9.5 相似三角形判定定理的证明 课件（共34张PPT）
文档属性
| 名称 | 9.5 相似三角形判定定理的证明 课件（共34张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-25 06:47:03 | ||
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文档简介
第九章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件及
5 相似三角形判定定理的证明
知识点一 相似三角形的有关概念
内容
温馨提示
概念
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形
相似三角形的概念也是一种最基本的判定方法
表示
相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”
用“∽”表示相似时，对应顶点应写在对应的位置上
相似比
相似三角形对应边的比叫做相似比，通常用“k”表示
（1）相似比是有顺序的；
（2）全等是相似的特殊情形，相似比等于1
性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例
关键是找准对应边和对应角
图示
有关三角形相似的基本图形:
（1）平行线型
（2）斜交型
（3）旋转型
知识点二 相似三角形的判定定理1
相似三角形的判定定理1
内容
两角分别相等的两个三角形相似
图示
∵∠A＝∠A?，∠B＝∠B?，∴△ABC∽△A?B?C?
温馨提示
这是最常用的判定方法，要特别注意题目中的对顶角、公共角等隐含条件
例1 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD.
（1）求证:△BDE∽△CAD；
（2）求证:△ADE∽△ABD.
分析（1）先利用等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，再由∠BDE＝∠CAD可证得△BDE∽△CAD；
（2）先由（1）中相似三角形的性质得∠BED＝∠CDA，再利用等角的补角相等，证得∠AED＝∠ADB，然后结合两个三角形有一个公共角可证得结论.
分析（1）先利用等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，再由∠BDE＝∠CAD可证得△BDE∽△CAD；
（2）先由（1）中相似三角形的性质得∠BED＝∠CDA，再利用等角的补角相等，证得∠AED＝∠ADB，然后结合两个三角形有一个公共角可证得结论.
证明 （1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
又∵∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD.
（2）∵△BDE∽△CAD∴∠BED＝∠CDA，
∴180°-∠BED＝180°-∠CDA，即∠AED＝∠ADB，
又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD.
知识点三 相似三角形的判定定理2
例2 如图所示，在正方形ABCD中，
点E是AD的中点，点F在CD上，
且CD＝4DF，连接EF、BE.
求证:△ABE∽△DEF.
例2 如图所示，在正方形ABCD中，
点E是AD的中点，点F在CD上，
且CD＝4DF，连接EF、BE.
求证:△ABE∽△DEF.
分析 在△ABE和△DEF中，均有一个角是90°，因此根据夹这个角的两条边的比值是否相等，即可判断三角形是否相似.
知识点四 相似三角形的判定定理3
例3 如图所示，在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由.
题型一 添加条件使两个三角形相似
例1 如图所示，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△APB∽△ABC，这个条件可以是________.
题型一 添加条件使两个三角形相似
题型一 添加条件使两个三角形相似
题型一 添加条件使两个三角形相似
题型二 网格中的相似三角形的判定
例2 如图所示，在4×3的正方形网格中，△ABC与△CED的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
（1）填空:∠ABC＝_________，BC＝_________；
（2）判断△ABC与△CED是否相似，并说明理由.
点拨 本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是根据勾股定理求出网格中相关线段的长，进而利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理证明.
题型三 相似三角形的判定与性质的综合运用
点拨 证等积式往往先把等积式化成比例式，然后通过证明三角形相似来推比例式.
题型四 动态相似图形问题
例4 如图所示，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，△PBQ与△ABC相似？
分析 因为点P，Q在移动过程中，△PBQ与△ABC有公共角，所以只需夹公共角的两边对应成比例，这两个三角形就相似，因为没有明确夹∠B两边的对应关系，所以就存在两种对应关系，所以应分两种情况讨论.
点拨 对于动态相似图形问题，一般是已知命题的结论，求使结论成立的条件，解此类问题可采用逆向思维，把结论视为条件的一部分，再结合已有的条件和图形进行分析、探究，便可得到所需的条件.
易错易混
易错点 误认为两边成比例且有一组角相等的两个三角形相似
易错警示 证明两个三角形相似时，若条件为两边成比例和一组角相等，一定注意看该组角是不是成比例的两边的夹角，不是夹角不能判定两个三角形相似（直角三角形除外）.
4 探索三角形相似的条件及
5 相似三角形判定定理的证明
知识点一 相似三角形的有关概念
内容
温馨提示
概念
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形
相似三角形的概念也是一种最基本的判定方法
表示
相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”
用“∽”表示相似时，对应顶点应写在对应的位置上
相似比
相似三角形对应边的比叫做相似比，通常用“k”表示
（1）相似比是有顺序的；
（2）全等是相似的特殊情形，相似比等于1
性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例
关键是找准对应边和对应角
图示
有关三角形相似的基本图形:
（1）平行线型
（2）斜交型
（3）旋转型
知识点二 相似三角形的判定定理1
相似三角形的判定定理1
内容
两角分别相等的两个三角形相似
图示
∵∠A＝∠A?，∠B＝∠B?，∴△ABC∽△A?B?C?
温馨提示
这是最常用的判定方法，要特别注意题目中的对顶角、公共角等隐含条件
例1 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD.
（1）求证:△BDE∽△CAD；
（2）求证:△ADE∽△ABD.
分析（1）先利用等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，再由∠BDE＝∠CAD可证得△BDE∽△CAD；
（2）先由（1）中相似三角形的性质得∠BED＝∠CDA，再利用等角的补角相等，证得∠AED＝∠ADB，然后结合两个三角形有一个公共角可证得结论.
分析（1）先利用等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，再由∠BDE＝∠CAD可证得△BDE∽△CAD；
（2）先由（1）中相似三角形的性质得∠BED＝∠CDA，再利用等角的补角相等，证得∠AED＝∠ADB，然后结合两个三角形有一个公共角可证得结论.
证明 （1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
又∵∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD.
（2）∵△BDE∽△CAD∴∠BED＝∠CDA，
∴180°-∠BED＝180°-∠CDA，即∠AED＝∠ADB，
又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD.
知识点三 相似三角形的判定定理2
例2 如图所示，在正方形ABCD中，
点E是AD的中点，点F在CD上，
且CD＝4DF，连接EF、BE.
求证:△ABE∽△DEF.
例2 如图所示，在正方形ABCD中，
点E是AD的中点，点F在CD上，
且CD＝4DF，连接EF、BE.
求证:△ABE∽△DEF.
分析 在△ABE和△DEF中，均有一个角是90°，因此根据夹这个角的两条边的比值是否相等，即可判断三角形是否相似.
知识点四 相似三角形的判定定理3
例3 如图所示，在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由.
题型一 添加条件使两个三角形相似
例1 如图所示，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△APB∽△ABC，这个条件可以是________.
题型一 添加条件使两个三角形相似
题型一 添加条件使两个三角形相似
题型一 添加条件使两个三角形相似
题型二 网格中的相似三角形的判定
例2 如图所示，在4×3的正方形网格中，△ABC与△CED的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
（1）填空:∠ABC＝_________，BC＝_________；
（2）判断△ABC与△CED是否相似，并说明理由.
点拨 本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是根据勾股定理求出网格中相关线段的长，进而利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理证明.
题型三 相似三角形的判定与性质的综合运用
点拨 证等积式往往先把等积式化成比例式，然后通过证明三角形相似来推比例式.
题型四 动态相似图形问题
例4 如图所示，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，△PBQ与△ABC相似？
分析 因为点P，Q在移动过程中，△PBQ与△ABC有公共角，所以只需夹公共角的两边对应成比例，这两个三角形就相似，因为没有明确夹∠B两边的对应关系，所以就存在两种对应关系，所以应分两种情况讨论.
点拨 对于动态相似图形问题，一般是已知命题的结论，求使结论成立的条件，解此类问题可采用逆向思维，把结论视为条件的一部分，再结合已有的条件和图形进行分析、探究，便可得到所需的条件.
易错易混
易错点 误认为两边成比例且有一组角相等的两个三角形相似
易错警示 证明两个三角形相似时，若条件为两边成比例和一组角相等，一定注意看该组角是不是成比例的两边的夹角，不是夹角不能判定两个三角形相似（直角三角形除外）.