2012年中考数学专题：数学猜想与规律发现(附完整答案)

中考数学专题复习：数学猜想与规律发现
归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图
二、基础知识整理
猜想规律型的问题难度相对为中等题，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体
应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
典型例题分析
1.（烟台09）如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
（）2＋1＝2 S1＝ eq \f(,2)
（）2＋1＝3 S2＝ eq \f(,2)
（）2＋1＝4 S3＝ eq \f(,2)
⑴请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
⑵推算出OA10的长；
⑶求出S12＋S22＋S32＋…＋S102的值．
解：⑴（）2＋1＝n＋1，Sn＝ eq \f(,2)；
⑵∵OA1＝，OA2＝，OA3＝，…，∴OA10＝；
⑶S12＋S22＋S32＋…＋S102＝（1＋2＋3＋…＋10）＝．
2. （2011浙江省，10，）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（ ）
A.28 B.56 C.60 D. 124
【答案】C
3. （2011内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）
【答案】或
4. （2011湖南益阳）观察下列算式：
① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1
② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1
③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1
④
……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
【答案】解：⑴；
⑵答案不唯一.如；
⑶
.
5．(2009年湖州市)观察下列算式：
　　21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你认为810的末位数字是(　)
　　A．2　　 B．4　　 C．8　　 D．6
6.观察下列数表：
1 2 3 4 … 第一行
2 3 4 5 … 第二行
3 4 5 6 … 第三行
4 5 6 7 … 第四行
… … … …
第一列 第二列 第三列 第四列
根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n行与第n列交叉点上的数应为＿＿＿＿。（用含正整数n的式子表示）解： 11 ， 2n—1.
7. （2011广东肇庆）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第（是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．
【答案】
8. （2011四川绵阳）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。
【答案】15
9. （2011湖南常德 ）先找规律，再填数：
【答案】
10．（2011年浙江省杭州市模拟）如图，，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为．观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积( )
A.32 B.54 C.76 D.86
11.（2011年浙江杭州七模）图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n(n≥3) 块纸板的周长为Pn，则Pn-Pn-1的值为（ ）
A． 　 B． 　　
C． D．
答案：C
12.（2011年黄冈中考调研六）瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据，，，，中，成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门．请你根据这个规律写出第9个数 答案
13.（2011年浙江杭州三模）如图，在平面直角坐标系上有个点P(1，0)，点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(―1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，……，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是 。
答案：（26，50）
14.（茂名2011模拟）一串有趣的图案按一定的规律排列(如图)：
按此规律在右边的圆中画出的第2011个图案： 。答案：
15.（2011年广东省澄海实验学校模拟）根据图中箭头的指向的规律，从2007到2008再到2009，箭头的方向是以下图示中的（ ）
…
答案：C
16.（2011深圳模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，过点C作CD1⊥AB于D1，过点D1作D1D2⊥BC于D2，过点D2作D2D3⊥AB于D3，这样继续作下去，线段DnDn+1(n为整数)等于（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：D
17．（2011年重庆江津区七校联考一模）观察下列各式：……请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是_________ _.答案：
18. （2011杭州上城区一模）如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，
是相邻两行的前四个数（如图所示），
那么当a=8时，　 ， ．
答案：9，37
19.（2011年黄冈浠水模拟）下面是用棋子摆成的“上”字：
第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第n个“上”字需用 棋子．答案：
20.（2011年北京四中3模）如下图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，……以此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an(n≥3)，则a6= ，当时，则n= 。
答案：42；100
21．（2010重庆）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（ ）
A．　图① 　　 B．　图② 　 C．　图③ 　 D．　图④
【分析】规律的归纳：通过观察图形可以看到每转动4次后便可重合，即4次一个循环，10÷4＝2…2，所以应和图②相同．
【解答】B
22.（2010年山东青岛中考题）如图1，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．
23. （2011山东济宁）观察下面的变形规律：
＝1－； ＝－；＝－；……
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想＝ ；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：＋＋＋…＋ .
【答案】（1） （2）证明：－＝－＝＝.
（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－
＝.
深圳中考近5年真题与模拟
1．（09深圳高级中学）观察下列各式：0，x，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，……．试按此规律写出的第8个式子是_______。
2．（07年深圳中考）邓老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入数据 1 2 3 4 5 6 …
输出数据 …
那么，当输入数据是时，输出的数据是　　　　　．
3．（深圳中考09）已知依据上述规律，则 ．
4．（深圳中考2010）观察下列算式，用你所发现的规律得出22010的末位数字是
21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（深圳中考2011）如图6，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的周长是＝______________________。
（1） （2） （3） （4） ……
图6
6．（深圳中考2011十校联考）如图6，，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为．观察图中的规律，
求出第10个黑色梯形的面积 ．
7．（08深圳中考）观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中截取的
一部分，其中a+b的值为_____________．
1 2 3 4 …
2 4 6 8 …
3 6 9 12 …
4 8 12 16 …
… … … … …
20 24
25 b
12
15
a
8．（2010年深圳宝安）用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第6个图案中灰色瓷砖块数为_____．
猜想性问题
猜想规律型
猜想结论型
猜想数式规律
猜想图形规律
猜想数值结果
猜想数量关系
猜想变化情况
A6
…
A5
1
1
A4
1
A3
A2
1
A1
1
O
S1
S2
S3
S4
S5
第1个图形
第 2 个图形
第3个图形
第 4 个图形
第 18题图
（第11题图）
…
① ② ③
……
9
0
1
2
5
6
10
8
7
4
3
D
C
A
B
16题图
（第18题）
…
图1
……
0
1
3
5
7
9
11
13
S1
S2
S3
S4
图6
表一 表二 表三
第1个图案
第2个图案
第3个图案
（第8题）