8.3简单几何体的表面积与体积 知识集锦+探究重点+即学即用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构）（含答案）

1285875-3028958.3简单几何体的表面积与体积
8.3简单几何体的表面积与体积

1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V=Sh
棱锥：椎体的底面面积为S，高为h，则V=falseSh
棱台：台体的上、下底面面积分别为false，false,高为h，则false
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积
表面积
圆柱表面积：false（r是底面半径，l是母线长）
2.圆锥表面积：false=false（r是底面半径，l是母线长）
3.圆台表面积：false（false分别是上、下底面半径，false是母线长）
4.球的表面积：false
体积
（1）圆柱体积：false（r是底面半径，h是高）
（2）圆锥体积：false（r是底面半径，h是高）
（3）圆台体积：false（false分别是上、下底面半径，false是高）
（4）球的体积：false
false
例1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A．6 B．false C．false D．false
【答案】D
【解析】解：由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，
所以其表面积为S表面积＝S侧面积＋2S下底面积＝false
故选：D.
例2．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】由三视图得该几何体为以ABCD为底，以PA为高的四棱锥，如图所示：
正方体的棱长为2，
则false，
所以该几何体的体积为false,
故选：D
1．已知三棱锥false的四个顶点在球false的球面上，false，false，false，平面false平面false，则球false的体积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知面积为false的false的顶点都在球false的球面上，false，点false是球false的球面上一动点，且点false到平面false的最大距离为false，则球false的表面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示．其可近似看作正四棱台，上底面是边长为false的正方形，下底面是边长为false的正方形，高为false．“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．一圆台的两底面半径分别为false，高为false，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．某几何体的三视图如图所示，已知图中圆的半径都为1，则此几何体的体积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．已知一个圆锥的底面面积为false，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于___________.
7．在三棱锥false中，平面false平面false，false，false，false，若三棱锥false的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为___________.
8．如图，在正三棱柱false中，false，false，由顶点false沿棱柱侧面经过棱false到顶点false的最短路线与false的交点记为false，求：
（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2）求该最短路线的长及false的值；
（3）三棱锥false体积.
9．（1）若圆柱的母线长为4，底面半径为2，求它的体积；
（2）已知球的表面积为false，求它的体积；
10．某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图为两个等腰直角三角形，俯视图为正方形．
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的外接球体积，内切球的表面积．
1．C
【解析】如图所示，由false，false知：false，又false，false，
∴false，则false．取false的中点false，则false，
∵false，由面false面false，面false面false，
∴false平面false．
设△false的外接圆的圆心为false，则false在false的延长线上，且false，
∴false．设false为△false的外接圆的圆心，则false为false的中点，false．
连结false，false，由球的性质可知，false平面false，
∴false，false，同理，false，false，
∴四边形false为正方形．
∴球false的半径为false，即false，则球false的体积false，
故选：C．
2．C
【解析】由false可知，false，
所以false，
所以false是等边三角形.
由false的面积为得false，false.
设false的外接圆为false，由正弦定理可知false的半径为false，
设球false的半径为false，由题意可知，false，
根据球的性质可知，false，解之得false，
所以球false的表面积为false，
故选:C.
3．A
【解析】由正四棱台，上底面是边长为false的正方形，下底面是边长为false的正方形，高为false，
四棱台的侧面均为等腰梯形，则其高为false，
所以“斗”的所有侧面的面积之和为false，
下底面的面积为false，所以false.
故选: A.
4．C
【解析】设该圆台的外接球的球心为false，半径为false，
则false或false，解得false，
所以该圆台的外接球的表面积为false.
故选：C.
5．D
【解析】解：由几何体的三视图可知，该几何体为false个球，
则该几何体的体积为false.
故选：D
6．false
【解析】设圆锥底面圆半径为r，母线为l，则false，
又圆锥侧面展开图是半圆，false，
如图是圆锥的正截面，
则false，则外接球球心即正三角形false的外接圆圆心，且半径即外接球半径，其半径为false，则外接球表面积为false
故答案为：16π
7．false
【解析】设false的外心为false，半径false，三棱锥false的外接球球心false，半径false，
过false作false的平行线，过false作false的平行线，两条直线交于false，
∵面false面false，面false面false，false，false面false，
∴false平面false，又false平面false，
∴false，则四边形false为矩形，而false，即false为false中点，即false，
在false中，由正弦定理得：false，所以false，
∵false，
∴false.
故答案为：false.
8．（1）false；（2）false；（3）false.
【解析】（1）因为正三棱柱false的侧面展开图是长为6，宽为false的矩形，
所以其对角线长为false；
（2）将侧面false绕棱false旋转false使其与侧面false在同一平面上，
点false运动到点false的位置，连接false交于false，
则false是由顶点false沿棱柱侧面经过棱false到顶点false的最短路线，
其长为false，
∵false≌false，∴false，故false；
（3）∵false平面false，
∴false，
false.
9．（1）false；（2）false
【解析】解：（1）由圆柱的母线长为4，底面半径为2，
所以底面圆的面积为false
故圆柱的体积为：false.
（2）因为球的表面积为false，故设球的半径为false，
所以false，解得：false，
所以球的体积为：false.
10．（1）false；（2）false；false．
【解析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，如图所示
（1）false
false
false
false
false
（2）由已知：该四棱锥可补形成正方体
false其外接球应为正方体的外接球
false
false
设其内切球半径为false，内切球球心为false
则false
false
false
false
false.