双曲线(1)

(共16张PPT)
1. 椭圆的定义
和
等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0)
的点的轨迹.
平面内与两定点F1、F2的距离的
2. 引入问题：
差
等于常数
的点的轨迹是什么呢？
平面内与两定点F1、F2的距离的
动画
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a
上面 两条合起来叫做双曲线
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
（1）2a<2c ；
o
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1，F2的距离的差
等于常数 的点的轨迹叫做双曲线.
（2）差的绝对值
动画
的绝对值
（小于︱F1F2︱）
注意
定义:
1. 建系设点.
F
2
F
1
M
x
O
y
2. 写出适合条件的点M的集合；
3. 用坐标表示条件，列出方程；
4. 化简.
求曲线方程的步骤：
方程的推导
F
2
F
1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
双曲线的标准方程
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
F(±5,0)
F(0,±5)
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上
一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线
的标准方程.
∵　2a = 6,　c=5
∴　a = 3, c = 5
∴　b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为：
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
解:
练习1:
求适合条件的双曲线的标准方程
练习2:如果方程 表示双曲线，
求m的取值范围.
分析:
方程 表示双曲线时，则m的取值
范围_________________.
变式一:
变式二:
上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，求m的范围和焦点坐标。
分析:
方程 表示双曲线时，则m的取值
范围_________________.
变式一:
练习2:证明椭圆 与双曲线
x2-15y2=15的焦点相同.
上题的椭圆与双曲线的一个交点为P，
焦点为F1,F2,求|PF1|.
变式:
|PF1|+|PF2|=10,
分析:
练习3：已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线上两
点P1、P2的坐标分别为（3 , - 4 ），（ ，5），求
双曲线的标准方程
分析：因为双曲线的焦点在轴上，所以可设所求的双
曲线的标准方程为
因为点P1、P2在双曲线上，所以把这两点的坐标代入
方程，用待定系数法求解。
定义
图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c)
定 义
方 程
焦 点
a.b.c的关系
x2
a2
-
y2
b2
=
1
x2
y2
a2
+
b2
=1
F（±c，0）
F（±c，0）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
x2
a2
+
y2
b2
=
1
椭 圆
双曲线
y2
x2
a2
-
b2
=
1
F（0，±c）
F（0，±c）
作业 : P108 习题 8.3: 1、2、4
当 0°≤θ≤180°时，
方程 x2cosθ+y2sinθ=1
的曲线怎样变化？
思考: