2012年中考数学专题：圆的位置关系

中考数学专题复习：圆的位置关系
（一）点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d，则有：
（1）点P在圆外d r； （2）点P在圆上d r； （3）点P在圆内d r．
（二）直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离
直线和圆有 个公共点，我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的 ．
直线和圆有 个公共点，我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的 ，这个点叫做 ．
直线和圆 公共点，我们说这条直线和圆相离．
（1）d与r的关系：
设⊙O的半径为r,圆心到直线的距离OP=d，则有：
①直线与圆相交d r； ②直线与圆相切d r； ③直线与圆相离d r.
（三）切线的判定和性质
（1）切线长的概念：经过圆外一点作圆的 ，这点和 之间的长，叫做这点到圆的切线长；
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条 ，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线平分两条切线的 ．
（四）圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系有五种：外离、内含、相交、内切、外切
（1）两圆公共点的个数：
①两圆外离 公共点 ②两圆内含 公共点 ③两圆相交 个公共点
④两圆外切 个公共点 ⑤两圆内切 个公共点
（2）圆心距、半径及两圆的位置关系
设两圆的半径分别为R、r(R＞r)，圆心距为d，则
①两圆外离d R+r； ②两圆内含d R-r； ③两圆相交R-r d R+r；
④两圆外切d R+r； ⑤两圆内切d R-r．
（五）三角形的外接圆和内切圆
（1）不在 上的 个点确定一个圆.
（2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做 三角形.三角形外接圆的圆心是三角形三条边 线的交点，叫做这个三角形的 ．
（3）三角形的内切圆：与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做 三角形.三角形内切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫做三角形的 ．
【例题精讲】
1. 如图1，⊙O内切于，切点分别为．，，连结，则等于（　　）
A． B． C． D．
3.如图，P是⊙O的直径CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝，PB＝1，那么∠APC等于（ ）
A.
4. 如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，
那么PC的长等于 （ ）
A）6 （B）2
5.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A半径为2，⊙B半径为1，需使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示的位置向左平移 个单位长.
6. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于 （ ）
A.
7.下列结论中，正确的是（ ）
（A）圆的切线必垂直于半径； （B）垂直于切线的直线必经过圆心；
（C）垂直于切线的直线必经过切点； （D）经过圆心与切点的直线必垂直于切线
8.(2010常州)如图,若⊙的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,且⊙O的半径为2,则CD的长为 （ ）
A. B. C.2 D. 4
9.如图，PA、PB分别是⊙O的两条切线，切点是A、B，点C在⊙O上，若∠P＝50°，
则∠ACB＝ （ ）
A、40° B、50° C、65° D、130°
10.如图，（1）若点O是△ABC的外心，∠BOC＝100°，则∠A＝ °
（2）若点O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠A＝ °
（3）若点O既是△ABC的外心又是△ABC的内心，则△ABC是 三角形。
11.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为2cm和3cm，当⊙O1与⊙O2相交时，圆心距O1O2的范围是______
12 .（2011浙江温州，10，4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O边AB，BC都相切，点E，F分别在边AD，DC上．现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE＝2，则正方形ABCD的边长是( )
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
13. （2011湖北鄂州，13，3分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
【答案】D
14．（2011甘肃兰州，3，4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
15. （2011四川南充市，13，3分）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点， AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P= __________度.
【答案】50
16. （2011浙江义乌，21）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E. ⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD= .
（1）求证：CD∥BF；
（2）求⊙O的半径；
（3）求弦CD的长.
【答案】（1）∵BF是⊙O的切线 ∴AB⊥BF
∵AB⊥CD ∴CD∥BF
（2）连结BD ∵AB是直径 ∴∠ADB=90°
∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD=
∴cos∠BAD=
又∵AD=3 ∴AB=4
∴⊙O的半径为2
（3）∵cos∠DAE= AD=3∴AE=
∴ED= ∴CD=2ED= eq \f(3,2)
17. （2011浙江省舟山）如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．
【答案】（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．
(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;
在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;
∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,
∴BC=．即圆的直径为10.
18. （2011安徽芜湖，23 ）如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D.
(1) 求证：CD为⊙O的切线；
(2) 若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.
【答案】
（1）证明：连接OC，因为点C在⊙O上，OA=OC，所以 因为，所以，有.因为AC平分∠PAE，所以所以又因为点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，所以CD为⊙O的切线.
（2）解:过O作，垂足为F，所以，
所以四边形OCDF为矩形，所以
因为DC+DA=6，设,则
因为⊙O的直径为10，所以，所以.在中，由勾股定理知
即化简得，
解得或x=9. 由，知，故.从而AD=2，因为，由垂径定理知F为AB的中点，所以
19. （2011浙江温州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA＝3，AE＝2，
(1)求CD的长；
(2)求BF的长．
【答案】解：(1)连结OC，在Rt△OCE中，．
∵CD⊥AB， ∴
(2) ∵BF是⊙O 的切线，
∴FB⊥AB， ∴CE∥FB，
∴△ACE∽△AFB，∴，∴
20. （2011四川乐山）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，
且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点B作O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的长
⑴证明：连接OD
∵OA=OD
∴∠ADO=∠OAD
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADO+∠BDO=90°
∴在RtΔABD中，∠ABD+∠BAD=90°
∵∠CDA=∠CBD
∴∠CDA+∠ADO=90°
∴OD⊥CE
21. （2011四川凉山州）如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点。
求证：是半圆的切线；
若，，求的长。
⑴证明：连接， ∵是直径 ∴
有∵于 ∴
∵ ∴
∵是的角平分 ∴
又 ∵为的中点 ∴ ∵于
∵ 即
又∵是直径 ∴是半圆的切线
（2）∵，。
由（1）知，，∴。在中，于，平分，
∴，∴。由∽，得。
∴， ∴。
22.在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．
解：（1）理由如下
∵扇形的弧长＝16×＝8π，圆锥底面周长＝2πr，∴圆的半径为4cm
由于所给正方形纸片的对角线长为cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为cm，，∴方案一不可行．
（2）方案二可行．求解过程如下：
设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，则
， ① ． ②
由①②，可得，
故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm．
23.（2010年宝安区模拟）如图，在平面直角坐标系中，，直线OA与轴的夹角为，以P为圆心， 为半径作⊙P,与交于点.
当r为何值时，△为等边三角形？
当⊙P与直线相切时,求的值.
答案：（1）作于M.
∵是等边三角形,
∴
∵
∴
∴∴
(2)连结
∵与直线相切,∴⊙P的半径为4+2=6.
∴则
∵∴
24．如图9，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE。 （1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图10，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号）
D
O
A
F
C
B
E
1题图
第3题图
第4题图
第5题图
第6题图
8题图
9题图
10题图
C
D
A
O
P
B
第13题图
A
B
D
O
C
14题图
15题图
F
A
D
E
O
C
B
F
A
D
E
O
C
B
（第17题）
B
DA
OA
HA
CA
EA
MA
FA
A
21题图
（第8题）
方案一
A
B
C
D
方案二
A
B
C
D
·
O1
·
O2
x
y
O
P
A
-2
x
y
O
P
A
-2
C
M
O
A
E
C
B
D
图10
O
A
E
C
B
D
图9