陕西省咸阳市永寿县高中2020-2021学年高二下学期第二次月考（5月）理科数学试题 Word版含答案

永寿中学2020～2021学年度第二学期第二次月考
高二数学（理科）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择題两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择題每小题选出答案后，用2B铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答題卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，则复数false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．函数false的减区间为false，则实数a的值为（ ）
A．2 B．false C．1 D．4
3．下列函数中，存在极值的函数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．函数false在区间false上的平均变化率为15，则实数a的值为（ ）
A．false B．false C．1 D．2
5．已知false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．如图是函数false的导函数false的函数图象，则下列关于函数false的说法正确的是（ ）
A．函数false的减区间为false，增区间为false
B．函数false在点false和点false处的切线斜率相等
C．false
D．函数false只有一个极小值点，没有极大值点
7．已知函数false，若曲线false在点false处的切线与直线false平行，则函数false的所有极值之积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）
A． B． C． D．
9．若函数false既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．若函数false在区间false内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知函数false与函数false的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知函数false在R上可导，且满足不等式false，且false，则关于x的不等式false的解集为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．定积分false________．
14．已知false，则false________．
15．用数学归纳法证明false时，从“false到false”左边需增乘的代数式为_________．
16．已知函数false，A，B是其图象上任意不同的两点，若直线false的倾斜角的取值范围为false，则实数a的取值集合为_________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说眀、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知i为虚数单位，复数false为实数．
（1）求实数a的值；
（2）若复数z是方程false的一个根，求实数b，c的值．
18．（本小题满分12分）
在代数运算中有下列乘法公式：false
false
false
false．
（1）观察上述结果，你能做出怎样的猜想？
（2）证明你的猜想，并判断false是否是99的倍数？
19．（本小题满分12分）
已知函数false在区间false上的最小值为false，最大值为1．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数false有且仅有三个零点，求实数m的取值范围．
20．（本小题满分12分）
将一个面积为false的长方形铁皮制作成一个无盖的正四棱锥容器（图为无盖容器倒置图），要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失，记正四棱锥的无盖底面边长为x，容器的容积为false．
（1）求函数false的表达式；
（2）当该正四棱锥形容器的容积取得最大值时，求此时x的值．
21．（本小题满分12分）
已知函数false．
（1）求曲线false过点false的切线方程；
（2）令函数false，若函数false单调递减，求实数a的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数false的定义域为false．
（1）当false时，证明：false；
（2）当false时，若false恒成立，求实数a的取值范围．
永寿中学2020～2021学年度第二学期第二次月考·高二数学（理科）
参考答案、提示及评分细则
1．C false．
2．A 由false，有false，得false．
3．D 由二次函数的图象和性质可知D选项正确．
4．C 由区间可知false，可得false，又由false，解得false．
5．A 由false，有false．
6．B 由函数图象可知，函数false的减区间为false，增区间为false，false，false，false．
7．B 由false，有false，解得false，有false，令false得函数false的极值点为false，有false，false，则函数false的极值之积为false．
8．A 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，規律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个为填充颜色的，故选A项．
9．A 由false，有false，解得false或false．
10．C 由false，若函数false在区间false内有最小值，此时函数false必定存在极值点，由false，设false为一元二次方程false的两根，有false，故只需要false即可，令false，有false，解得false．
11．B 函数false关于y轴对称的函数为false，若函数false与函数false的图象上存在关于y轴对称的点，只需要方程false有解，方程可化为false，令false，有false，由函数false单调递增．且false．可得函数false的减区间为false，增区间为false，可得false，当false时，false，可得函数false的值域为false，故实数a的取值范围为false．
12．C 令false，有false，可得函数false单调递增，不等式false可化为false，又由false，不等式可化为false，可得关于x的不等式false的解集为false．
13．false false．
14．false 由false，取false，有false，可得false．
15．false 当false时，左式false，
当false时，左式false，
两式比较知左边需增乘的代数式为false．
16．false 由false，直线false的倾斜角的取值范围为false，有当false时，false恒成立，可化为false，由函数false单调递增，有false．令false，有false，可得函数false单调遍递增，有false，有false，可得false．
17．解：（1）由false
false 4分
由false为实数，有false，解得false． 5分
（2）由（1）可知false，将false代入方程false，有false
整理为false 8分
由复数相等有false，解得false
故false 10分
18．解：（1）猜想：当false且false时，false． 4分
（2）证明：①当false时，等式左边false，等式右边false，等式成立 5分
②当false时，等式左边false．等式右边false，等式成立 6分
③当false且false时，由false
等式左边false
由上知，猜想成立 10分
利用猜想，有false
由false为整数，可知false是99的倍数． 12分
19．解：（1）由false 1分
①当false时，令false，可得false或false，此时函数false的增区间为false，减区间为false 2分
由false，false，false，false
有false，可得false 5分
②当false时，令false，可得false，此时函数false的减区间为false，增区间为false． 6分
由false，false，false，false
有false，可得false
由上知false或false． 8分
（2）①当false时，false
若函数false有且仅有三个零点，实数m的取值范围为false． 10分
②当false时，false
若函数false有且仅有三个零点，实数m的取值范围为false． 12分
20．解：（1）设正四棱锥容器的高为h，则正四棱锥容器的侧棱长为false 1分
正四棱锥的侧面积为false 3分
有false，可得false，得false 5分
false 7分
由false，可得false
则函数false的表达式为false． 8分
（2）令false，有false 10分
令false，可得false，可得函数false的增区间为false，减区间为false
故当该正四棱锥的容积取得最大值，此时x的值false． 12分
21，解：（1）设切点为false
由false，则曲线false过点P的切线方程为false 2分
代入点false的坐标，有false
整理为false 4分
令false，有false，可得函数false单调递增，又由false，可得false
则曲线false过点false的切线方程为false，整理为false． 6分
（2）false，有false
若函数false单调递减，则必有当false时，false恒成立．
可化为false 9分
令false，有false，令false，可得false，
有函数false的增区间为false，减区间为false，有false
有false，可得false
故若函数false单调递减，则实数a的取值范围为false． 12分
22．解：（1）证明：当false时，false
由false． 4分
另解：当false时，因为false，所以false 2分
所以false，故false
所以false． 4分
（2）由（1）有false 5分
①当false时，false，此时false，此时函数false单调递增，false，满足题意 6分
②当false时，false，令false，可得false或false，可得函数false的增区间为false，false．
由false，若false恒成立，必有false，可得false，有false 9分
③当false时，false，有false，由①可知false，故有false
由上知，当false时，若false恒成立，则实数a的取值范围为false． 12分