7.3复数的三角表示 知识集锦+探究重点+即学即用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构）（含答案）

复数的三角表示式
记向量的模==r,由图7.3-1可以得到，
所以，=rcos=r（cos+sin），
其中
r=，
cos=，
sin=.
这样，我们就用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角表示复数z.
（1）一般地，任何一个复数z=a+bi,都可以表示为
r=（cos+icos）的形式
其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始，向量所在射线（射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角．r(cos+isin)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式。为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式。
（2)规定：在0≤<2π范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作
argz,即0≤argz<2π.
3π
例如，,,=π,=
复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到，
=（cos+isin）·（cos+isin）
=（cos+isin）（cos+isin）
=[(coscos-sinsin)]
=[cos（+）+isin（+）
则
(cos+isin)·(cos+isin)
=[cos(+)+isin(+)]
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
复数除法运算的三角表示
设=(cos+isin),=(cos,+isin),且≠.因为
(cos+isin)·[cos(-)+isin(-)]=(cos+isin)，
所以根据复数除法的定义，有，
[cos(-)+isin(-]
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
例1．将复数化成代数形式，正确的是（
）
A．4
B．-4
C．
D．
【答案】D
【解析】
故选：D.
例2．（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
.
故选：B.
1．已知复数z=2+i，则
A．
B．
C．3
D．5
2．若，则
A．
B．
C．
D．
3．设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．
B．
C．
D．
5．设复数满足，则在复平面内的对应点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．已知，且，则实数的值为
A．0
B．1
C．
D．
7．将复数化为代数形式为___________
8．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.(用代数形式表示).
9．（1）计算：；
（2）若复数z满足，，求复数的三角形式.
10．计算下列各式：
（1）
；
（2）.试卷第1页，总3页
1．D
【解析】∵
故选D.
2．D
【解析】．故选D．
3．C
【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．
4．C
【解析】则．故选C．
5．A
【解析】由题意，，故在复平面内对应点为，在第一象限，故选A.
6．C
【解析】∵，∴
∴＝3,得，
则，
∴a=，
故选C．
7．
【解析】由题得.
故答案为：
8．
【解析】由题意得.
故答案为：
9．（1）；（2）；
【解析】（1），
而
∴原式；
（2）由题意知：，所以
，，
∴
10．（1）；（2）.
【解析】（1）=
（2）==
===.