双曲线的简单性质

(共16张PPT)
双曲线的简单性质(1)
双曲线的标准方程的推导：
双曲线的标准方程：
(焦点在x轴上)
(焦点在y轴上)
其中
x
y
x
y
o
o
方程
图形
范围
对称性
顶点
离心率
x
y
B1
B2
A1
A2
∣ ∣
F1 F2
Y
X
F1
O
F2
＿
＿
A2
A1
B1
B2
0
关于x轴，y轴，原点
对称。
关于x轴，y轴，原点对称。
复习椭圆的几何性质
双曲线的性质
（焦点在x轴上的）
x
y
o
(1)范围：
（2）对称性：
（3）顶点：
(4)实轴，虚轴：
（5）离心率：
（6）渐近线：
焦点在轴x上 焦点在y轴上
方程
图形
范围
顶点坐标
对称轴
对称中心
离心率
渐近线
准线方程
x
y
o
x
y
o
顶点坐标(-a,0) (a,0) (0,a) (0,-a)
对称轴:x=0,y=0
对称中心 (0,0)
离心率
渐近线
准线方程
例1：求双曲线 的实半轴长虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
由此可知，实半轴长a=4,虚半轴长b=3.
C=5
焦点的坐标是（0，5）（0，-5）
离心率e=
渐近线方程为
1 求下列双曲线的实轴和虚轴的长，顶点和焦点坐标，离心率，渐近线方程。
（1）
（2）
（3）
（4）
当渐近线的方程为 时，
双曲线的标准方程一定是
吗？
如果不是，举出一个反例。
2 提出问题
答：不一定是。
例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m)
x
y
o
A
B
C
13
12
25
(13,y)
(25,y-55)
例3：点M（x,y)与定点F（C,0)的距离和它到定直线L： 的距离的比是常数 (c>a>0) ，求点M的轨迹。
F
F
0
x
y
M
L
(c,0)
解：设d是点M到直线L的距离。
双曲线的第二定义：
平面内的点到一个定点的距离和它到定直线的距离的比，是一个大于1的常数e的点的轨迹，是双曲线。其中定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。
M
练习1：求以椭圆 的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程。
解：椭圆的焦点为F（ ）F,（ ），顶点为（ ）（ ）（ ）（ ）双曲线是是以F，F,为顶点，以 ， 为
焦点的双曲线。
X
Y
练习2：等轴双曲线的一个焦点是（-6，0），求它的标准方程和渐近线方程。
解：
渐近线方程：
练习1：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点
，则双曲线的离心率为多少？
练习2：求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P（1，3）且离心率为 的双曲线标准方程。
练习3：已知点A（3，2），F（2，0），在双曲线 上求一点P，使 的值最小。
练习4 ：已知双曲线的渐近线方程为 两条准线间
的距离为 ，求双曲线的标准方程。