广东省梅州市大埔县虎山高级中学校2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

虎山中学高一数学第二学期期中考试数学试题
本试卷共4页， 22小题，满分150分；考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题要用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。不按要求作答的答案无效。
参考公式：false.（false、false分别为上、下底面半径，false为母线长）
false. false （false为高，false、false分别为两底面面积）.
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则＝(　　)
A．(－2,3)　 B．(0,1) C．(－1,2)　 D．(2，－3)
2．已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，
则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
3．设false＝，false＝，且false∥false，则锐角α为(　　)
A．30°　 　B．60° C．75°　 D．45°
4. 边长为4的等边三角形用斜二测画法得到的图形的面积是 （? ）
false false false false
5．若圆台下底半径为4，上底半径为1，母线长为3，则其体积为(　　)
A．15π　 B．21π　　 C．25π　 D．63π
6.若false的三个内角满足false，则 false( )
A. 一定是锐角三角形. B. 一定是直角三角形.
C. 一定是钝角三角形. D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
7．若四边形ABCD满足+=false, (-)·=0, 则该四边形一定是(　　)
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.直角梯形
8．圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD
4831080408940(如图)．若底面圆的弦AB所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为(　　)
A．10π＋3 B．10π
C．＋ D．2π－3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出
的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，
部分选对的得2分．
9．已知复数z＝，则(　　)
A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1
435419546418510．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆上异于A，B的任一点，
则下列结论中正确的是(　 　)
A．PC⊥BC B．AC⊥平面PBC
C．平面PAB⊥平面PBC D．平面PCB⊥平面PAC
11．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(　 　)
A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形
B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形
C．若sin2A＋sin2B＋cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或
12．对于四面体A-BCD，以下命题中正确的命题是(　　)
A．若AB＝AC＝AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等
B．若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心
C．四面体A-BCD的四个面中最多有四个直角三角形
D．若四面体A-BCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13.在△ABC中，若a=1，false，A+C=2B，则A= _________. 255270015875024003006350
14．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为________．
15．已知复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝5，则|z1－z2|的最小值是________．
16.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中
正确的是____________;
①若m⊥n，m⊥α，nfalseα，则n∥α ; ②若m∥α，α⊥β，则m⊥β;
③若m⊥β，α⊥β，则m∥α; ④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β;
四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17（共10分）．已知复数z满足(z－2)·(1＋i)＝1－i (i为虚数单位)．
(1)求复数z；
(2)求|(3＋i)·z|.

18．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，
3507105148590∠BAD＝∠FAB＝90°，BCAD，BEFA，
G，H分别为FA，FD的中点．
(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？请说明理由．





19．在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边, 且满足sin A+cos A=2.
(1)求角A的大小.
(2)现给出三个条件: ①a=2; ②B=false; ③c=b. 试从中选出两个可以确定△ABC的条件,
写出你的方案,并以此为依据求△ABC的面积.(写出一种方案即可)
20．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，
397383045720PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面PBC；
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．


21．已知非零向量false，false满足|false|＝1，且(false－false)·(false＋false)＝.
(1)求|false|；
(2)当false·false＝－时，求向量false与false＋2false的夹角θ的值．
22.如图，在三棱柱false中，△false是边长为false的等边三角形，
3869055133985false平面false， false，false分别是false，false的中点.
（1）求证：false∥平面false；
（2）若false于H,
且false与平面false所成角的正切值为false，
求平面false 与平面false所成二面角（锐角）的余弦值.
新教材高一数学第二学期期中考试数学 (参考答案)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
D　A　B　A B　C C A　
二、多项选择题9. BD　 10. AD　 11. CD　 12. ACD　
12.【解析】如图1，设点A在平面BCD内的射影是E，因为sin∠ABE＝，sin∠ACE＝，3623310485140sin∠ADE＝，AB＝AC＝AD，所以sin∠ABE＝sin∠ACE＝sin∠ADE，
则AB，AC，AD与底面所成的角相等，故A正确；
因为AE⊥平面BCD，所以AE⊥CD，又AB⊥CD，
所以CD⊥平面ABE，所以CD⊥BE，
同理可证BD⊥CE，所以E是△BCD的垂心，
故B不正确；
如图2，设正方体的棱长为1，则易求得AC＝，AD＝，又CD＝1，所以AC2＋CD2＝AD2，
即△ACD为直角三角形，易证△ABC，△ABD，△BCD都是直角三角形，直角三角形的个数是4，
故C正确；图1中，设O为正四面体A-BCD的内切球的球心，正四面体的棱长为1，
所以OE为内切球的半径，BF＝AF＝，BE＝，所以AE＝＝，由BO2－OE2＝BE2，
得2－OE2＝2，所以OE＝，所以内切球的表面积为4π·OE2＝，故D正确．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13: false 14．false 15． 4， 16: ①、④
三、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解：(1)由(z－2)·(1＋i)＝1－i，
得z＝＋2＝＋2＝2－i.
(2)由z＝2－i，
得|(3＋i)·z|＝|(3＋i)(2－i)|＝|7－i|＝＝5.
344995521907518． (1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GHAD．
又BCAD，故GHBC．
所以四边形BCHG是平行四边形．
(2)解：C，D，F，E四点共面．理由如下：
由BEFA，G是FA的中点，知BEGF.
所以EFBG.
由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH. 故EC，FH共面．
又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．
19．解:(1)依题意,得2sin（A+）=2,
即sin（A+）=1.
因为0所以A+=,所以A=.
(2)参考方案:选择①②.
由正弦定理=,得b==2.
因为A+B+C=π,
所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,
所以S△ABC=absin C=×2×2×=+1.
20． (1)解：因为AD∥BC，所以∠DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角．
3611880152400因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
在Rt△PDA中，AP＝＝，
所以cos ∠DAP＝＝.
所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(2)证明：因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
又因为AD∥BC，PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，
所以PD⊥平面PBC．
(3)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.
由已知得CF＝BC－BF＝2.
又AD⊥DC，故BC⊥DC．
在Rt△DCF中，DF＝＝2.
在Rt△DPF中，sin∠DFP＝＝.
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
21. 解：(1)根据条件，(false－false)·(false＋false)＝false2－false2＝1－false2＝，∴false2＝. |false|＝.
(2)∵false·false＝－，
∴false·(false＋2false)＝false2＋2false·false＝1－＝，
|false＋2false|＝false＝＝1.
cos θ＝false＝＝. θ∈[0，π]， 得θ＝.

37719005080022（共12分）.解法：
（1）证明：延长false交false的延长线于点false，连接false.
∵false∥false，且falsefalsefalse，
∴false为false的中点.
∵false为false的中点，
∴false∥false.
∵false平面false，false平面false，
∴false∥平面false. ……………4分
（2）解：∵false平面false，false平面false，
∴falsefalse.
∵△false是边长为false的等边三角形，false是false的中点，
∴falsefalse，false.
∵false平面false，false平面false，false，
∴false平面false.
∴false为false与平面false所成的角.
在Rt△false中，false，
∴falsefalsefalse.
∴false. ……………8分
∵false∥false，false平面false，
∴false平面false.
∵false平面false，false平面false，
∴falsefalse，falsefalse.
∴false为平面false 与平面false所成二面角（锐角）. …………10分
在Rt△false中，BE=1,falsefalse，
falsefalse
∴平面false 与平面false所成二面角（锐角）的余弦值为false.…………12分