选修2-2综合测试
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选修2-2综合测试
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1、复数a+bi与复数c+di的积是实数的充要条件是（ ）
A、ad+bc=0 B、ac+bd=0 C、ac=bd D、ad=bc
2、函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（ ）
A、极大值5，极小值﹣27 B、极大值5，极小值﹣11
C、极大值5，无极小值 D、极小值﹣27，无极大值
3、函数单调递增区间是（ ）
A、（0，+∞） B、（﹣∞，1） C、 D、（1，+∞）
4、下列计算错误的是（ ）
A、∫﹣ππsinxdx=0 B、∫01=
C、cosxdx=2cosxdx D、∫﹣ππsin2xdx=0
5、计算的值为（ ）
A、﹣1 B、1﹣2i C、1+2i D、1
6、函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（ ）
A、10 B、5 C、﹣1 D、
7、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b 平面α，直线a 平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（ ）
A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、非以上错误
8、若z1，z2∈C，z1+z2是（ ）
A、纯虚数 B、实数 C、虚数 D、不能确定
9、设z=log2（m2﹣3m﹣3）+ilog2（m﹣3）（m∈R），若z对应的点在直线x﹣2y+1=0上，则m的值是（ ）
A、 B、 C、 D、15
10、用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（ ）
A、增加了一项 B、增加了两项
C、增加了两项，又减少了一项 D、增加了一项，又减少了一项
11、定义复数的一种运算z1*z2=（等式右边为普通运算），若复数z=a+bi，且正实数a，b满足a+b=3，则z*最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、
12、（2009 广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V已（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（ ）
A、在t1时刻，甲车在乙车前面 B、t1时刻后，甲车在乙车后面
C、在t0时刻，两车的位置相同 D、t0时刻后，乙车在甲车前面
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13、复数在复平面内，z所对应的点在第 _________ 象限．
14、垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2﹣5相切的直线方程是 _________
15、在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，则克服弹力所作的功是 _________ J．（设比例系数为k）
16、若Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记M=，N=，那么M、N的大小关系是 _________ ．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17、设复数z满足|z|=1，且（3+4i） z是纯虚数，求．
18、已知如下等式：，，，…当n∈N*时，试猜想12+22+32+…+n2的值，并用数学归纳法给予证明．
19、（2006 江苏）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
20、（2009 北京）设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．
21、已知函数f（x）=x2﹣alnx（常数a＞0），g（x）=ex﹣x．
（1）证明：ea＞a；
（2）当a＞2e时，讨论函数f（x）在区间（1，ea）上零点的个数（e为自然对数的底数）．
22、（1）已知函数f（x）=﹣x2+4（x∈（﹣1，2）），P、Q是f（x）图象上的任意两点．
①试求直线PQ的斜率kPQ的取值范围；
②求f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围；
（2）由（1）你能得出什么结论？（只须写出结论，不必证明），试运用这个结论解答下面的问题：已知集合MD是满足下列性质函数f（x）的全体：若函数f（x）的定义域为D，对任意的x1，x2∈D，（x1≠x2）有|f（x1）﹣f（x2）|＜|x1﹣x2|．
①当D=（0，1）时，f（x）=lnx是否属于MD，若属于MD，给予证明，否则说明理由；
②当，函数f（x）=x3+ax+b时，若f（x）∈MD，求实数a的取值范围．
答案与评分标准
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1、解答：解：∵（a+bi） （c+di）=ac﹣bd+（ad+bc）i
复数a+bi与复数c+di的积是实数，
∴所得的复数的积的虚部是零，
∴ad+bc=0．
故选A．
2、解答：解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，
当x=﹣1时，y极大值=5；x取不到3，无极小值．
故选C
3、解答：解：令
故答案为C．
4、解答：解：∫﹣ππsinxdx=（﹣cosx）|﹣ππ=（﹣cosπ）﹣（﹣cos（﹣π）=0
因为y=cosx为偶函数所以
=π
故选D
5、解答：解：
=[（1+2i） 1+（﹣i）5]2﹣i10=（1+i）2﹣i10=1+2i．
故选C
6、解答：解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f′（x）=3x2+4，
∴f′（1）=7，即切线的斜率为7，
又f（1）=10，故切点坐标（1，10），
∴切线的方程为：y﹣10=9（x﹣1），当y=0时，x=﹣，
切线在x轴上的截距为﹣，
故选D．
7、解答：解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．
故大前提错误．
故选A
点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．
8、解答：解：设z1=a+bi，z2=c+di，（a，b，c，d∈R），
z1+z2=（a+bi）（c﹣di）+（a﹣bi）（c+di）=2ac+2bd∈R，
故选B
9、解答：解：
；
故选B．
10、解答：解：，
=
故选C
11、解答：解：z*=
，
z*=．
故选B
12、解答：
解：当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c，乙走过的路程=v乙dt=c；
当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c+d，而乙走过的路程=v乙dt=c+d+b；
从图象上可知a＞b，所以在t1时刻，a+c+d＞c+d+b即甲的路程大于乙的路程，A正确；t1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D错．
故答案为A
( http: / / www.m / )
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13、解答：解：∵．
又∵实部﹣1＜0；虚部1＞0
故z所对应的点在第二象限
故答案为：二
点评：若z=a+bi，当a＞0，b＞0时，z所对应的点在第一象限；
当a＜0，b＞0时，z所对应的点在第二象限；
当a＜0，b＜0时，z所对应的点在第三象限；
当a＞0，b＜0时，z所对应的点在第四象限．
14、解答：解：设切点为P（a，b），函数y=x3+3x2﹣5的导数为y′=3x2+6x
切线的斜率k=y′|x=a=3a2+6a=﹣3，得a=﹣1，代入到y=x3+3x2﹣5，
得b=﹣3，即P（﹣1，﹣3），y+3=﹣3（x+1），3x+y+6=0．
故答案为：3x+y+6=0．
15、分析：由于在拉动过程中，力F（x）与弹簧的长度x关系为F（x）=kx，为变力，根据变力作功公式，我们可得一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，则克服弹力所作的功是W=∫0l（kx）dx，计算后易得答案．
解答：解：因为力F（x）与弹簧的长度x关系为F（x）=kx，
由变力作功公式，
得．
故答案为：
点评：本题是定积分在物理力学中的简单应用，考查的知识点是变力做功公式，即若在区间[a，b]上，F=f（x），则力F所做的功W=∫abf（x）dx
16、解答：解：在Rt△ABC中，c2=a2+b2①，由等面积法得ch=ab，
∴c2 h2=a2 b2②，①÷②整理得．
类比得，S△ABC2=S△PAB2+S△PBC2+S△PAC2①，
由等体积法得，
∴②，
①÷②整理得M=N．
故答案为：M=N．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17、解答：解：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得；
（3+4i） z=（3+4i）（a+bi）=3a﹣4b+（4a+3b）i是纯虚数，
则3a﹣4b=0，
．
18、解答：解：由已知，猜想12+22+32+…+n2=，
下面用数学归纳法给予证明：
（1）当n=1时，由已知得原式成立；
（2）假设当n=k时，原式成立，即12+22+32+…+k2=，
那么，当n=k+1时，12+22+32+…+（k+1）2=+（k+1）2
=
=
故n=k+1时，原式也成立．
由（1）、（2）知12+22+32+…+n2=成立．
19、解答：解：设OO1为xm，
则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）
帐篷的体积为（单位：m3）
求导数，得
令V'（x）=0解得x=﹣2（不合题意，舍去），x=2．
当1＜x＜2时，V'（x）＞0，V（x）为增函数；
当2＜x＜4时，V'（x）＜0，V（x）为减函数．
所以当x=2时，V（x）最大．
答当OO1为2m时，帐篷的体积最大．
20、解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，
∴
（Ⅱ）∵f′（x）=3（x2﹣a）（a≠0），
当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点．
当a＞0时，由，
当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴此时是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点．
21、解答：（1）证明：得g′（x）=ex﹣1，令g′（x）=0得到x=0
当x＞0时，g′（x）=ex﹣1＞1﹣1=0，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，
又a＞0，得g（a）＞g（0）=1＞0．
所以，ea﹣a＞0，即ea＞a．
（2）解：因为=．
当时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴
又由（1）得，
且当a＞2e时，，有．
而f（1）=1＞0，f（ea）=e2a﹣a2=（ea﹣a）（ea+e）＞0，
当a＞2e时，，
所以，当a＞2e时，函数f（x）在（1，ea）上有两个零点．
22、解答：解：（1）=1 ①设P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是f（x）图象上的任意两点（x1≠x2），则，
由x1，x2∈（﹣1，2），知﹣（x1+x2）∈（﹣4，2），
∴直线PQ的斜率kPQ的取值范围是（﹣4，2）；
②由f′（x）=﹣2x，x∈（﹣1，2），得f′（x）∈（﹣4，2），
∴f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围是（﹣4，2）；
（2）由（1）得：函数y=f（x）图象上任意两点P、Q连线的斜率的取值范围，
就是曲线上任一点切线的斜率（如果有的话）的范围（其实由导数的定义可得）．
①∵，∴若x∈（0，1），f′（x）＞1 |f′（x）|＞1，
∴，当x1，x2∈（0，1）时，f（x）=lnx MD．
②由f（x）=x3+ax+b f′（x）=3x2+a，当时，
a＜f′（x）＜1+a．∵f（x）∈MD，
∴，
∴，得﹣1≤a≤0．
∴实数a的取值范围是[﹣1，0]．
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1、复数a+bi与复数c+di的积是实数的充要条件是（ ）
A、ad+bc=0 B、ac+bd=0 C、ac=bd D、ad=bc
2、函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（ ）
A、极大值5，极小值﹣27 B、极大值5，极小值﹣11
C、极大值5，无极小值 D、极小值﹣27，无极大值
3、函数单调递增区间是（ ）
A、（0，+∞） B、（﹣∞，1） C、 D、（1，+∞）
4、下列计算错误的是（ ）
A、∫﹣ππsinxdx=0 B、∫01=
C、cosxdx=2cosxdx D、∫﹣ππsin2xdx=0
5、计算的值为（ ）
A、﹣1 B、1﹣2i C、1+2i D、1
6、函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（ ）
A、10 B、5 C、﹣1 D、
7、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b 平面α，直线a 平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（ ）
A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、非以上错误
8、若z1，z2∈C，z1+z2是（ ）
A、纯虚数 B、实数 C、虚数 D、不能确定
9、设z=log2（m2﹣3m﹣3）+ilog2（m﹣3）（m∈R），若z对应的点在直线x﹣2y+1=0上，则m的值是（ ）
A、 B、 C、 D、15
10、用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（ ）
A、增加了一项 B、增加了两项
C、增加了两项，又减少了一项 D、增加了一项，又减少了一项
11、定义复数的一种运算z1*z2=（等式右边为普通运算），若复数z=a+bi，且正实数a，b满足a+b=3，则z*最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、
12、（2009 广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V已（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（ ）
A、在t1时刻，甲车在乙车前面 B、t1时刻后，甲车在乙车后面
C、在t0时刻，两车的位置相同 D、t0时刻后，乙车在甲车前面
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13、复数在复平面内，z所对应的点在第 _________ 象限．
14、垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2﹣5相切的直线方程是 _________
15、在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，则克服弹力所作的功是 _________ J．（设比例系数为k）
16、若Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记M=，N=，那么M、N的大小关系是 _________ ．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17、设复数z满足|z|=1，且（3+4i） z是纯虚数，求．
18、已知如下等式：，，，…当n∈N*时，试猜想12+22+32+…+n2的值，并用数学归纳法给予证明．
19、（2006 江苏）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
20、（2009 北京）设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．
21、已知函数f（x）=x2﹣alnx（常数a＞0），g（x）=ex﹣x．
（1）证明：ea＞a；
（2）当a＞2e时，讨论函数f（x）在区间（1，ea）上零点的个数（e为自然对数的底数）．
22、（1）已知函数f（x）=﹣x2+4（x∈（﹣1，2）），P、Q是f（x）图象上的任意两点．
①试求直线PQ的斜率kPQ的取值范围；
②求f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围；
（2）由（1）你能得出什么结论？（只须写出结论，不必证明），试运用这个结论解答下面的问题：已知集合MD是满足下列性质函数f（x）的全体：若函数f（x）的定义域为D，对任意的x1，x2∈D，（x1≠x2）有|f（x1）﹣f（x2）|＜|x1﹣x2|．
①当D=（0，1）时，f（x）=lnx是否属于MD，若属于MD，给予证明，否则说明理由；
②当，函数f（x）=x3+ax+b时，若f（x）∈MD，求实数a的取值范围．
答案与评分标准
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1、解答：解：∵（a+bi） （c+di）=ac﹣bd+（ad+bc）i
复数a+bi与复数c+di的积是实数，
∴所得的复数的积的虚部是零，
∴ad+bc=0．
故选A．
2、解答：解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，
当x=﹣1时，y极大值=5；x取不到3，无极小值．
故选C
3、解答：解：令
故答案为C．
4、解答：解：∫﹣ππsinxdx=（﹣cosx）|﹣ππ=（﹣cosπ）﹣（﹣cos（﹣π）=0
因为y=cosx为偶函数所以
=π
故选D
5、解答：解：
=[（1+2i） 1+（﹣i）5]2﹣i10=（1+i）2﹣i10=1+2i．
故选C
6、解答：解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f′（x）=3x2+4，
∴f′（1）=7，即切线的斜率为7，
又f（1）=10，故切点坐标（1，10），
∴切线的方程为：y﹣10=9（x﹣1），当y=0时，x=﹣，
切线在x轴上的截距为﹣，
故选D．
7、解答：解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．
故大前提错误．
故选A
点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．
8、解答：解：设z1=a+bi，z2=c+di，（a，b，c，d∈R），
z1+z2=（a+bi）（c﹣di）+（a﹣bi）（c+di）=2ac+2bd∈R，
故选B
9、解答：解：
；
故选B．
10、解答：解：，
=
故选C
11、解答：解：z*=
，
z*=．
故选B
12、解答：
解：当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c，乙走过的路程=v乙dt=c；
当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c+d，而乙走过的路程=v乙dt=c+d+b；
从图象上可知a＞b，所以在t1时刻，a+c+d＞c+d+b即甲的路程大于乙的路程，A正确；t1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D错．
故答案为A
( http: / / www.m / )
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13、解答：解：∵．
又∵实部﹣1＜0；虚部1＞0
故z所对应的点在第二象限
故答案为：二
点评：若z=a+bi，当a＞0，b＞0时，z所对应的点在第一象限；
当a＜0，b＞0时，z所对应的点在第二象限；
当a＜0，b＜0时，z所对应的点在第三象限；
当a＞0，b＜0时，z所对应的点在第四象限．
14、解答：解：设切点为P（a，b），函数y=x3+3x2﹣5的导数为y′=3x2+6x
切线的斜率k=y′|x=a=3a2+6a=﹣3，得a=﹣1，代入到y=x3+3x2﹣5，
得b=﹣3，即P（﹣1，﹣3），y+3=﹣3（x+1），3x+y+6=0．
故答案为：3x+y+6=0．
15、分析：由于在拉动过程中，力F（x）与弹簧的长度x关系为F（x）=kx，为变力，根据变力作功公式，我们可得一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，则克服弹力所作的功是W=∫0l（kx）dx，计算后易得答案．
解答：解：因为力F（x）与弹簧的长度x关系为F（x）=kx，
由变力作功公式，
得．
故答案为：
点评：本题是定积分在物理力学中的简单应用，考查的知识点是变力做功公式，即若在区间[a，b]上，F=f（x），则力F所做的功W=∫abf（x）dx
16、解答：解：在Rt△ABC中，c2=a2+b2①，由等面积法得ch=ab，
∴c2 h2=a2 b2②，①÷②整理得．
类比得，S△ABC2=S△PAB2+S△PBC2+S△PAC2①，
由等体积法得，
∴②，
①÷②整理得M=N．
故答案为：M=N．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17、解答：解：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得；
（3+4i） z=（3+4i）（a+bi）=3a﹣4b+（4a+3b）i是纯虚数，
则3a﹣4b=0，
．
18、解答：解：由已知，猜想12+22+32+…+n2=，
下面用数学归纳法给予证明：
（1）当n=1时，由已知得原式成立；
（2）假设当n=k时，原式成立，即12+22+32+…+k2=，
那么，当n=k+1时，12+22+32+…+（k+1）2=+（k+1）2
=
=
故n=k+1时，原式也成立．
由（1）、（2）知12+22+32+…+n2=成立．
19、解答：解：设OO1为xm，
则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）
帐篷的体积为（单位：m3）
求导数，得
令V'（x）=0解得x=﹣2（不合题意，舍去），x=2．
当1＜x＜2时，V'（x）＞0，V（x）为增函数；
当2＜x＜4时，V'（x）＜0，V（x）为减函数．
所以当x=2时，V（x）最大．
答当OO1为2m时，帐篷的体积最大．
20、解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，
∴
（Ⅱ）∵f′（x）=3（x2﹣a）（a≠0），
当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点．
当a＞0时，由，
当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴此时是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点．
21、解答：（1）证明：得g′（x）=ex﹣1，令g′（x）=0得到x=0
当x＞0时，g′（x）=ex﹣1＞1﹣1=0，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，
又a＞0，得g（a）＞g（0）=1＞0．
所以，ea﹣a＞0，即ea＞a．
（2）解：因为=．
当时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴
又由（1）得，
且当a＞2e时，，有．
而f（1）=1＞0，f（ea）=e2a﹣a2=（ea﹣a）（ea+e）＞0，
当a＞2e时，，
所以，当a＞2e时，函数f（x）在（1，ea）上有两个零点．
22、解答：解：（1）=1 ①设P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是f（x）图象上的任意两点（x1≠x2），则，
由x1，x2∈（﹣1，2），知﹣（x1+x2）∈（﹣4，2），
∴直线PQ的斜率kPQ的取值范围是（﹣4，2）；
②由f′（x）=﹣2x，x∈（﹣1，2），得f′（x）∈（﹣4，2），
∴f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围是（﹣4，2）；
（2）由（1）得：函数y=f（x）图象上任意两点P、Q连线的斜率的取值范围，
就是曲线上任一点切线的斜率（如果有的话）的范围（其实由导数的定义可得）．
①∵，∴若x∈（0，1），f′（x）＞1 |f′（x）|＞1，
∴，当x1，x2∈（0，1）时，f（x）=lnx MD．
②由f（x）=x3+ax+b f′（x）=3x2+a，当时，
a＜f′（x）＜1+a．∵f（x）∈MD，
∴，
∴，得﹣1≤a≤0．
∴实数a的取值范围是[﹣1，0]．