8.2立体图形的直观图 知识集锦+探究重点+即学即用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构）（含答案）

781050-3219458.2立体图形的直观图
8.2立体图形的直观图

直观图
定义:直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何图获得的图形，画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。
因此，直观图汪汪与立体图形的真实形状不完全相同。
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形
画法：斜二测画法和正等测画法.
斜二测画法规则
(1）在己知图形中取互相重直的x轴或y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x，轴与y'轴，两轴相交于点O，，且false=45°（或135°)，它们确定的平面表示水平面
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段。在直观图中分剔画成平行于x，轴与y，轴的线段
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半
例1．如图，false是false的直观图，其中false，且false，那么false的面积是（ ）
A．1 B．false C．8 D．false
【答案】A
【解析】根据斜二测画法可得，原图形中，false，false，则false，
又false，false，
所以false的面积是false，
故选：A.
例2．一个正三棱锥的底面边长是false，高为false，则它的斜高是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【解析】
正三棱锥false的底面边长false,
高false，
所以底面正三角形的中心false到正三角形的false的距离为false，
故正三棱锥的斜高false；
故选：D.
1．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为false，腰和上底均为1，下底为false的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．若水平放置的四边形false按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中false，false，false，false，则原四边形false的面积为（ ）
A．12 B．6 C．false D．false
3．已知水平放置的平面四边形false，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则false的周长为（ ）
A．2 B．6 C．false D．8
4．某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（ ）
A．五棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．四棱台
5．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，胡夫金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，胡夫金字塔现高约为136.5米，则与建成时比较顶端约剥落了（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
6．如图，正方形false的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．false
7．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：
（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．
其中正确结论的个数为________．
8．下列说法正确的是________(填序号).
①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.
9．若给定长,宽,高分别为4cm,3cm,2cm的长方体false,如何用斜二测画法画出该长方体的直观图?
10．水平放置的平面图形与直观图的面积间有何关系?
1．A
【解析】false平面图形的直观图是一个底角为false，腰和上底长均为1，下底为false的的等腰梯形，
false原平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，梯形的下底边长为false，
false原平面图形的面积false．
故选：A．
2．C
【解析】根据图像可得，四边形false水平放置的直观图为直角梯形，
作false，则false，
由false，得false，false，
false，false，且false，false，所以，
原四边形false的面积为false.
故选：C
3．D
【解析】由直观图可得原图形如图，
根据斜二测画法可知，false,false
在false中, false,
又false,
所以四边形false的周长为false,
故选：D
4．D
【解析】四棱台有8个顶点，不符合题意.，其他都是6个顶点．
故选：D．
5．B
【解析】false，false（米）
故选：B
6．C
【解析】直观图如图所示：
由图知：原图形的周长为false,
故选：C
7．4
【解析】（1）如图所示：四边形ABCD为矩形，故（1）满足条件；
（2）四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故（2）满足条件；
（3）四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故（3）满足条件；
（4）四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故（4）满足条件；
故正确的结论有4个．
故答案为：4．
8．⑤
【解析】对于①，如果棱锥的顶点在底面上的射影不是正多边形的中心，则此棱锥不是正棱锥，
故①错误.
对于②，如图（1），棱锥的顶点是圆锥的顶点，而底面多边形是圆锥底面圆的内接非正多边形，
此时棱锥满足各侧棱都相等，但不是正棱锥，故②错误.

对于③④，如图（2），侧面都是等腰三角形，且它们全等，但该三棱锥不是正棱锥，
故③④错误.
对于⑤，因为底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥，
故顶点底面上的射影false为正多边形的中心，此时棱锥为正棱锥，故⑤正确.
故答案为：⑤
9．见解析
【解析】(1)画轴.如图(1),画x轴?y轴?z轴,三轴相交于点O,使false,false.
(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使false;以点O为中点,在y轴上取线段
PQ,使false.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则平面ABCD就是长方体的底面,如图(1).
(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段false,false,false,false,如图(1).
(4)成图.顺次连接false,false,false,false,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到了长方体的直观图,如图(2).
10．见解析
【解析】若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为false,则根据斜二测画法中false方向长度变为原来的一半,且与false方向垂直的角度变为false可知.false或false.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.