天津市天津一中2021届高三下学期5月第五次月考数学试题 Word版含答案

天津一中2020—2021届高三年级第五次月考数学试卷
一、选择题：
1.已知集合false，false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.设false，false是两个不同平面，直线false，直线false，则下列结论正确的是（ ）
A.false是false的充分条件 B.false是false的必要条件
C.false是false的必要条件 D.false是false的必要条件
3函数false的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为false的样本，其频率直方图如图所示，其中支出（单位：元）在false内的学生有30人，则false的值为（ ）

A.900 B.1000 C.90 D.100
5.已知false，false，false，则false，false，false的大小关系为（ ）
A.false B.false C.false D.false
6.已知三棱锥false中，false平面false，false是边长为3的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为false，那么三棱锥false的体积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
7.已知双曲线false，false为等边三角形．若点false在false轴上，点false，false在双曲线false上，且双曲线false的实轴为false的中位线，双曲线false的左焦点为false，经过false和抛物线false焦点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.已知函数false，其图像相邻两条对称轴之间的距离为false，且直线false是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A.函数false的最小正周期为false B.函数false在区间false上单调递增
C.点false是函数false图象的一个对称中心
D.将函数false图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移false个单位长度，可得到false的图象
9.已知函数false，若对任意false，false恒成立，则实数false的取值范围是（ ）
A.false B.false
C.false D.false
二、填空题：
10.若复数false，则false__________．
11.二项式false的展开式中的常数项为__________．
12.已知false，false，且false，则false的最小值为__________．
13.若函数false图像在点false处的切线方程为false，则false的最小值为__________．
14.天津是一个古老与现代、保守与开放相融合的城市，历经600多年，特别是近代造就了中西合璧、古今兼容的独特城市风貌，成为国内外游客首选的旅游圣地．2021年元月份以来，来天津游览的游客络绎不绝，现通过对来津游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩的概率都是false，不游玩的概率都是false，若不游玩记1分，继续游玩记2分，游客之间选择意愿相互独立，从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量false，则false的数学期望false__________．
15.如图，在false和false中，false是false的中点，false，false，若点false为false上的动点，则false的最小值为__________，若false，则false等于__________．

三、解答题：
16.已知false中，角false的对边分别为false，false，false，false
（1）求角false；
（2）若false，false，求false的值
（3）若false，false，求false．
17.如图，已知平面false平面false，直线false平面false，且false．

（1）求证：false平面false；
（2）若false，false平面false
（ⅰ）求二面角false的余弦值；
（ⅱ）在直线false（除false、false两点外）上是否存在一点false，使得直线false与平面false所成角的余弦值为false，若存在，则求false的值；如不存在，请说明理由．
18.设等差数列false的前false项和为false，且等比数列false的前false项和为false，满足false，false，false，false．
（1）求false，false的通项公式；
（2）求满足条件的最小正整数false，使得对false不等式false恒成立；
（3）对任意的正整数false，设false，求数列false的前false项和．
19.已知椭圆false的离心率为false，以椭圆中心为圆心，长半轴长为半径的圆被直线false截得的弦长为false
（1）求椭圆false的方程；
（2）椭圆false的左顶点为false，右顶点为false，右焦点false，false是椭圆位于false轴上方部分的一个动点，以点false为圆心，过点false的圆与false轴相交，交点false在false右边，过点false作false轴的垂线false交直线false于点false，过点false作直线false，交直线false于点false，判断false是否为定值，并给出证明．
20.已知函数false，false．
（1）当false时，求函数false的单调区间；
（2）若false存在极小值，求实数false的取值范围；
（3）设false是false的极小值点，且false，证明：false．






参考答案
1.C 2.A 3A 4.D 5.B
6.D 7.B 8.C 9.B 10.false
11.false 12.false 13.false 14.5 15.false 2
16.
解：（1）由false及正弦定理得：
false，
即falsefalse，
false，false，false，
解得：false或false（舍），又false，false；
（2）falsefalse，false；
由余弦定理得：falsefalse，
解得：false．
（3）由正弦定理可得false
false为锐角，false
false
false
false
17.
（1）证明：过点false作false于点false，
因为平面false平面false，又平面false平面false，false平面false，
所以false平面false，
又因为false平面false，所以false，
因为false平面false，false平面false，所以false平面false；
（2）因为false平面false，所以false，
由false可知false，false，false，则false,
所以点false是false的中点，连接false，则false，
所以false平面false，则false，false，所以四边形false是矩形．
以false为坐标原点，分别以false、false、false所在直线为false、false、false轴建立空间直角坐标系，
设false，则false、false、false、false．
设平面false的一个法向量为false，
又false，false．
由false，得false，取false，得false．
设平面false的一个法向量为false，
因为false，false．
由false，得false，取false，得false；
设二面角false的平面角为false，则0falsefalse，
由题知二面角false是钝角，则二面角false的余弦值为false．

（3）设false(false，false）
falsefalse
设直线false与平面false所成角为false
则false
false（舍）或false
所以false．
18.
解：（1）设false的公差为false，false的公比为false．
由false，false得：false
解得：false
所以false．
又由false，false得：false
解得false
所以false．
（2）false
当false时，false
当false时，false
当false时，falsefalse
所以，满足条件的最小正整数false
（3）falsefalse
falsefalse
false
falsefalse
falsefalse
由（1）-（2）可得：
falsefalse
设false的前false项和为
falsefalsefalse
19.
解：（1）false，false
解得false，false椭圆false的方程为：false．
（2）解法一：设直线false的方程为false
联立false
可得false
由false，
可得false
以false为圆心，false为半径的圆为false
联立false
可得false
线段false的中垂线为：false
falsefalse
又falsefalse
所以false为线段false中点
false
解法二：由题意可知false，false，false，设false的坐标为false，则false，
false点false在椭圆false上，false，
falsefalsefalse，
false点false在椭圆false上，false，false，
false，false圆false过点false与点false，
false，false点false，
易求直线false的方程为false，直线false的方程为false，
将false代入直线false的方程得：false，
故点false的坐标为false，
false，false，falsefalse，
false，false，false直线false的方程为：false，
将false代入得：false，false点false
又false，false，
falsefalsefalsefalse
false，
false．
20.
解：（1）当false时，false，false的定义域是false，
falsefalse，
令false，false，false在false递增，
而false，即false，
当false时，false；当false时，false，
因此，当false时，函数false的单调递减区间为false；
（2）false函数false，false，该函数的定义域为false，
false，
令false，则false，false在false上是增函数．
①当false时，false，false，函数false在区间false上是增函数，不存在极值点；
②先证不等式false，构造函数false，则false．
当false时，false，函数false单调递增；当false时，false，函数false单调递减．
所以，false，所以，对任意的false，false．
当false时，false，则false，
false，falsefalse，
由零点存在定理可知，存在false，使false．
false当false时，false，false，false单调递减；
当false时，false，false，false单调递增．
此时，函数false存在极小值点．
综上可知实数false的取值范围是false；
（3）由（1）知false，即false，false，
false，
由false，得false．
令false，由题意false在区间false上单调递减．
又false，由false，得false，
令false，则false，
当false时，false，函数false单调递增；
当false时，false，函数false单调递减．
所以，当false时，函数false取最小值false，
false，即false，即false，
false，falsefalse，
falsefalse，故结论成立．