8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 知识集锦+探究重点+即学即用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构）（含答案）

1236980012407900581025-3219458.4空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系


1.平面的概念
2.三个基本事实
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（不共线的三点确定一个平面）
（2）如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（3）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
3.三个推论
（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有一个平面
经过两条平行直线，有且只有一个平面
1.空间中直线与直线的位置关系
异面直线
定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
空间中两条直线的位置关系
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点
平行直线：在同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
2.空间中直线与平面的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点
直线与平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面平行——没有公共点
3.空间中平面与平面的位置关系
两个平面平行——没有公共点
两个平面相交——有一条公共直线
例1．某圆柱的正视图是如图所示的边长为false的正方形，圆柱表面上的点false，false，false，false，false在正视图中分别对应点false，false，false，false，false.其中false，false分别为false，false的中点，则异面直线false与false所成角的余弦值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【解析】如图所示，连结false，false，易知false，所以异面直线false与false所成角为false.由正视图可知，false平面false，所以false.
由于false，所以false，又false，所以false.
在false中，false，
故选：D.
例2．已知false，false表示两条不同直线，false，false，false表示三个不同平面．则下列命题正确的是（ ）
A．若false，false，则false B．若false，false，则false
C．若false，false，则false D．若false，false，则false
【答案】C
【解析】解：对于A，当false，false时，false与false有可能平行，有可能相交，也有可能直线false在平面false内，所以A错误；
对于B，当false，false时，则false与false有可能平行，有可能相交，也有可能直线false在平面false内，所以B错误；
对于C，当false时，则直线false垂直于平面false内的所有直线，而false，所以false，所以C正确；
对于D，当false，false时，false，false有可能平行，有可能相交，所以D错误
故选：C
1．设false是空间中的三条直线，false是空间中的两个平面，则下列命题中不成立的是（ ）
A．当false时，若false，则false
B．当false时，若false，则false
C．当false，且false是false在false内的正投影时，若false，则false
D．当false，且false时，若false，则false
2．如图是某正方体的展开图，其中A，B，C，D，E，F分别是原正方体对应棱的中点，则在原正方体中与false异面且所成角为false的直线是（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．已知两条不重合的直线false和平面false，则false的一个充分不必要条件是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
4．给出下列三个命题：
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知直线m，n，平面α，β，若α//β，m?α，n?β，则直线m与n的关系是（ ）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
6．如图，在四棱锥false中，底面false为正方形，false，且false为线段false上的动点（不含端点），设二面角false的大小为false，直线false与平面false所成的角为false，直线false与false所成的角为false，则（ ）
A．false，false B．false，false
C．false，false D．false，false
7．给出下列命题：
①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；
②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；
③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.
其中所有正确命题的序号为___________.
8．如图，正方体false的棱长为false，线段false上有两个动点false?false，且false，则下列结论中正确的是___________.
（1）false?false?false?false四点共面
（2）false
（3）三棱锥false的体积为定值
（4）false的面积与false的面积相等
9．在直角梯形ABCD中，false，false，false，将直角梯形ABCD以AB所在直线为旋转轴顺时针旋转120°，形成如图所示的几何体，其中点M是弧CE的中点，连接BM交CE于点O．
（1）证明：false；
（2）求异面直线BM与CD所成角的余弦值．
10．如图，false，false，false，false分别为false，false，false，false上的一点，false.
（1）求证：false，false，false，false四点共面.
（2）若false，false，且false与false所成角为false，且false为false的中点，求四边形false面积.
1．A
【解析】对于A，当false，false时，满足false，此时false不成立，A中命题不成立；
对于B，由面面垂直的判定定理知：若false，false，则false，B中命题成立；
对于C，若false是false在false内的正投影且false，则false垂直于false所在的平面，false，C中命题成立；
对于D，由线面平行的判定定理知：若false，false，false，则false，D中命题成立.
故选：A.
2．C
【解析】由题设展开图，可还原成如下正方体及各点的空间位置，
∴由正方体的性质知：与false异面的直线有false，且只有false与false所成角为false.
故选：C.
3．C
【解析】A. 当false时，false或m与n异面或相交，故错误；
B. 当false时，false或m与n异面或相交，故错误；
C. 当false时，false，反之不一定成立，故正确；
D. 当false时，false或m与n异面，故错误；
故选：C
4．C
【解析】①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，若这三条直线都是平行线，则这条直线和这个平面不一定垂直，故①错误；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这个角必为直角，故这条直线和这个平面垂直，故②正确；
③若一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面；满足直线与平面垂直的定义，故③正确．
故选：C．
5．D
【解析】若α//β，则false内的直线与false内的直线没有交点，
所以当m?α，n?β，则直线m与n的关系是平行或异面.
故选：D
6．B
【解析】如图所示：
设false在底面false内的射影为false，过false作false的垂线false，垂足为false，过false作false的垂线false，垂足为false，连接false，false，
则false，false，
因为false，
所以false，false，
故选：B．
7．②③
【解析】对于①，若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故①错误；
对于②，根据线面垂直的性质可知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故②正确；
对于③，若一条直线平行于一个平面，则与该平面垂直的直线与该直线垂直，故③正确．
false其中所有正确命题的序号为②③．
故答案为：②③．
8．（2）（3）
【解析】解：（1）由正方体的几何性质可知：false与false异面，又false为线段false上的两点，
则false与false异面，所以false四点不共面，故（1）错误；
（2）因为false为正方体，则false，又false，false，
所以false平面false，false平面false，所以false；故（2）正确；
（3）false到平面false的距离为false，△BEF的面积为定值，
∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故（3）正确．
（4）B到B1D1的距离为BB1＝1，A到B1D1的距离大于上下底面中心的连线，
则A到B1D1的距离大于1，∴△AEF的面积大于△BEF的面积，故（4）错误；
故答案为：（2）（3）.
9．（1）证明见解析；（2）false.
【解析】（1）因为几何体为圆台的一部分，所以CD与EF相交，所以C，D，E，F四点共面．
因为平面false平面BCE，平面false平面false，
平面false平面false，所以false．
因为点M是弧CE的中点，由垂径定理可知false．
因为false，所以false．
（2）以点B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系．
可知false，false，false，false，
所以false，false．
设异面直线BM与CD所成角为false．
所以false，
所以异面直线BM与CD所成角的余弦值为false．
10．（1）证明见详解；（2）false．
【解析】（1）证明：因为false，所以false，又false，所以false，则false
所以false，false，false，false四点共面；
（2）因为false，且false为false的中点，所以false
则false，所以false，则false是平行四边形，
又false，false，所以false
因为false与false所成角为false，所以false与false所成角为false
所以四边形false面积为false．