§10.2-事件的相互独立性课件-2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第十章（34张PPT）

§10.2 事件的相互独立性
温故知新
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新课导入
探究1
前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法.
对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？ 我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生. 因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关. 那么，这种关系会是怎样的呢？
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A= “第一枚硬币正面朝上"，B="第二枚硬币反面朝上”.
试验2： —个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其它差异. 采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. A= “第一次摸到球的标号小于3”，B = “第二次摸到球的标号小于3”.
分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
新课讲解
因为两枚硬币分别拋掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A= “第一枚硬币正面朝上"，B="第二枚硬币反面朝上”.
计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω ={(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)}, 包含 4 个等可能的样本点. 而 A ={(1, 1), (1, 0)}, B={(1, 0), (0, 0)}, 所以AB={(1, 0)}. 由古典概型概率计算公式，得
P(A)=P(B)= , P(AB)= . 于是P(AB)=P(A)P(B).
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
新课讲解
因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
试验2： —个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其它差异. 采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. A= “第一次摸到球的标号小于3”，B = “第二次摸到球的标号小于3”.
计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
样本空间为Ω ={(m, n) | m, n∈{1, 2, 3, 4}}, 包含 16 个等可能的样本点. 而 A ={(m, n) | m∈{1, 2}, n∈{1, 2, 3, 4}}含 8 个样本点, B={(m, n) | m∈{1, 2, 3, 4}, n∈{1, 2}}含 8 个样本点, ∴AB={(m, n) | m∈{1, 2}, n∈{1, 2}}含 4 个样本点.
由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)= , P(AB)= .
∴ 积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
从上述两个试验的共性中得到启发，我们引入这种事件关系的一般定义：
对任意两个事件A与B , 如果 P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent), 简称为独立.
P(AB)=P(A)P(B) 事件A与B相互独立.
由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件Ω，不可能事件Φ都与任意事件相互独立.
这是因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件Φ总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响. 当然，它们也不影响其他事件是否发生.
一、两个事件相互独立
互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？
以有放回摸球试验为例，分别验证A与B、A与B、A与B是否独立，你有什么发现？
对于A与因为A=AB∪AB，而且AB与AB互斥，
所以P(A) =P(AB ∪AB)=P(AB)＋P(AB)
=P(A)P(B)＋P(AB), 所以
P(AB) =P(A)－P(A)P(B)=P(A)(1－P(B))=P(A)P(B)
由事件的独立性定义，A与B相互独立.
类似地，可以证明事件A与B，A与B也都相互独立.
探究2
例1. 一个袋子中有标号分别为1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件A = “第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
解：∵样本空间为Ω ={(m, n) | m, n∈{1, 2, 3, 4} 且
m ≠ n}, 包含 12 个等可能的样本点. 而 A ={(1, 2), (1, 3),(1, 4), (2, 1),(2, 3), (2, 4)}含 6 个样本点,
B={(m, n) | m∈{1, 2, 3, 4}, n∈{1, 2}且m ≠ n} 含 6 个样本点, ∴AB={(1, 2), (2, 1) }含 2 个样本点.
所以P(A)=P(B)= = , P(AB)= ≠ ×
此时P(AB) ≠ P(A)P(B), 因此, 事件A与事件B不独立.
[题型一] 事件独立性的判断
课本P.248 例1
[题型一] 事件独立性的判断
[变式训练]
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的概率：
(1) 两人都中靶； (2) 恰好有一人中靶；
(3) 两人都脱靶； (4) 至少有一人中靶.
[题型二] 求相互独立事件的概率
课本P.248 例2
分析：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, 从要求的概率可知，需要先分别求A，B的对立事件A，B的概率，并利用A, B, A, B构建相应的事件.
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的概率：
(1) 两人都中靶； (2) 恰好有一人中靶；
(3) 两人都脱靶； (4) 至少有一人中靶.
[题型二] 求相互独立事件的概率
课本P.248 例2
解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, A=“甲脱靶”, B= “乙脱靶”, 由于 甲、乙射击互不影响，∴A与B相互独立，∴A与B ，A与B，A与B也相互独立，
由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.
(1) AB = “两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB) =P(A)P(B) =0.8×0.9=0.72.
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的概率：
(1) 两人都中靶； (2) 恰好有一人中靶；
(3) 两人都脱靶； (4) 至少有一人中靶.
[题型二] 求相互独立事件的概率
课本P.248 例2
解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, A=“甲脱靶”, B= “乙脱靶”, 由于 甲、乙射击互不影响，∴A与B相互独立，∴A与B ，A与B，A与B也相互独立，
由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.
(2)“恰好有一人中靶” =AB∪AB, 且AB与AB互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
P(AB∪AB) =P(AB)＋P(AB) =P(A)P(B)＋P(A)P(B)
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的概率：
(1) 两人都中靶； (2) 恰好有一人中靶；
(3) 两人都脱靶； (4) 至少有一人中靶.
[题型二] 求相互独立事件的概率
课本P.248 例2
解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, A=“甲脱靶”, B= “乙脱靶”, 由于 甲、乙射击互不影响，∴A与B相互独立，∴A与B ，A与B，A与B也相互独立，
由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.
(3)事件“两人都脱靶” =AB，所以
P(AB) =P(A)P(B)=(1－0.8) × (1－0.9) =0.02.
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的概率：
(1) 两人都中靶； (2) 恰好有一人中靶；
(3) 两人都脱靶； (4) 至少有一人中靶.
[题型二] 求相互独立事件的概率
课本P.248 例2
解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, A=“甲脱靶”, B= “乙脱靶”, 由于 甲、乙射击互不影响，∴A与B相互独立，∴A与B ，A与B，A与B也相互独立，
由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.
(4)方法1：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶"，根据对立事件的性质得，事件“至少有一人中靶”的概率为
1－P(AB) =1－0.02 =0. 98.
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的概率：
(1) 两人都中靶； (2) 恰好有一人中靶；
(3) 两人都脱靶； (4) 至少有一人中靶.
[题型二] 求相互独立事件的概率
课本P.248 例2
解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, A=“甲脱靶”, B= “乙脱靶”, 由于 甲、乙射击互不影响，∴A与B相互独立，∴A与B ，A与B，A与B也相互独立，
由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.
(4)方法2：由于事件“至少有一人中靶”=AB∪AB
∪AB，且AB，AB，AB两两互斥，∴事件“至少有一人中靶”的概率为 P(AB∪AB∪AB )=P(AB)＋P(AB)＋P(AB)=P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)
=0. 98.
[题型二] 求相互独立事件的概率
[题型三] 相互独立事件概率的实际应用
课本P.249 例3
例4. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语, 已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 . 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个, 乙猜对1个”的和事件发生.
解：设A1 , A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1 , B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得
P(A1)=2× × = ； P(A2)=( )2= ，
P(B1)=2× × = ； P(B2)=( )2= .
设A=“两轮活动'星队'猜对3个成语”，则
A=A1B2 ∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，
所以 P(A) = P(A1B2)＋P(A2B1) ；
[题型三] 相互独立事件概率的实际应用
课本P.249 例3
例4. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语, 已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 . 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
[题型三] 相互独立事件概率的实际应用
课本P.249 例3
例4. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语, 已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 . 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
解：设A1 , A2分别 …………
所以 P(A) = P(A1B2)＋P(A2B1) ；
又∵A1与B2，A2与B1分别相互独立，
∴ P(A) = P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)
= × ＋ × =
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是
[题型三] 相互独立事件概率的实际应用
[变式训练]
[变式训练]
[变式训练]
课堂小结
[课外作业]
1、课本P.249 【练习】1、2、3、4
2、课本P.250 【习题10.2】1、2、3、4、5、6
3、课时跟踪检测(四十四)
4、预习课本P.251～P.254《10.3 频率与概率》
“夯基提能·落实素养”见“课时跟踪检测(四十四)”
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