8.1基本立体图形 知识集锦+探究重点+即学即用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构）（含答案）

棱柱的结构特征
一般地,有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互侧相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.如图1.1-2
在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
棱锥的结构特征
如图1.1-3
一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥
.这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;
圆柱的结构特征
如图1.1-4
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
4.圆锥的结构特征
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.如图1.1-5
圆锥也有轴、底面、侧面和母线
棱台于圆台的结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分，这样的几何体叫做棱台(如图1.1-6).在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、顶点.
用一个平行于圆锥底面的平面曲截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体(如图1.1-7)叫做圆台.
球的结构
如图1.1-8，以半圆的直径所在直线为旋转轴.半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体.简称球.半圆的圆心叫做球的球心.半圆的半径叫做球的半径.半圆的直径叫做球的直径.
例1．“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当时，（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：由已知可得平面中心到球心的距离为，
又球冠底面周长为，所以，
又，所以，
因为，即，
解得，即，
故，
故选：B．
例2．下列命题中正确的是（
）
A．有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.
B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥.
C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体.
D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线.
【答案】D
【解析】如图所示的几何体满足两个平面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，A错；
正八面体的各面都是三角形，不是三棱锥，B错；
如果两个平行截面与圆柱的底面平行，则是旋转体，如果这两个平行截面与圆柱的底面不平行，则不是旋转体．C错；
根据圆锥的定义，D正确．
故选：D．
1．下面四个几何体中，是棱台的是（
）
A．
B．
C．D．
2．下面图形中，为棱锥的是（
）
A．①③
B．③④
C．①②④
D．①②
3．在棱长为4的正方体中，分别是棱，的中点，N为线段的中点，若点分别为线段，上的动点，则的最小值为（
）
A．4
B．
C．
D．
4．棱台不具备的特点是（
）
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都交于一点
5．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（
）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称为攒尖．依其平面有圆形攒尖，三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也四有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示．某园林建筑屋顶为六角攒尖，它的主轮廓可近似看作一个正六棱锥（底面为正六边形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心）．若正六棱锥的侧棱与高线所成的角为，则其外接球半径与侧棱长的比值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点都在同一球面上，若AB＝1，AA1＝，则A、C两点间的球面距离是_____．
8．在半径为3的球面上有??三点，，，球心到平面的距离是，则?两点的球面距离是___________.
9．圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.
10．圆台的上底周长是下底周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径.试卷第1页，总3页
1．C
【解析】A项中的几何体是棱柱．
B项中的几何体是棱锥；
D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；
C项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台．
故选：C
2．C
【解析】根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.
故选：C
3．B
【解析】连接交于点，连接，则平面，所以，
从而的最小值为，此时为的中点，为的四分之一，
连接，设其中点为，连接，则，从而，
连接交于点，则当为时，取得最小值，此时最小值为，
因为正方体的棱长为4，
设DH的中点为O,连接GO,△GOH为直角三角形，
在直角中，可得，
所以．
故选：B．
4．C
【解析】根据棱台的定义，由平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台．
棱台的两底面是相似多边形，A正确；
侧面的上下底边平行，侧面都是梯形，B正确；
侧棱延长后交于一点，D正确；
由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱也不一定相等，C不一定成立，
故选：C．
5．B
【解析】由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；
当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，
当线段与x轴平行时，线段长度减半，
直角坐标系变成斜坐标系，而平行关系没有改变.
故选：B.
6．A
【解析】如图，设底面中心为H，底面边长为a，连接，，
底面为正六边形，
由正棱锥性质知，底面
又侧棱与高所成的角为，，则，即
设正六棱锥外接球球心为O，半径为R，连接,则，
，
在直角中，，即
故选：A
7．
【解析】解：正四棱柱的对角线为球的直径，由得，
，
，
（其中为球心）
、两点间的球面距离为，
故答案为：．
8．
【解析】由题设，如下图示，，为△的外心且，，
∴，又，则，
∴，即△为等边三角形，
∴?两点的球面距离为.
故答案为：.
9．2∶1.
【解析】将圆台还原为圆锥，如图所示.O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，
则所以
即h1∶h2＝2∶1.
故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.
10．.
【解析】设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.
由题意，得，即R＝3r.①
，即(R＋r)h＝392.②
又母线与底面的夹角为45°，则.③
联立①②③，得.