§10.1.3-古典概型课件-2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第十章（49张PPT）

§10.1.3 古典概型
温故知新
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.
对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability）, 事件A的概率用P(A)表示.
我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计. 但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.
能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？
新课导入
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思考1
在§10.1.1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验. 它们的共同特征有哪些？
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型 (classical models of probability)， 简称古典概型.
思考2
有限性
等可能性
有限性
等可能性
10
9
9
9
9
8
8
8
8
7
7
7
7
6
6
6
6
5
5
5
5
思考3
[题型一] 古典概型的判断
[解]　根据古典概型的特征进行考虑，
①③中样本点有无限多个，因此不属于古典概型．
④中硬币不均匀，则“正面朝上”“反面朝上”出现的可能性不相等，不是古典概型．
②从含有1的10个整数中任取1个整数，其样本点总数为10，是有限的，且每个数取到的可能性相等，故②为古典概型概率问题．
[题型一] 古典概型的判断
[变式训练]
思考4
一个班级中有18名男生、22名女生. 采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A= “抽到男生”；如何度量事件A发生的可能性大小?
班级中共有40名学生，从中随机选取一名学生，选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型.
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小. 因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量.
显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点, 而事件A= “抽到男生”包含18个样本点. 因此，事件A发生的可能性大小为
思考5
抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件
B= “恰好一次正面期上”. 如何度量事件B发生的可能性大小?
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间Ω={(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)}. 共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.
事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小. 因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量.
因为 B={(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))}，所以事件B发生的可能性大小为
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率

其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
古典概型的概率
例2 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A, B, C, D四个选项中选择一个正确答案. 如果考生掌握了考査的内容，他可以选择唯一正确的答案. 假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为Ω={A, B, C, D}.
考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型.
设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以 n(M) =1，n(Ω) =4.
所以，考生随机选择一个答案，答对的概率
课本P.234 例7
[题型二] 简单的古典概型的概率计算
思考6
在标准化考试中也有多选题，多选题是从A, B, C, D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有一个选项是正确的）. 你认为单选题和多选題哪种更难选对？为什么？
解：多选题的样本空间Ω={A, B, C, D, AB, AC, AD, BC, BD, CD, ABC, ABD, ACD, BCD, ABCD}.
考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型.
设N=“多选题选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以 n(N) =1，n(Ω) =15.
所以，考生随机选择一个答案，答对的概率
[题型二] 简单的古典概型的概率计算
[变式训练]
[变式训练]
B
[题型三] 样本点的计数问题
例3、抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和II号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
(2)求下列事件的概率：
A= “两个点数之和是5”， B = “两个点数相等”，
C = “ I号骰子的点数大于II号骰子的点数”.
解：(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与II号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果. 用数字m表示I号骰子出现的点数是m，数字n表示II号骰子出现的点数是n，则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点. 因此该试验的样本空间 Ω ={(m, n) | m, n ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}}, 其中共有36个样本点.
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
课本P.235 例8
（6，6）
（6，5）
（6，4）
（6，3）
（6，2）
（6，1）
（5，6）
（5，5）
（5，4）
（5，3）
（5，2）
（5，1）
（4，6）
（4，5）
（4，3）
（4，2）
（4，1）
（3，6）
（3，5）
（3，4）
（3，3）
（3，2）
（3，1）
（2，6）
（2，5）
（2，4）
（2，3）
（2，2）
（2，1）
（1，6）
（1，5）
（1，4）
（1，3）
（1，2）
（1，1）
（4，4）
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
Ⅰ号骰子Ⅱ号骰子
表格法 列举样本空间中的样本点
所以样本空间 Ω ={( m, n ) | m, n ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}}, 其中共有36个样本点.
A= {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) } 有4个样本点.
B= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 有6个样本点.
C ={( m, n ) | m>n}, m, n ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} 有15个样本点.
课本P.235 例8
树状图法 列举样本空间中的样本点
1
1
2
3
4
5
6
2
1
2
3
4
5
6
3
1
2
3
4
5
6
4
1
2
3
4
5
6
5
1
2
3
4
5
6
6
1
2
3
4
5
6
所以样本空间 Ω ={( m, n ) | m, n ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}}, 其中共有36个样本点.
A= {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) } 有4个样本点.
B= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 有6个样本点.
C ={( m, n ) | m>n}, m, n ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} 有15个样本点.
课本P.235 例8
[题型三] 样本点的计数问题
例3、抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和II号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
(2)求下列事件的概率：
A= “两个点数之和是5”， B = “两个点数相等”，
C = “ I号骰子的点数大于II号骰子的点数”.
解：
课本P.235 例8
思考7
在例3中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如拋掷岀的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点. 这样，(1, 2)和(2, 1)的结果将无法区别.
当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间
Ω1 ={( m, n ) | m, n ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}, 且m ≤ n}, 共有21个样本点. n (Ω1) =21.
事件A= “两个点数之和是5”的结果变为
A={(1, 4), (2, 3)}，这时P(A)= 2. 则
思考8
同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢?
可以发现，给两枚骰子做记号，36个结果都是等可能的；
而不给两枚骰子做记号，36个结果合并为21个可能结果时，(1, 1) 和 (1, 2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此，
例4、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
(1) A= "第一次摸到红球”；
(2) B = "第二次摸到红球。
(3) AB = “两次都摸到红球
课本P.236 例9
解：将两个红球编号为1, 2, 三个黄球编号为3, 4, 5.
第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果. 将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用表格可以列出.
例4、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
(1) A= "第一次摸到红球”；
(2) B = "第二次摸到红球。
(3) AB = “两次都摸到红球
课本P.236 例9
解：20种等可能的结果，表格可以列举.
（5，5）
（5，4）
（5，3）
（5，2）
（5，1）
（4，5）
（4，3）
（4，2）
（4，1）
（3，5）
（3，4）
（3，3）
（3，2）
（3，1）
（2，5）
（2，4）
（2，3）
（2，2）
（2，1）
（1，5）
（1，4）
（1，3）
（1，2）
（1，1）
（4，4）
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
第一次第二次
X
X
X
X
X
例4、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
(1) A= "第一次摸到红球”；
(2) B = "第二次摸到红球。
(3) AB = “两次都摸到红球
课本P.236 例9
解：(1)第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1, 2行)，即A={(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),(2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5)},
所以 .
(2)第二次摸到红球的可能结果有8种(表中第1, 2列)，即B={(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1),(1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2)},
所以 .
例4、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
(1) A= "第一次摸到红球”；
(2) B = "第二次摸到红球。
(3) AB = “两次都摸到红球
课本P.236 例9
解：(3) 事件AB包含2个可能结果，即AB={(1, 2), (2, 1)},所以 .
[题型三] 样本点的计数问题
[变式训练]
[变式训练]
例5、从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.
(1) 分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
(2) 在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组 (x1, x2) 表示样本点.
(1)根据相应的抽样方法可知：
有放回简单随机抽样的样本空间 Ω1={(B1, B1), (B1, B2), (B1, G1),(B1, G2), (B2, B1), (B2, B2), (B2, G1),(B2, G2), (G1, B1), (G1, B2), (G1, G1), (G1, G2), (G2, B1), (G2, B2), (G2, G1), (G2, G2)}，共有样本点16个.
课本P.237 例10
[题型四] 含“有放回”抽取的古典概型问题
例5、从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.
(1) 分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
(2) 在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组 (x1, x2) 表示样本点.
(1)根据相应的抽样方法可知：
不放回简单随机抽样的样本空间 Ω2={(B1, B2), (B1, G1), (B1, G2), (B2, B1), (B2, G1), (B2, G2), (G1, B1), (G1, B2), (G1, G2), (G2, B1), (G2, B2), (G2, G1)}，共有样本点12个.
课本P.237 例10
[题型四] 含“有放回”抽取的古典概型问题
例5、从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.
(1) 分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
(2) 在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组 (x1, x2) 表示样本点.
(1)根据相应的抽样方法可知：
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间 Ω3={(B1, G1), (B1, G2), (B2, G1), (B2, G2)}，共有样本点4个.
课本P.237 例10
[题型四] 含“有放回”抽取的古典概型问题
例5、从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2) 中任意抽取两人.
(1) 分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
(2) 在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：(2) 设事件A= “抽到两名男生”，则
对于有放回简单随机抽样，
A={(B1, B1), (B1, B2), (B2, B1), (B2, B2)},有样本点4个.
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.
因此 P(A) =4÷16 = 0.25 .
课本P.237 例10
[题型四] 含“有放回”抽取的古典概型问题
例5、从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2) 中任意抽取两人.
(1) 分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
(2) 在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：(2) 设事件A= “抽到两名男生”，则
对于不放回简单随机抽样，
A={ (B1, B2), (B2, B1)},有样本点2个.
因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.
因此 P(A) =2÷12 ≈ 0.167 .
课本P.237 例10
[题型四] 含“有放回”抽取的古典概型问题
例5、从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2) 中任意抽取两人.
(1) 分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
(2) 在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：(2) 设事件A= “抽到两名男生”，则
对于按性别等比例分层抽样，A不可能发生，
即 A=Φ, 有样本点0个.
因为抽中样本空间Ω3中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.
因此 P(A) =0÷4 = 0 .
课本P.237 例10
[题型四] 含“有放回”抽取的古典概型问题
例5表明，同一个事件A = "抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例分层抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大.
因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同.
上一章我们研究过通过抽样调査估计树人中学高一学生平均身高的问题. 我们知道, 简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高.
上述计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25,用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167, 可以有效地降低出现“极端”样本的概率. 特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0, 真正避免了这类极端样本的出现. 所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要.
[题型四] 含“有放回”抽取的古典概型问题
[变式训练]
[变式训练]
课堂小结
[课外作业]
1、课本P.238 【练习】1、2、3
2、课本P.243 【习题10.1】6、7、8、14
3、课时跟踪检测(四十二)
4、预习课本P.239～P.242《10.1.4 概率的基本性质》
“夯基提能·落实素养”见“课时跟踪检测(四十二)”
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