2012年中考数学专题：圆的综合复习

2012中考数学专题：圆的综合复习
一、考点定位：
1、圆的有关性质； 2、直线和圆的位置关系 3、与圆有关的比例线段
4. 圆和圆的位置关系 5、和圆有关的计算
二．主干梳理：
　　1、对称性：a：圆的对称性，虽然其它一些图形也是有，但圆有无数条对称轴这个特性其它图形所没有的，垂径定理，切线长定理，及正n边形的计算都应用到了这个特性。
　　b：旋转不变性，圆心角、弧、弦、弦心距关系，遇到有关圆习题，要抓住这个特性充分利用，许多问题可以找到解题思路。
　　2、三个角：圆心角、圆周角，以及圆内接四边形的外角(对角)这是在有关圆的问题中，找角相等必不可少的方法。
　　3、三个垂直：垂径定理，直径所对的圆周角，切线的性质它可以有效的把许多问题转化到直角三角形中，使问题得以解决。
　　4、四大关系：点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆与正多边形的关系，掌握切线的判定和性质以及有关计算是重点。
　　5、有关计算问题：有关线段的计算，正多边形的计算，有关扇形及阴影面积的计算，以及圆柱、圆锥侧面展开图的计算。
　　6、圆中添辅助线一般方法：添与垂径定理相关的辅助线，添与切线有关的辅助线(创造直角的辅助线)，添与圆内接四边形相关的辅助线;两圆相交时作公共弦，两圆相切时作公切线，总之添辅助线时，要构造和完善基本图形，切忌破坏图形的完整性。
1.（2010年广西桂林 ）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=，则∠A的度数为（ ）．
A.30 B.45 C.60 D.75
答案：C
2.(2010年厦门 )如图，正三角形ABC内接于⊙Ｏ，动点Ｐ在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于
A． B． C． D． 答案：B
3.（2010年铁岭 ）已知AB是半圆O的直径，∠BAC=32 ，D是弧AC的中点，那么∠DAC的度数是（ ）
A.25 B.29 C.30 D.32° 答案：B
4.（安徽）如图一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的弧)，点O是这段弧的圆心，C是
弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D， AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是 m．
5 . 如图，当半径为30cm的转动轮转过120角时， 传送带上的物体A平移的距离为 cm。
A． B． C． D．
6.（芜湖市)如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19 B．16
C．18 D．20
7．如图，AB、AC是⊙O的切线，将OB延长一倍至D，若∠DAC=60°，则∠D= ．
8．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则图中阴影部分的面积为 ．
9.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2，以AB为直径的圆交BC于D， 求图形阴影部分的面积．
思路点拨：连接AD，则阴影面积等于△ACD的面积，即等于△ABC面积的一半．
10.（2010年湖南模拟）如图 ,以△ACF的边AC为弦的圆交AF、CF于点B、E,连结BC,且满足AC2=CE·CF.求证:△ABC为等腰三角形.
证明:连结AE.∵AC2=CE·CF,∴
又∵∠ACE=∠FCA.∴△ACE∽△FCA.
∴∠AEC=∠FAC. ∵.
∴AC=BC,∴△ABC为等腰三角形.
11.（2010年 湖里区）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，
DA平分∠BDE。
（1）求证：AE是⊙O的切线。（2）若∠DBC=30°，DE=1 cm，求BD的长。
（1）证明：连结OA ∵AD平分∠BDE
∴∠ADE＝∠ADO ∵OA=OD
∴∠OAD＝∠ADO ∴∠ADE＝∠OAD
∴OA∥CE ∵AE⊥CD ∴AE⊥OA ∴AE是⊙O的切线
（2）∵BD是⊙O的直径 ∴∠BCD＝90°
∵∠DBC=30° ∴∠BDE＝120° ∵AD平分∠BDE ∴∠ADE＝∠ADO=60°
∵OA=OD ∴△OAD是等边三角形 ∴AD=OD=BD
在Rt△AED中，DE=1，∠ADE=60° ∴AD= = 2 ∴BD=4
12.（2010年杭州）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，
CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．
（1）试说明：DE＝BF；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积．
（1）∵ 弧CB=弧CD ∴ CB=CD，∠CAE=∠CAB
又∵ CF⊥AB，CE⊥AD ∴ CE=CF ∴ △CED≌△CFB
∴ DE=BF （2）易得：△CAE≌△CAF
易求：
∴
13．（湖南长沙 ）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°。
（1）求∠B的大小：
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长。
【答案】解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°，
∴∠CDB=40°。
又∵∠APD=65°，∴∠BPD=115°。
∴在△BPD中，∴∠B=180°－∠PDB－∠BPD=25°。
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3。
∵AB是直径，∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）。∴OE∥AD。
又∵O是AB的中点，∴OE是三角形ABD的中位线。∴AD=2OE=6。
14.如图,点C平分弧AB,CM⊥AO于点M,CN⊥OB于点N,则CM与CN有什么关系 为什么
15.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O 于点C，且∠DAC＝∠BAC，(1)试说明：AD⊥CD；(2)若AD＝4，AB＝6，求AC.
16.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F.（1）若C F长为π，求圆心角∠CBF的度数；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）.
17.⊙O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE，E为切点，PE∥OD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K．
（1）求证：四边形OCPE是矩形；
（2）求证：HK＝HG；
（3）若EF＝2，FO＝1，求KE的长．
解：(1)∵AC＝BC，AB不是直径，∴OD⊥AB，∠PCO＝90°
∵PE∥OD,∴∠P＝90°，∵PE是切线，∴∠PEO＝90°，(2分)∴四边形OCPE是矩形.
(2)∵OG＝OD,∴∠OGD＝∠ODG.∵PE∥OD,
∴∠K＝∠ODG. ∵∠OGD＝∠HGK,∴∠K＝∠HGK,
∴HK＝HG.
(3)∵EF＝2，OF＝1,∴EO＝DO＝3.(6分)∵PE∥OD，∴∠KEO＝∠DOE，
∠K＝∠ODG. ∴△OFD∽△EFK，(7分)∴EF∶OF＝KE∶OD＝2∶1,∴KE＝6.(8分)
18.直线经过上的点，并且，，交直线于，连接．
（1）求证：直线是的切线；
（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）若，的半径为3，求的长．
解：（1）证明：如图3，连接． ，，．是的切线．
（2）． 是直径，．．
又，，．
又，．．．
（3），．，．
设，则．又，．
解之，得，．，．．
19.（北京）已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，求的长．
解：（1）直线与相切．
证明：如图1，连结．
，．
， ．又，
．．直线与相切．
（2） 如图1，连结．是的直径， ．
，， ，
20.（08山东泰安24题）如图所示，是直角三角形，，以为直径的交于点，点是边的中点，连结．
（1）求证：与相切；
（2）若的半径为，，求．
（1）证明：连结
是直径是的中点
又
即但是的切线
（2）
21.（08年江苏连云港 ）如图，内接于，为的直径，，，过点作的切线与的延长线交于点，求的长．
解：是的直径，．又，
，．
又，所以是等边三角形，由，知．
是的切线，．
在中，，，
所以，．
1题图
第2题
5题图
4题图
3题图
7题图
6题图
8题图
9题图
第10题
第11题图
A B
O F
E
D C
12题图
14题
·
D
B
O
A
C
B
C
A
F
D
16题
第17题
D
C
O
A
B
E
D
C
O
A
B
E
图1
（第20题）
B
D
C
E
A
O
B
C
P
O
A
第21题图