高一第二学期数学月考卷（含答案）

高一第二学期数学月考卷
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a＝(3cosθ，3sinθ)，b＝(2,2)，(a＋kb)⊥(a－kb)，则k等于(　　)
A．±　　　　　　　　　　　B．±
C．± D．±
2．已知O是△ABC内的一点，存在一组正实数λ1、λ2、λ3，使λ1＋λ2＋λ3＝0，则∠AOB、∠BOC、∠COA(　　)
A．都是钝角 B．至多有两个钝角
C．恰有两个钝角 D．至少有两个钝角
3．已知||＝3，||＝1，则||的取值范围是(　　)
A．[2,3] B．(2,3)
C．[2,4] D．(2,4)
4．若a＝(1,3)，b＝(－2，－1)，则(3a＋2b)·(2a＋5b)等于(　　)
A．10＋6－95 B．55
C．15 D．205
5．若向量a＝(n,1)与b＝(4，n)共线且方向相反，则n的值为(　　)
A．±2 B．－2
C．2 D．0
6．下列命题正确的个数为(　　)
(1)0·a＝0；
(2)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；
(3)若a·b＝a·c，则b≠c当且仅当a＝0时成立；
(4)对任意向量a，有a2＝|a|2.
A．1 B．2
C．3 D．4
7．(2009年高考浙江卷)设向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝4，
a·b＝0，以a，b，a－b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
8．设O为△ABC的外心，OD⊥BC于D，且||＝，
||＝1，则·(－)的值是(　　)
A．1 B．2
C. D.
9．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则(　　)
A．a⊥e B．a⊥(a－e)
C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e)
10．在△ABC中，已知向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
11．在平面中，已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2，1)，O(0,0)．给出下面的结论：
①直线OC与直线BA平行；
②＋＝；
③＋＝；
④＝－2.
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
12．(2009年高考全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，
|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)
A. B.
C．5 D．25
二、填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝______.
14．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为______．
15．已知O是直角坐标系的原点，A(2,2)，B(4,1)，在x轴上有一点P，使·取得最小值，则点P的坐标为______．
16．已知e是单位向量，且满足|a＋e|＝|a－2e|，则向量a在e方向上的射影是______．
三、解答题(本大题共6个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本题满分10分）在Rt△ABC中，C＝90°，AB＝5，AC＝4，求·的值．
18．（本题满分12分）用向量方法求cos5°＋cos77°＋cos149°＋cos221°＋cos293°的值
19. （本题满分12分）
如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点．
求证：AF⊥DE.
20．（本题满分12分）已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝
|a－kb|(k>0)．
(1)用k表示a·b；
(2)求a·b的最小值，并求此时a与b的夹角的大小．
21．（本题满分12分）已知平面向量a＝(，－1)，b＝.
(1)证明：a⊥b；
(2)若存在不同时为0的实数k、t，若x＝a＋(t2＋1)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)；
(3)根据(2)的结论，确定g(t)＝(t>0)的单调区间及最值．
22. （本题满分12分）
已知AC，BD是梯形的对角线，E、F分别是BD、AC的中点．
求证：EF∥BC.
答案
1. 解析：选A.(a＋kb)·(a－kb)＝0 a2＝k2b2，即9cos2θ＋9sin2θ＝k2·[22＋(2)2]，∴k2＝，∴k＝±，
故本题选A.
2. 解析：选D.∵λ1·＋λ2·＝－λ3|O|2<0，同理可得λ1·＋λ3·<0，λ2·＋λ3·<0，故本题选D.
3.解析：选C.由于||＝|－|，再由||a|－|b||≤
|a－b|≤|a|＋|b|，可知本题选C.
4.解析：选C.由题意可得|a|＝＝，|b|＝＝，且a·b＝1×(－2)＋3×(－1)＝－5，所以(3a＋2b)·(2a＋5b)＝6|a|2＋10|b|2＋19a·b＝60＋50－5×19＝15.
5.解析：选B.将本题中的几个选项代入进行检验，可知B项正确
6.解析：选B.(1)对；(2)错；(3)错；(4)对．
7.解析：选B.当圆与三角形两边都相交时，有4个交点，本题新构造的三角形是直角三角形，其内切圆半径恰为1，故它与半径为1的圆最多有4个交点，故选B.
8．解析：选A.由已知，D为BC的中点，＝(＋)．∴·(－)＝(＋)·(－)＝(||2－||2)＝1，故选A.
9.解析：选C.由题可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1，∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立，即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立，∴(a·e－1)2≤0恒成立，而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.即a·e＝1＝e2 e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)．
10. 解析：选D.设∠BAC的角平分线为AD，则＋＝λ.由已知，AD⊥BC，∴△ABC为等腰三角形．又cosA＝，∴A＝60°，∴△ABC为等边三角形，故选D.
11.解析：选C.kOC＝＝－，
kBA＝＝－，
∴OC∥AB，①正确；
∵＋＝，∴②错误；
∵＋＝(0,2)＝，∴③正确；
∵－2＝(－4,0)，
＝(－4,0)，∴④正确．
故选C.
12.解析：选C.|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝50，即5＋2×10＋|b|2＝50，
∴|b|＝5.故选C.
13.解析：设a＝(x，y)，
则a＋b＝(x＋2，y－1)，
由题意，
或.
答案：(－1,1)或(－3,1)
14. 解析：由题意得＝，＝，又⊥，∴·＝0，即·＝0，化简得y2＝8x.
答案：y2＝8x
15. 解析：设P(x,0)，则·＝(x－3)2＋1，故当x＝3时取到最小值，故P(3,0)．
答案：(3,0)
16. 解析：由|a＋e|＝|a－2e|得，
|a|2＋2a·e＋|e|2＝|a|2－4a·e＋4|e|2，∴a·e＝.向量a在e方向上的射影为|a|cos〈a，e〉＝|a|·＝a·e＝.
答案：
17. 解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，故BC＝3，且cos∠ABC＝，与的夹角为π－∠ABC，所以·＝－||||cos∠ABC＝－5×3×＝－9.
18.解：如图，作一个边长为1的正五边形A1A2A3A4A5，且与x轴的夹角为5°.
则＝(cos5°，sin5°)，
＝(cos77°，sin77°)，
＝(cos149°，sin149°)，
＝(cos221°，sin221°)，
＝(cos293°，sin293°)．
由＋＋＋＋＝0知，
cos5°＋cos77°＋cos149°＋cos221°＋cos293°＝0.
19.证明：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立直角坐标系．
设边长为a，则B、D、C的坐标分别为(a,0)、(0，a)、(a，a)．
因为E、F分别为AB、BC的中点，
所以E(，0)，F(a，)．
所以＝(，0)－(0，a)＝(，
－a)，
＝(a，)－(0,0)＝(a，)．
所以·＝·a＋(－a)·＝0.
所以AF⊥DE.
20. 解：(1)由已知|ka＋b|＝|a－kb|，两边平方，得|ka＋b|2＝(|a－kb|)2，即k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)，∴8ka·b＝(3－k2)a2＋(3k2－1)b2，
a·b＝.
∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝1，b2＝1，
∴a·b＝＝.
(2)∵k2－2k＋1≥0，∴k2＋1≥2k，∴≥＝，
∴a·b的最小值为.
又∵a·b＝|a||b|cosθ，|a|＝|b|＝1，由＝1×1×cosθ，得θ＝60°，即此时a与b的夹角为60°.
21. 解：(1)证明：a·b＝×－1×＝0，故a⊥b.
(2)∵x·y＝0，∴[a＋(t2＋1)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋ta·b－ka·b(t2＋1)＋t(t2＋1)b2＝0，∵a⊥b，
即－ka2＋t(t2＋1)b2＝0，
∴－4k＋t(t2＋1)＝0，k＝f(t)＝t(t2＋1)．
(3)g(t)＝＝＝，在(0,1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，最小值为g(1)＝，没有最大值．
22.证明：设＝a，＝b，
∵∥，∴＝λ＝λb，
则＝－＝b－a，
又∵E为BD中点，
∴＝＝(b－a)，
∵F为AC中点，
∴＝＋＝＋
＝＋(－)
＝(＋)＝(－)
＝(λb－a)，
∴＝－＝(λb－a)－(b－a)
＝(λ－)b
＝(λ－).
∴∥，即EF∥BC.