2012年中考数学专题：圆的概念与基本性质

2012中考数学专题：圆的概念与基本性质
◆知识点分析回顾
1．圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径。
2．圆的基本元素包括弧、弦、圆心角，其中弧分为优弧、劣、半圆
3．圆的对称性
(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
(2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
(3)圆是旋转对称图形．圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是圆的旋转不变性．
4.垂径定理
<1>．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
<2>．推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
5.心角、弧、弦、弦心距之间的关系
<1> ．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
<2>．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条弦的弦心距相等．四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立．
6. 圆与圆心角
<1>．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角．
<2>．圆心角的度数等于它所对弧的度数；
<3>.一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半；
<4>.同弧或等弧所对的圆周角相等．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等；
<5>半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．______________的三点确定一个圆；经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆圆心叫三角形的______，它是三角形____________________的交点；与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆圆心叫三角形的______，它是三角形_______________的交点．设△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，△ABC的面积为S，则有：特别的，在Rt△ABC中，两直角边为a、b，斜边为c，其内切圆半径为r，则有：
◆典型例题分析
1、（2007 南宁）如图，是圆的两条弦，是圆的一条直径，且平分，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2007 临安）如图, ⊙O的半径OA=6, 以A为圆心,OA为半径的弧交⊙O于B、C两点, 则BC= ( )
A. B. C. D.
　
3．（2007 南昌）如图，是的直径，点是圆上两点，，则 度．
4．(2009中考变式题)如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上
任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
5.如图，在中，弦 HYPERLINK "http://www./" 平行于弦，若 HYPERLINK "http://www./" ，则____度．
∵∠B= HYPERLINK "http://www./" ∠AOC， ∴∠B=40° ∵AD∥BC∴ HYPERLINK "http://www./" ∠B =40°
6.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形
是半圆形的是（ ）
7．（2010江苏南通） 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，
CD＝6 cm，求直径AB的长．
方法一：连结OC，BC，则OC=OB
∵PC垂直平分OB，∴OC=BC.∴OC=OB=BC.∴△BOC为等边三角形.
∴∠BOC=60° 由垂径定理，CP=CD=3cm
在Rt△BOC中，=tan∠COP= ∴OP=cm.
∴AB=2OB=4OP=4cm.
8．（2010浙江金华）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O的半径为 ，
CE的长是 ．
解：(1) 证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB， ∴∠CEB﹦90°
∴∠2﹦90°－∠A﹦∠1
又∵C是弧BD的中点，∴∠1﹦∠A
∴∠1﹦∠2,
∴ CF﹦BF﹒ (2) ⊙O的半径为5 ， CE的长是
9．（2010 四川南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝BC．
（1）求∠BAC的度数．（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形．（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．
　　　
【答案】（1）解：连结OB和OC． ∵　OE⊥BC，∴　BE＝CE．
∵　OE＝BC，∴　∠BOC＝90°，∴　∠BAC＝45°．　　　　　　　
（2）证明：∵　AD⊥BC，∴　∠ADB＝∠ADC＝90°． 由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°， 　　　　　　∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，　　　　　　　　　
∴　∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°． ∴　∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°． ∴　四边形AFHG是正方形． （3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4． 设AD的长为x，则　BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．　 在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴　（x－6）2＋（x－4）2＝102．
解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）． ∴　AD＝12．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．（2010福建福州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，sinP＝，求⊙O的直径．
【答案】解：（1）证明：∵ ， ∴ ∠C＝∠P．
又∵ ∠1＝∠C， ∴ ∠1＝∠P．∴ CB∥PD．
（2）连接AC．
∵ AB为0D的直径， ∴ ∠ACB=90°．
又∵ CD⊥AB， ∴
∴ ∠A＝∠P， ∴ sinA＝sinP．
在Rt△ABC中， sinA＝，∵ sinP＝，
∴ ＝． 又∵ BC＝3， ∴ AB＝5．即⊙O的直径为5．
11．（2011广西河池）如图10，为的直径，为弦，且，垂足为．
（1）如果的半径为4，，求的度数；
（2）若点为的中点，连结，．求证：平分；
（3）在（1）的条件下，圆周上到直线距离为3的点有多少个？并说明理由．
【答案】解：（1）∵ AB为⊙O的直径，CD⊥AB ∴ CH＝CD＝2
　　　　　　在Rt△COH中，sin∠COH==
∴ ∠COH=60° ∵ OA=OC ∴∠BAC=∠COH=30°　
（2）∵ 点E是的中点 ∴OE⊥AB
∴ OE∥CD ∴ ∠ECD=∠OEC 又∵ ∠OEC=∠OCE
∴ ∠OCE=∠DCE ∴ CE平分∠OCD
（3）圆周上到直线的距离为3的点有2个. 因为劣弧上的点到直线的最大距离为2， 上的点到直线AC的最大距离为6，，根据圆的轴对称性，到直线AC距离为3的点有2个.
12.(2011·天津)如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，
∠APD＝70°，则∠B等于(　　)
A．30° B．35° C．40° D．50°
13．(2011·北京)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若OC＝5，CD＝8，则AE＝________
14、如图，在⊙O中，AB为⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∠AOC=60 ，则∠B= ．
第14题 第15题 第16题 第17题
15、如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 .
16、如图，已知是⊙O的直径，为弦，．过圆心作交于点，连接，则．
17、如图，为⊙O的直径，点在⊙O上，，则
18 .（08济南）已知：如图，，在射线AC上顺次截取AD =3cm，DB =10cm，
以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF 的长．
19、如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A． B． C． D．
20、如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，
则等边三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．
21、如图，是⊙O的直径，为弦，于，则下列结论中不成立的是（ 　）
A． B． C． D．
22、如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5 个
23、如图，内接于圆，，，是圆的直径， 交于点，连结，则等于（ ）
A． B． C． D．
24、如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
25、如图，在中，的度数为是上一点，是上不同的两点（不与两点重合），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
26、如图，△ ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤,正确结论的个数是:
A、2 B、3 C、4 D、5
27、如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD ﹦6，AC ﹦8，则⊙O的半径为 ，CE的长是 ．
28、如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接，.
(1) 求证：；
(2) 请判断，，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由.
29、如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
(1)求证：A、E、C、F四点共圆；
(2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM=ND．
B
D
C
A
1题图
第2题图
A
O
B
D
C
3题图
4题图
A
D
C
B
O
5题图
O
B
A
D
C
·
P
第7题
A
C
B
D
8题图
E
F
O
1
2
A
F
C
D
E
G
H
B
O
A
F
C
D
E
G
H
B
O
10题图
10题图
A
B
D
E
O
C
H
11题图
A
B
D
E
O
C
H
12题图
13题图
O
D
C
A
B
Ｏ
Ａ
Ｂ
A
B
C
O
D
A
C
D
O
B
O
A
D
B
C
E
F
P
18题图
B
E
D
A
C
O
第20题
A
B
C
O
第21题图
C
D
A
O
B
E
第19题图
第22题图
E
A
B
C
D
O
A
B
O
M
第24题
A
B
C
D
E
O
第25题
第23题图
第26题图
A
C
B
D
第27题图
E
F
O
第28题
第29题图