ ）
A. B. C. D.以上的答案均不对
6.设2a=3,2b=6,2c=12,则数列a,b,c成
A.等差 B.等比 C.非等差也非等比 D.既等差也等比
二、填空题
7、设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .
8、由正数构成的等比数列{an}，若，则 ．
9．已知数列的前项和为某三角形三边之比为，则该三角形最大角为 ．
10、给定（n∈N*），定义乘积为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为 ．
三、解答题
11、已知函数是一次函数，且成等比数列，设，()（1）求；（2）设，求数列的前n项和。
12、数列{an}的前n项和记为Sn，
（1）求{an}的通项公式;
（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且，又成等比数列，求Tn
13、已知数列中，，，其前项和满足（，）．（1）求数列的通项公式；
（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．
14、已知直线与圆交于不同点An、Bn,其中数列满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前n项和.
参考答案:例1. an＝ 变式训练1. （其中n为正整数）
例2.解：⑴ an＝2n－1．⑵an＝． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)∵∴an＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )变式训练2. an＝例3.(1)数列{bn}是公差为的等差数列．
⑵ ∵ b1＝＝故由⑴得：bn＝＋(n－1)×＝即：＝ 得：an＝a(1＋)
变式训练3.（I）．∴以为首项，公比的等比数列．
（II）．当n=7时，，；
当n<7时，，；当n>7时，，．
∴当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．
例4.∴Tn＝ 变式训练4. 解得q＝，n＝6
例5. （1）Sn＝(2－1)＋＋＋…＋＝2n－
＝2n－＝2n－2＝＋2n－2
（2）解：∵ an＝＝＝2(－)
∴ Sn＝2(1－＋－＋…＋－)＝
变式训练5.解：（1）an＝4n－2， bn＝b1qn－1＝（2）∵Cn＝＝
Tn＝．
例6、解：(1)数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．
当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．
例7、解：（Ⅰ） f(x)＝3x2－2x. an＝6n－5 （）
（Ⅱ）故Tn＝＝（1－）.
要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，
数列章节测试题参考答案
一、选择题A D B D C A
二、填空题7、-72 8、7 9、 10、2026．
解：换底公式：．为整数，，m∈N*．k分别可取，最大值≤2008，m最大可取10，故和22+23+…+210-18=2026．
三、解答题
11、解：（1）∴ ∴，∴＝
（2）∵
∴＝
2＝
－＝＝
∴＝。
12、（I）由可得，两式相减得
又 ∴，故{an}是首项为1，公比为3得等比数列 ∴.
（II）设{bn}的公差为d，由得，可得，可得，
故可设 又由题意可得
解得
∵等差数列{bn}的各项为正，∴，∴ ∴
13、解：（1）由已知，（，），
即（，），且．∴．
（2）∵，∴，要使恒成立，
∴恒成立，
∴恒成立，∴恒成立．
（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1，∴．
（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，
仅当时，有最大值，∴． 即，又为非零整数，则．
综上所述，存在，使得对任意，都有
14．（1）圆心到直线的距离，
（2） 相减得
考纲导读
典型例题
知识网络
第1个
第2个
第3个
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1第七讲：解析几何 ( http: / / www.21cnjy.com / )
类型一：直线
例1. 设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点p，使为最小，并求出这个最小值．
变式训练1： 直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．
类型二：圆
例2. 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A、B两点，且OA⊥OB，求a的值．
变式训练2. 过⊙：x2＋y2＝2外一点P(4，2)向圆引切线．
⑴ 求过点P的圆的切线方程．
⑵ 若切点为P1、P2求过切点P1、P2的直线方程．
类型三：线性规划
例3. 已知x、y满足约束条件 分别求：
⑴ z＝2x＋y
⑵ z＝4x－3y
⑶ z＝x2+y2的最大值、最小值？
变式训练3：给出平面区域如下图所示，目标函数t＝ax－y，
(1) 若在区域上有无穷多个点(x，y)可使目标函数t取得最小值，求此时a的值．
(2) 若当且仅当x＝，y＝时，目标函数t取得最小值，求实数a的取值范围？
类型四：求轨迹
例4：已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
变式训练4： 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，
且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
类型五：圆锥曲线
例5：（分类讨论）平面内与两定点A1(－a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数 ( http: / / gk." \o "欢迎登陆全品高考网! )m的动点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．
求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
例6：（椭圆） 在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？
例7. （双曲线）设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。
（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；
（2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；
（3）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。
例8：（抛物线）过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.
(1) 设点分有向线段所成的比为，证明:;
(2) 设直线的方程是，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆 HYPERLINK "http://www." 的方程.
圆锥曲线单元测试题
一、选择题
1． AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是 （ ）
A．2 B． C． D．
2．若双曲线的一条准线与抛物线y2＝8x的准线重合，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C．4 D．
3． 已知抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1), B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝, 那么m的值等于（ ）
A． B． C． 2 D．3
4．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且＝0，则点M到x轴的距离为 （ ）
A． B． C． D．
5．点P(－3，1)在椭圆(a>b>0)的左准线上，过点P且方向为＝(2,－5)的光线，经直线y＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4的距离最近的点是 .
7．双曲线3x2－4y2－12x＋8y－4＝0按向量平移后的双曲线方程为，则平移向量＝ ．
8．P在以F1、F2为焦点的双曲线上运动，则△F1F2P的重心G的轨迹方程是—————————．
9．椭圆中，以M(－1，2)为中点的弦所在直线的方程为 .
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）．
三、解答题
10．已知双曲线的离心率为2，它的两个焦点为F1、F2，P为双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求双曲线的方程．
11．已知动圆C与定圆x2＋y2＝1内切,与直线x＝3相切.
(1) 求动圆圆心C的轨迹方程；
(2) 若Q是上述轨迹上一点，求Q到点P(m,0)距离的最小值.
12．如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点．
(1) 写出直线的截距式方程；
(2) 证明：；
(3) 当时，求的大小．
13．设x，y∈R，,为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若＝x＋(y＋2)，＝x＋(y－2)，且||＋||＝8
(1) 求动点M（x，y）的轨迹C的方程．
(2) 设曲线C上两点A、B，满足(1)直线AB过点（0，3），(2) 且OAPB为矩形，求直线AB方程.．
14．动圆M过定点A(－，0)，且与定圆A ：(x－)2＋y2＝12相切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0，2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求的取值范围．
第7讲参考答案：
例1. P(，3) 变式训练1： C(2, 4) △ABC是直角三角形
例2. (1)圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2) a＝－1.
变式训练2. (1)∴切线方程：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0 (2)直线2 x＋y－1＝0即为所求
例3. (1) zmax＝9 zmin＝－13 (2)zmax＝14 zmin＝－18 (3) zmax＝37 zmin＝0
变式训练3：(1)a＝kAC＝＝－ (2)由KAC < a< KBC 得－< a<－
例4：轨迹方程为x2-=1 (x≤-1). 变式训练4： x2+y2=56. 这就是Q点的轨迹方程.
例6：（Ⅰ）曲线C的方程为．（Ⅱ）
例7.
解：（1）点T的坐标为（2，0） （2）轨迹E的方程
（3）
例8：(2) 圆的方程是 (或 HYPERLINK "http://www." )
圆锥曲线单元测试题答案
C A B C A (1，1) (－2，－1) 9x－32y＋73＝0
10.故所求双曲线方程为：
11．解：(1)轨迹方程为 (2) 设，则当，即时
当，即时，
12．解：(1) (2) 由直线方程及抛物线方程可得：
by2＋2pay－2pab＝0故 所以
(3) 设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2
则.当a＝2p时，知y1y2＝－4p2，x1x2＝4p2
所以，k1k2＝－1，即MON＝90°．
13．( 1 ) 解：令M(x，y)，F1(0,－2)，F2(0，2)则＝，＝，即
||＋||＝||＋||，即||＋||＝8
又∵ ＝4＝2c，∴ c＝2，a＝4，b2＝12所求轨迹方程为
( 2) 解：由条件(2)可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在，设AB方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (3k2＋4)x2＋18kx－21＝0
x1＋x2＝－ x1·x2＝
y1·y2＝(kx1＋3) (kx2＋3)＝k2 x1x2＋3k(x1＋x2)＋9
＝∵ OAPB为矩形，∴ OA⊥OB ＝0∴ x1x2＋y1y2＝0 得k＝±
所求直线方程为y＝±x＋3．
14．解：(1)A (，0)，依题意有|MA |＋＝2
|MA |＋|MA|＝2 ＞2
∴点M的轨迹是以A 、A为焦点，2为长轴上的椭圆，∵a＝，c＝ ∴b2＝1．因此点M的轨迹方程为
(2) 解法一：设l的方程为x＝k(y－2)代入，消去x得：(k2＋3)y2－4k2y＋4k2－3＝0由△＞0得16k4－(4k2－3)(k2＋3)＞0 0≤k2＜1
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝
又＝(x1，y1－2)，＝(x2，y2－2)∴·＝x1x2＋(y1－2)(y2－2)
＝k(y1－2)·k (y2－2) ＋(y1－2)(y2－2)＝(1＋k2)
＝∵0≤k2＜1 ∴3≤k2＋3＜4 ∴·∈
典型例题
x
y
O
M
l
a
N
b
x
y
F
A(－,0)
E
M
P(0, 2)
A (,0)
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1第八讲：概率统计
类型一：计数原理
例1. 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有( )
A．22种 B．24种 C．25种 D．36种
C 【解析】 根据分析，a＝1，则b＋c＝11，只能是(5,6)，(6,5)，2种情况；a＝2，则b＋c＝10，只能是(4,6)，(5,5)，(6,4)，3种情况；若a＝3，则b＋c＝9，只能是(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，4种情况；a＝4，则b＋c＝8，只能是(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，5种情况；a＝5，则b＋c＝7，只能是(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，6种情况；a＝6，则b＋c＝6，只能是(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，5种情况．故总计2＋3＋4＋5＋6＋5＝25种可能．
变式训练1. [2011·四川卷]在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α＝(a，b)，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m，则＝( ) A. B. C. D.
【解析】 B 因为当＝(a1，a2)，＝(b1，b2)，则以，为邻边的四边形的面积S＝||||sin∠POQ＝||||·＝＝＝|a1b2－a2b1|.根据条件知平行四边形面积不超过4可转化为|a1b2－a2b1|≤4(※)．由条件知，满足条件的向量有6个，即α1＝(2,1)，α2＝(2,3)，α3＝(2,5)，α4＝(4,1)，α5＝(4,3)，α6＝(4,5)，易知n＝C＝15.而满足(※)式的有向量α1和α2、α1和α4、α1和α5、α2和α3、α2和α6共5个，即＝.
类型二：排列组合
例2. 例2在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且女医生不安排在同一乡医院工作，则不同的分配方法总数为( )
A．78 B．114 C．108 D．120
B 【解析】 五人分组有(1,1,3)，(1,2,2)两种分组方案，方法数是＋＝25，故分配方案的总数是25A＝150种．当仅仅两名女医生一组时，分组数是C，当两名女医生中还有一名男医生时，分组方法也是C，故两名女医生在一个医院的分配方案是6A＝36.符合要求的分配方法总数是150－36＝114.
变式训练2. （1）某中学高三年级共有12个班级，在即将进行的月考中，拟安排12个班主任老师监考数学，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任老师监考，则不同的监考安排方案共有( )
A．4455种 B．495种 C．4950种 D．7425种
【分析】 分两个步骤，第一步，使8个班的班主任老师监考自己的班级，第二步，剩下的四位班主任老师，都不监考自己的班级．
【解析】 A 从12位老师中选出8位，他们各自监考自己的班级，方法数是C；剩下的四位老师都不监考自己的班级，记四位老师分别为甲，乙，丙，丁，他们各自的班级分别为A，B，C，D，则甲只能在B，C，D中选一个，有方法数3，假设甲在B，此时若乙在A，则丙丁只能互换班级，若乙在C，D之一，有2种方法，如假设乙在C，则只能是丙在D，丁在A，故这时的安排方法数是3×(1＋2)＝9.根据分步乘法计数原理，监考安排方案共有C·9＝4455种，故选A.
类型三：二项式定理
例3. 若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．
－540 【解析】 令x＝1得二项式n展开式的各项系数之和是2n，由此得n＝6.根据二项式的特点，其常数项一定是中间项，这个常数项是C33×(－1)3＝－540.
变式训练3：（1）．设，则的值为（ A ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（2）．展开式中的系数为 ___________ -6
类型四：随机抽样
例4：某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级 初二年级 初三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1) 求x的值；
(2) 先用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
(3) 已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．
解：(1) x＝2 000×0.19＝380.
(2) 初三年级共有学生人数2 000－(373＋377)－(380＋370)＝500人，
初三应抽取48×＝12人．
(3) 记女生比男生多为事件A.∵ ∴ (y，z)的可能取值有(245,255)，(246,254)，(247,253)，…，(254,246)，(255,245)，共有11组，其中女生比男生多，即y＞z的有5组，则P(A)＝.
变式训练4：
某单位200名职工的年龄分布情况如右图所示，先要从中抽取40名职工样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分成40组(1～5号，6～10号……，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应该是________．若用分层抽样法，则40岁以下年龄段应取________人．
37 20 解析：系统抽样的编号构成等差数列，公差是5，故第8组抽出的号码为22＋(8－5)×5＝37；50%×40＝20.
类型五；频率分布直方图
例5：某学科在市模考后从全年级抽出50名学生的学科成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图如图所示．
(1) 估计该次考试该学科的平均成绩；
(2) 为详细了解每题的答题情况，从样本中成绩在70～90之间的试卷中任选2份进行分析，求至少有1份试卷成绩在70～80之间的概率．
解：(1) 用每组中的平均值作为每组中的样本数据，直接算得平均成绩为103.4.
(2) 样本中成绩在70～80之间有2人，设其编号为①②，样本中成绩在80～90之间有4人，设其编号为③④⑤⑥，从上述6人中任取2人的所有选取可能为：
①②，①③，①④，①⑤，①⑥；②③，②④，②⑤，②⑥；③④，③⑤，③⑥；④⑤，④⑥；⑤⑥.故从样本中成绩在70～90之间任选2人所有可能结果数为15，至少有1人成绩在70～80之间可能结果数为9，因此，所求概率为P2＝0.6.
变式训练5： 某单位组织群众性登山健身活动，招募了名师生志愿者，将所有志愿者现按年龄情况分为15—20,20—25,25—30,30—35,35—40,40—45等六个层次，其频率分布直方图如图所示：已知30—35之间的志愿者共8人，
求和20—30之间的志愿者人数
已知20—25和30—35之间各有2名英语教师，从这两个层次各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人选中都至多有1名英语教师的概率是多少？
组织者从35—45之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机取3名担任后勤保障工作，其中男教师的数量为，求的概率分布列和均值。
【答案】18.解；（1）N=40 ; N1=24
(2)设“所选出的人选中都至多有1名英语老师”为事件A； P（A）= =
(3)由题意知，女教师有4名，男教师有2名； X=0,1,2
P(X=0)= , P(X=1)= ,P(X=2)=
X 0 1 2
P
所以分布列为
均值为0+1+2=1.
类型六：线性回归方程与独立性检验
例6：某种设备的使用年限x和维修费用y(万元)，有以下的统计数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
(1)画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝x＋；
(3)估计使用年限为10年，维修费用是多少？
分析】(1)根据对应值组成点的坐标，画出各点即可；(2)直接套用求回归直线系数的公式，求出，；(3)根据求出的回归直线方程，求x＝10时对应的y值，即使用年限为10年时，维修费用的估计值．
【解答】 (1)散点图：
(2)iyi＝66.5，＝32＋42＋52＋62＝86， ＝4.5，＝3.5，
＝＝＝0.7；
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所求的回归方程为y＝0.7x＋0.35.
(3)当x＝10时，y＝0.7×10＋0.35＝7.35.
∴当使用年限为10年时，维修费用估计值是7.35万元．
变式训练6： 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．
优秀 非优秀 总计
甲班 10
乙班 30
合计 105
已知在全部105人中抽到随机1人为优秀的概率为.
(1)请完成上面的列联表；
(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6或10号的概率．
【解答】 (1)
优秀 非优秀 总计
甲班 10 45 55
乙班 20 30 50
合计 30 75 105
(2)根据列联表中的数据，得到K2＝≈6.109>3.841，
因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．
(3)设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)．所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，…，(6,6)共36个．事件A包含的基本事件有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，故P(A)＝＝.
练习：[2011·广东卷]某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.
【答案】 185【解析】 因为儿子身高与父亲身高有关，所以设儿子身高为Y，父亲身高为X，根据数据列表：
X 173 170 176
Y 170 176 182
得回归系数：＝1，＝3，于是儿子身高与父亲身高的关系式为：Y＝X＋3，
当X＝182时，该老师的孙子身高为185 cm.
类型七：概率
例7：例3 设函数f(x)＝的定义域为D.
(1)a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3}，求使D＝R的概率；
(2)a∈[0,4]，b∈[0,3]，求使D＝R的概率．
【分析】 函数定义域为R，说明其判别式不大于零，第一问中(a，b)取值个数有限，是古典概型，第二问中(a，b)的取值个数无限，是几何概型，把(a，b)看做坐标平面上的点，就构造出了基本事件所在的面，只要算出随机事件在这个面内占有的面积即可．
【解答】 (1)∵a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3}，∴(a，b)的所有可能为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共计12种．
而D＝R，有4(a－1)2－4b2≤0，即|a－1|≤|b|，
那么满足D＝R的(a，b)的所有可能为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(4,3)，共计9种，∴其概率为P＝＝.
(2)∵a∈[0,4]，b∈[0,3]，∴所有的点(a，b)构成的区域的面积＝12，
而D＝R，有4(a－1)2－4b2≤0，即|a－1|≤|b|，
a∈[0,4]，b∈[0,3]，|a－1|≤b的点(a，b)构成的区域的面积为7，故所求概率P′＝.
变式训练7：“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人(三人或三人以上)同时出示手势，以手心(白)、手背(黑)来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其他人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)、手背(黑)”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是________．
【解析】 一次游戏中，甲出的方法种数有2种，乙出的方法种数也有2种，丙出的方法种数也有2种，所以总共有23＝8种方案，而甲胜出的方案有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，2种情况，所以甲胜出的概率为＝.
类型八：统计
例8：[2011·辽宁卷] 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
(1)假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
(2)试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：
品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406
品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x1，x2，…，xn的样本方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－思考)2]，其中为样本平均数．
【解答】 (1)X可能的取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
即X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望为
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
甲＝(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400.
s＝[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25.
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
乙＝(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，
s＝[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56.
由以上结果可以看出， 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．
类型九：随机变量的分布列
例9：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将３次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率都是。
求小球落入袋的概率及落入袋中的概率
在容器的入口处依次放入４个小球，记为落入袋中的小球个数。试求时的概率，并求的期望和方差。
解答：（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，
故： 从而
（Ⅱ）显然，随机变量故 ，
．
变式训练9：某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ 0 1 2 3
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求，的值；(Ⅲ)求数学期望ξ。
解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知
，，
（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
，
（II）由题意知
整理得
，由，可得，.
（III）由题意知
=
=
=
课后练习；
1.三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为
A.720 ?B.144 C.36 D.12
【答案】B
2. 为虚数单位的二项展开式中第七项为 A． B． C． D．
【答案】C
3.从名男同学，名女同学中选出名同学组队参加课外活动，要求男、女同学都有，则不同的方案个数共有( )
【答案】D
4.25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法为（ ）
A、60种 B、100种 C、300种 D、600种
【答案】D
5.二项式的展开式中常数项是( )
A．-28 B．-7 C．7
6.若，则二项式（）6的展开式中的常数项为
【答案】160
7.在的展开式中，项的系数为 .
【答案】16
8.（2010广东理数）
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，……（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．
9.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，. （Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，
由题意知
（2）可取． ，
；
故的分布列为
答：的数学期望为
10.将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体.
（Ⅰ）从这些小正方体中任取１个，求其中至少有两面涂有颜色的概率；
（Ⅱ）从中任取２个小正方体，记２个小正方体涂上颜色的面数之和为.求的分布列和数学期望.
解：依题意可知，锯成的27个小正方体中，有三面有色的有8个，二面有色的有12个，一面有色的有6个，没有色的有1个．
(Ⅰ) 从这些小正方体中任取１个，含有面数为的事件为（），则其中至少有两面涂颜色的概率P=；
（Ⅱ）根据题意，的分布列为
1 2 3 4 5 6
11.某中学举办“上海世博会”知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会吉祥物海宝”或“世博会会徽”，要求4人一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中某人一次抽到2张“世博会吉祥物海宝”卡才能获奖，当某人获奖或者盒中卡片抽完时游戏终止．
（Ⅰ）游戏开始之前，一位高中生问：“盒子中有几张‘世博会会徽’卡 ”主持人说：“若从盒中任抽2张卡片不都是‘世博会会徽’卡的概率为”请你回答有几张“世博会会徽”卡呢
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取．用随机变量ξ表示游戏终止时总共抽取的次数（注意，一次抽取的是两张卡片），求ξ的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）设盒子中有“会徽卡”张，依题意有，，解得，即盒中有“会徽卡”3张．
（Ⅱ）因为表示游戏终止时，所有人共抽取卡片的次数，所以的所有可能取值为1，2，3，4，
；
；
，
随机变量的分布列为：
1 2 3 4
P
的数学期望为．
典型例题
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1第六讲：数列 ( http: / / www.21cnjy.com / )类型一：an与Sn的关系例1. 数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3……求：{an}的通项公式；
解析：(1)由a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3，…得a2＝S1＝a1＝，a3＝S2＝(a1＋a2)＝，a4＝S3＝(a1＋a2＋a3)＝
由an＋1－an＝(Sn－Sn－1)＝an(n≥2)，得an＋1＝an(n≥2)，又a2＝，∴an＝·()n－2(n≥2)
∴ {an}通项公式为an＝
变式训练1.设数列的前项的和，求首项与通项。
解析：（I），解得：
所以数列是公比为4的等比数列 所以：得：
类型二：由递推关系式求通项例2. 根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式． ( http: / / www.21cnjy.com / )⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2 ⑵ a1＝1，an＝ (n≥2) ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑶ a1＝1，an＝ (n≥2) ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：⑴ an＝2an－1＋1(an＋1)＝2(an－1＋1)(n≥2)，a1＋1＝2．故：a1＋1＝2n，∴an＝2n－1． ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋33＋3＋1＝． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)∵∴an＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )变式训练2.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求该数列的通项公式． ( http: / / www.21cnjy.com / )解：方法一：由an＋1＝得，∴{}是以为首项，为公差的等差数列．∴＝1＋(n－1)·,即an＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )方法二：求出前5项，归纳猜想出an＝，然后用数学归纳证明． ( http: / / www.21cnjy.com / )
类型三：证明等差或等比
例3. 已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝．
⑴ 求证：数列{bn}是等差数列．⑵ 求数列{an}的通项公式．
解：∵ ⑴ an＝2a－ (n≥2) ∴ bn＝ (n≥2)
∴ bn－bn－1＝ (n≥2) ∴ 数列{bn}是公差为的等差数列．
⑵ ∵ b1＝＝故由⑴得：bn＝＋(n－1)×＝即：＝ 得：an＝a(1＋)
变式训练3.已知，，数列满足，， ．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；
解：（I）∵，，，
∴． 即．
又，可知对任何，，所以．
∵， ∴是以为首项，公比为的等比数列．
（II）由（I）可知= （）． ∴．
当n=7时，，；
当n<7时，，；当n>7时，，．
∴当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．
类型四：等差（比）数列的定义和性质
例4. 已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}前n项和。求Tn．
解：设{an}首项为a1公差为d，由∴ Sn＝ ∴ ∴Tn＝
变式训练4.已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求n和公比q的值．
解：∵{an}是等比数列，∴a1·an＝a2·an－1，
∴，解得或若a1＝2，an＝64，则2·qn－1＝64
∴qn＝32q由Sn＝，解得q＝2，于是n＝6
若a1＝64，an＝2，则64·qn－1＝2∴qn＝
由Sn＝ 解得q＝，n＝6
类型五：数列求和
例5. （1）已知1，，，，…，，求和Sn．
（2.） 求Sn＝1＋＋＋…＋．
解：（1）∵ an＝1＋＋＋……＋＝ ∴an＝2－
则原数列可以表示为：(2－1)，，，，…
前n项和Sn＝(2－1)＋＋＋…＋＝2n－
＝2n－＝2n－2＝＋2n－2
（2）解：∵ an＝＝＝2(－)
∴ Sn＝2(1－＋－＋…＋－)＝
变式训练5.设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
⑴ 求数列{an}和{bn}通项公式．⑵ 设Cn＝，求数列{Cn}前n项和Tn ．
解：（1）当n＝1时a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－2，故{an}通项公式为an＝4n－2，即{an}是a1＝2，d＝4的等差数列，设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1，d＝4，∴ q＝，故bn＝b1qn－1＝（2）∵Cn＝＝
∴Tn＝C1＋C2＋…＋Cn＝1＋3×4＋5×42＋…＋（2n－1）4n－1
∴4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋（2n－3）4n－n＋（2n－1）4n
两式相减 3Tn＝∴ Tn＝．
类型六：数列综合
例6.已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：（1）数列是等比数列；
⑵设数列，求证：数列是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和。
例7、已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
例6、解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b ①
已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 ②
由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．
当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．
例7、解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，
故Tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
数列章节测试题 一、选择题：
1、在数列中，， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．{an}是等差数列，，则使的最小的n值是（ ）
A．5 B． C．7 D．8
4、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案
则第个图案中有白色地面砖的块数是（ ）
A. B.
C. D.
5.若数列前100项之和为0，则的值为（ ）
A. B. C. D.以上的答案均不对
6.设2a=3,2b=6,2c=12,则数列a,b,c成
A.等差 B.等比 C.非等差也非等比 D.既等差也等比
二、填空题
7、设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .
8、由正数构成的等比数列{an}，若，则 ．
9．已知数列的前项和为某三角形三边之比为，则该三角形最大角为 ．
10、给定（n∈N*），定义乘积为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为 ．
三、解答题
11、已知函数是一次函数，且成等比数列，设，()（1）求；（2）设，求数列的前n项和。
12、数列{an}的前n项和记为Sn，
（1）求{an}的通项公式;
（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且，又成等比数列，求Tn
13、假设某市2004年新建住房400万，其中有250万是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万。那么，到哪一年底，
(1)该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于？
14、已知数列中，，，其前项和满足（，）．（1）求数列的通项公式；
（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．
15、已知直线与圆交于不同点An、Bn,其中数列满足：.
（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前n项和.
数列章节测试题参考答案
一、选择题A D B D C A
二、填空题7、-72 8、7 9、 10、2026．
解：换底公式：．为整数，，m∈N*．k分别可取，最大值≤2008，m最大可取10，故和22+23+…+210-18=2026．
三、解答题
11、解：（1）设，（）由成等比数列得，----------------①,
∵ ∴---------------② 由①②得， ∴
∴，显然数列是首项公差的等差数列
∴＝
（2）∵
∴＝
2＝
－＝＝
∴＝。
12、（I）由可得，两式相减得
又 ∴，故{an}是首项为1，公比为3得等比数列 ∴.
（II）设{bn}的公差为d，由得，可得，可得，
故可设 又由题意可得
解得
∵等差数列{bn}的各项为正，∴，∴ ∴
14、解：（1）由已知，（，），
即（，），且．
∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴．
（2）∵，∴，要使恒成立，
∴恒成立，
∴恒成立，∴恒成立．
（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1，∴．
（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，
当且仅当时，有最大值，∴．
即，又为非零整数，则．
综上所述，存在，使得对任意，都有
15．（1）圆心到直线的距离，
（2） 相减得
第1个
第2个
第3个
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1第五讲：立体几何 ( http: / / www.21cnjy.com / )
类型一：三视图
例1. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
类型二：关于球
例2. 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S—ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．1
变式训练2. 如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________．
．
类型三：平行与垂直的证明
例3. 如右图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF//平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD.
变式训练3：如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。
EF//AC，AB=,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;
类型四：求线面角，二面角（坐标法）
例4：如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．
（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的正切值．
变式训练4：已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC= AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
类型五：求线面角，二面角（几何法）
例5：如图5，在锥体中，是边长
为1的菱形，且,,
分别是的中点，
（1）证明：;
（2）求二面角的余弦值.
变式训练5：如图在圆锥中，已知的直径的中点．
（I）证明：（II）求二面角的余弦值．
类型六：翻折问题
例6：如图，在平面内直线EF与线段AB相交于C点，∠BCF＝，且AC = CB = 4，将此平面沿直线EF折成的二面角－EF－，BP⊥平面，点P为垂足.
（Ⅰ） 求△ACP的面积；
（Ⅱ） 求异面直线AB与EF所成角的正切值.
变式训练6：如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面.
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。
类型七：探索动点
例7：如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .
变式训练7：如图， 在四面体ABOC中, , 且
（Ⅰ）设为为的中点， 证明： 在上存在一点，使，并计算的值；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。
类型八：求距离
例8： 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
求证：PC⊥BC；
求点A到平面PBC的距离。
（
课后练习：
1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．
2.已知一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若，则球的体积为 .
3.高为 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为
（A） HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 （B） HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 (C) 1 (D) HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4
4.如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.
（Ⅰ)若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
5.如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．
第3讲参考答案：
例1. A 变式训练1. C 例2. C 变式训练2.
变式训练4：SN与面CMN所成角为45°
变式训练5：二面角的余弦值为。
例6：（1）S△ACP＝.（2）AB与EF所成角的正切值为.
变式训练6：（1）（2）。
例7：120° 变式训练7：3 例8：。
课后练习：
1． ． 2. 3.C
4.二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小为.
5.（Ⅱ）直线PB与平面PCD所成角的大小为；
（Ⅲ）四棱锥P—ACDE的体积为=。
典型例题
B
A
F
C
E
C
B
P
A
E
F
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1第八讲：概率统计
类型一：计数原理
例1. 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有( )
A．22种 B．24种 C．25种 D．36种
变式训练1. [2011·四川卷]在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α＝(a，b)，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m，则＝( ) A. B. C. D.
类型二：排列组合
例2. 例2在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且女医生不安排在同一乡医院工作，则不同的分配方法总数为( ) A．78 B．114 C．108 D．120
变式训练2. （1）某中学高三年级共有12个班级，在即将进行的月考中，拟安排12个班主任老师监考数学，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任老师监考，则不同的监考安排方案共有( )
A．4455种 B．495种 C．4950种 D．7425种
类型三：二项式定理
例3. 若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．
变式训练3：（1）．设，则的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（2）．展开式中的系数为 ___________
类型四：随机抽样
例4：某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级 初二年级 初三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1) 求x的值；
(2) 先用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
(3) 已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．
变式训练4：
某单位200名职工的年龄分布情况如右图所示，先要从中抽取40名职工样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分成40组(1～5号，6～10号……，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应该是________．若用分层抽样法，则40岁以下年龄段应取________人．
类型五；频率分布直方图
例5：某学科在市模考后从全年级抽出50名学生的学科成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图如图所示．
(1) 估计该次考试该学科的平均成绩；
(2) 为详细了解每题的答题情况，从样本中成绩在70～90之间的试卷中任选2份进行分析，求至少有1份试卷成绩在70～80之间的概率．
变式训练5： 某单位组织群众性登山健身活动，招募了名师生志愿者，将所有志愿者现按年龄情况分为15—20,20—25,25—30,30—35,35—40,40—45等六个层次，其频率分布直方图如图所示：已知30—35之间的志愿者共8人，
求和20—30之间的志愿者人数
已知20—25和30—35之间各有2名英语教师，从这两个层次各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人选中都至多有1名英语教师的概率是多少？
组织者从35—45之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机取3名担任后勤保障工作，其中男教师的数量为，求的概率分布列和均值。
类型六：线性回归方程与独立性检验
例6：某种设备的使用年限x和维修费用y(万元)，有以下的统计数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
(1)画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝x＋；
(3)估计使用年限为10年，维修费用是多少？
分析】(1)根据对应值组成点的坐标，画出各点即可；(2)直接套用求回归直线系数的公式，求出，；(3)根据求出的回归直线方程，求x＝10时对应的y值，即使用年限为10年时，维修费用的估计值．
变式训练6： 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．
优秀 非优秀 总计
甲班 10
乙班 30
合计 105
已知在全部105人中抽到随机1人为优秀的概率为.
(1)请完成上面的列联表；
(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6或10号的概率．
练习：[2011·广东卷]某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.
类型七：概率
例7：例3 设函数f(x)＝的定义域为D.
(1)a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3}，求使D＝R的概率；
(2)a∈[0,4]，b∈[0,3]，求使D＝R的概率．
【分析】 函数定义域为R，说明其判别式不大于零，第一问中(a，b)取值个数有限，是古典概型，第二问中(a，b)的取值个数无限，是几何概型，把(a，b)看做坐标平面上的点，就构造出了基本事件所在的面，只要算出随机事件在这个面内占有的面积即可．
变式训练7：“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人(三人或三人以上)同时出示手势，以手心(白)、手背(黑)来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其他人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)、手背(黑)”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是________．
类型八：统计
例8：[2011·辽宁卷] 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
(1)假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
(2)试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：
品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406
品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x1，x2，…，xn的样本方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－思考)2]，其中为样本平均数．
类型九：随机变量的分布列
例9：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将３次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率都是。
求小球落入袋的概率及落入袋中的概率
在容器的入口处依次放入４个小球，记为落入袋中的小球个数。试求时的概率，并求的期望和方差。
变式训练9：某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ 0 1 2 3
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求，的值；(Ⅲ)求数学期望ξ课后练习；
1.三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为 （ ）
A.720 ?B.144 C.36 D.12
2. 为虚数单位的二项展开式中第七项为 （ ）
A． B． C． D．
3.从名男同学，名女同学中选出名同学组队参加课外活动，要求男、女同学都有，则不同的方案个数共有( )
4.25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法为（ ）
A、60种 B、100种 C、300种 D、600种
5. .若，则二项式（）6的展开式中的常数项为
6.在的展开式中，项的系数为 .
7.（2010广东理数）
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，……（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．
8.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，. （Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．
9.将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体.
（Ⅰ）从这些小正方体中任取１个，求其中至少有两面涂有颜色的概率；
（Ⅱ）从中任取２个小正方体，记２个小正方体涂上颜色的面数之和为.求的分布列和数学期望.
10.某中学举办“上海世博会”知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会吉祥物海宝”或“世博会会徽”，要求4人一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中某人一次抽到2张“世博会吉祥物海宝”卡才能获奖，当某人获奖或者盒中卡片抽完时游戏终止．
（Ⅰ）游戏开始之前，一位高中生问：“盒子中有几张‘世博会会徽’卡 ”主持人说：“若从盒中任抽2张卡片不都是‘世博会会徽’卡的概率为”请你回答有几张“世博会会徽”卡呢
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取．用随机变量ξ表示游戏终止时总共抽取的次数（注意，一次抽取的是两张卡片），求ξ的分布列和数学期望．
参考答案: 例1. C 变式训练1. B 例2. 变式训练2. A. 例3. －540
变式训练3：（1） A （2）-6 例4：解：(1) x＝2 000×0.19＝380.(2) 初三应抽取48×＝12人．(3) P(A)＝. 变式训练4：37 20 例5：(1)平均成绩为103.4.(2)概率为P2＝0.6.
变式训练5：（1）N=40 ; N1=24(2) P（A）= =
(3)
X 0 1 2
P
分布列为
均值为0+1+2=1.
例6：(2)iyi＝66.5，＝32＋42＋52＋62＝86， ＝4.5，＝3.5，
＝＝＝0.7；
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所求的回归方程为y＝0.7x＋0.35.
(3)当x＝10时，y＝0.7×10＋0.35＝7.35.
∴当使用年限为10年时，维修费用估计值是7.35万元．
变式训练6： (1)
优秀 非优秀 总计
甲班 10 45 55
乙班 20 30 50
合计 30 75 105
(2)根据列联表中的数据，得到K2＝≈6.109>3.841，
因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(3)故P(A)＝＝.
练习：当X＝182时，该老师的孙子身高为185 cm.
例7： (1) P＝＝. (2) P′＝ 变式训练7：
例8： (1)X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
(2) 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．
例9：解答：（Ⅰ）
（Ⅱ）显然，随机变量故 ，
．
变式训练9：
解：（I），（II），.
（III） =
课后练习；
1.B 2. C 3. D 4.D 5. 160 6. 16
7.
8.(1)由题意知 （2）的分布列为
答：的数学期望为
10解：依题意可知，锯成的27个小正方体中，有三面有色的有8个，二面有色的有12个，一面有色的有6个，没有色的有1个．
(Ⅰ) 从这些小正方体中任取１个，含有面数为的事件为（），则其中至少有两面涂颜色的概率P=；
（Ⅱ）根据题意，的分布列为
1 2 3 4 5 6
11.解：（Ⅰ）解得，即盒中有“会徽卡”3张．（Ⅱ）因为表示游戏终止时，所有人共抽取卡片的次数，所以的所有可能取值为1，2，3，4，
；
；
，
随机变量的分布列为：
1 2 3 4
P
的数学期望为．
典型例题
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1第7讲：解析几何 ( http: / / www.21cnjy.com / )
类型一：直线
例1. 设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点p，使为最小，并求出这个最小值．
解：设点A关于直线l的对称点A'的坐标为(a，b)，则解之得a＝3，b＝－3，∴A ＝(3，－3)．∴(|PA|＋|PB|)min＝|A B|＝5 ∵kA B＝＝－18
∴A B的方程为y＋3＝－18(x－3) 解方程组得P(，3)
变式训练1： 直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．
解：因为直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线，所以CA、CB所在直线关于y＝2x对称，而A(－4, 2)关于直线y＝2x对称点A1必在CB边所在直线上
设A1(x1，y1)则
得 即A1(4, －2)
由A1(4, －2)，B(3, 1)求得CB边所在直线的方程为：3x＋y－10＝0
又由 解得C(2, 4) 又可求得：kBC＝－3，kAC＝
∴kBC·kAC＝－1，即△ABC是直角三角形
类型二：圆
例2. 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A、B两点，且OA⊥OB，求a的值．
【解答】 (1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为＝3. 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0.从而
x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①，②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
变式训练2. 过⊙：x2＋y2＝2外一点P(4，2)向圆引切线．
⑴ 求过点P的圆的切线方程．
⑵ 若切点为P1、P2求过切点P1、P2的直线方程．
解：(1)设过点P(4，2)的切线方程为y－2＝k(x－4) 即kx－y+2－4k＝0 ①
则d＝∴＝ 解得k＝1或k＝
∴切线方程为：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0
(2) 设切点Ｐ1(x1，y1)、P2(x2，y2)，两切线的方程可写成l1: x1x＋y1y＝2，l2：x2x＋y2y＝２
因为点(4，2)在l1和l2上．则有4 x1＋2y1＝2 4x2＋2y2＝2
这表明两点都在直线4x＋2y＝2上，故直线2 x＋y－1＝0即为所求
类型三：线性规划
例3. 已知x、y满足约束条件 分别求：
⑴ z＝2x＋y
⑵ z＝4x－3y
⑶ z＝x2+y2的最大值、最小值？
解：在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分．
其中A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)
(1) 作与直线2x＋y＝0平行的直线l1：2x＋y＝t，则当l1经过点A时，t取最大，l1经过点B时，t取最小．
∴zmax＝9 zmin＝－13
(2) 作与直线4x－3y＝0平行的直线l2：4x－3y＝t，则当l2过点C时，t最小，l2过点B时，t最大．
∴zmax＝14 zmin＝－18
(3) 由z＝x2＋y2，则表示点(x，y)到(0，0)的距离，结合不等式组表示的区域．知点B到原点的距离最大，当(x，y)为原点时距离为0．∴zmax＝37 zmin＝0
变式训练3：给出平面区域如下图所示，目标函数t＝ax－y，
(1) 若在区域上有无穷多个点(x，y)可使目标函数t取得最小值，求此时a的值．
(2) 若当且仅当x＝，y＝时，目标函数t取得最小值，求实数a的取值范围？
解：(1)由t＝ax－y得y＝ax－t
要使t取得最小时的(x，y)有无穷多个，
则y＝ax－t与AC重合．
∴a＝kAC＝＝－ (2)由KAC < a< KBC 得－< a<－类型四：求轨迹
例4：已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得 |MC1|-|AC1|=|MA|， |MC2|-|BC2|=|MB|.
因为|MA|=|MB|， 所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.
这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x2-=1 (x≤-1).
变式训练4： 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，
且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解 设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y），
则在Rt△ABP中，
|AR|=|PR|，
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有
?Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）.
又|AR|=|PR|=， 所以有（x1-4）2+=36-（）.
即-4x1-10=0. 因为R为PQ的中点，
所以x1=，y1=. 代入方程-4x1-10=0，得
·-10=0. 整理得x2+y2=56. 这就是Q点的轨迹方程.
类型五：圆锥曲线
例5：（分类讨论）平面内与两定点A1(－a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数 ( http: / / gk." \o "欢迎登陆全品高考网! )m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．
求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
例6：（椭圆） 在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？
解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．
（Ⅱ）设，其坐标满足
消去y并整理得，故．
，即．而，
于是．所以时，，故．当时，，．，
而，所以
例7. （双曲线）设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。
（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；
（2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；
（3）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。
解：（1）由题，得，设
…………①又在双曲线上，则 …………②联立①、②，解得
由题意， ∴点T的坐标为（2，0）
（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）由A1、P、M三点共线，得
…………③ 由A2、Q、M三点共线，得
…………④ 联立③、④，解得
∵在双曲线上，∴∴轨迹E的方程
（3）容易验证直线l的斜率不为0。
故可设直线l的方程为 中，得
设 则由根与系数的关系， ……⑤
……⑥ …………2分∵ ∴有
将⑤式平方除以⑥式，得
由
∵
又
故
令 ∴，即
∴而 ， ∴∴
例8：（抛物线）过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.
(1) 设点分有向线段所成的比为，证明:;
(2) 设直线的方程是，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆 HYPERLINK "http://www." 的方程.
(1) 依题意，可设直线的方程为 代入抛物线方程得
①
设两点的坐标分别是 、、是方程①的两根.
所以
由点分有向线段所成的比为，得 HYPERLINK "http://www."
又点与点关于原点对称，故点的坐标是，从而.
所以
(2) 由 得点的坐标分别是（6，9）、（－4，4）, 由 得 所以抛物线 在点处切线的斜率为,
设圆的圆心为, 方程是
则解得
则圆的方程是 (或 HYPERLINK "http://www." )
圆锥曲线单元测试题
一、选择题
1． AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是 （ ）
A．2 B． C． D．
2．若双曲线的一条准线与抛物线y2＝8x的准线重合，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C．4 D．
3． 已知抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1), B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝, 那么m的值等于（ ）
A． B． C． 2 D．3
4．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且＝0，则点M到x轴的距离为 （ ）
A． B． C． D．
5．点P(－3，1)在椭圆(a>b>0)的左准线上，过点P且方向为＝(2,－5)的光线，经直线y＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4的距离最近的点是 .
7．双曲线3x2－4y2－12x＋8y－4＝0按向量平移后的双曲线方程为，则平移向量＝ ．
8．P在以F1、F2为焦点的双曲线上运动，则△F1F2P的重心G的轨迹方程是—————————．
9．椭圆中，以M(－1，2)为中点的弦所在直线的方程为 .
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）．
三、解答题
10．已知双曲线的离心率为2，它的两个焦点为F1、F2，P为双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求双曲线的方程．
11．已知动圆C与定圆x2＋y2＝1内切,与直线x＝3相切.
(1) 求动圆圆心C的轨迹方程；
(2) 若Q是上述轨迹上一点，求Q到点P(m,0)距离的最小值.
12．如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点．
(1) 写出直线的截距式方程；
(2) 证明：；
(3) 当时，求的大小．
13．设x，y∈R，,为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若＝x＋(y＋2)，＝x＋(y－2)，且||＋||＝8
(1) 求动点M（x，y）的轨迹C的方程．
(2) 设曲线C上两点A、B，满足(1)直线AB过点（0，3），(2) 且OAPB为矩形，求直线AB方程.．
14．动圆M过定点A(－，0)，且与定圆A ：(x－)2＋y2＝12相切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0，2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求的取值范围．
圆锥曲线单元测试题答案
C A B C A (1，1) (－2，－1) 9x－32y＋73＝0
10. 解：以焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示：设双曲线方程为：
依题意有：
解之得：a2＝4，c2＝16，b2＝12故所求双曲线方程为：
11．解：(1) 设则⊙C与⊙O内切，
即轨迹方程为 (2) 设，则当，即时
当，即时，
12．解：(1) (2) 由直线方程及抛物线方程可得：
by2＋2pay－2pab＝0故 所以
(3) 设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2
则.当a＝2p时，知y1y2＝－4p2，x1x2＝4p2
所以，k1k2＝－1，即MON＝90°．
13．( 1 ) 解：令M(x，y)，F1(0,－2)，F2(0，2)则＝，＝，即
||＋||＝||＋||，即||＋||＝8
又∵ ＝4＝2c，∴ c＝2，a＝4，b2＝12所求轨迹方程为
( 2) 解：由条件(2)可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在，设AB方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (3k2＋4)x2＋18kx－21＝0
x1＋x2＝－ x1·x2＝
y1·y2＝(kx1＋3) (kx2＋3)＝k2 x1x2＋3k(x1＋x2)＋9
＝∵ OAPB为矩形，∴ OA⊥OB ＝0∴ x1x2＋y1y2＝0 得k＝±
所求直线方程为y＝±x＋3．
14．解：(1)A (，0)，依题意有|MA |＋＝2
|MA |＋|MA|＝2 ＞2
∴点M的轨迹是以A 、A为焦点，2为长轴上的椭圆，∵a＝，c＝ ∴b2＝1．因此点M的轨迹方程为
(2) 解法一：设l的方程为x＝k(y－2)代入，消去x得：(k2＋3)y2－4k2y＋4k2－3＝0由△＞0得16k4－(4k2－3)(k2＋3)＞0 0≤k2＜1
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝
又＝(x1，y1－2)，＝(x2，y2－2)∴·＝x1x2＋(y1－2)(y2－2)
＝k(y1－2)·k (y2－2) ＋(y1－2)(y2－2)＝(1＋k2)
＝∵0≤k2＜1 ∴3≤k2＋3＜4 ∴·∈
典型例题
A
C
y
x
B
x
0
A(1,0)
C( , )
B(0,1)
y
x
y
O
M
l
a
N
b
0
F1
F2
x
y
P
60°
x
y
F
A(－,0)
E
M
P(0, 2)
A (,0)
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