8.5空间直线、平面的平行 知识集锦+探究重点+即学即用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构）（含答案）

1285875-3028958.5空间直线、平面的平行
8.5空间直线、平面的平行

直线与直线平行
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行
定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
直线与平面平行
判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言：false
性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言：false
平面与平面平行
判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言：false
性质定理:两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言：false
例1．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（ ）
A．[false，false] B．[false，false] C．[false，false] D．[false，false]
【答案】A
【解析】如图所示，分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，连接B1D1，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥B1D1，EF∥B1D1，
∴MN∥EF，又MN?平面BDEF，EF?平面BDEF，∴MN∥平面BDEF；
连接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB，
可得NF∥AB，NF＝AB，则四边形ANFB为平行四边形，
则AN∥FB，而AN?平面BDEF，FB?平面BDEF，则AN∥平面BDEF．
又AN∩NM＝N，∴平面AMN∥平面BDEF．
又P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面BDEF，∴P点在线段MN上．
在Rt△AA1M中，AMfalse，
同理，在Rt△AA1N中，求得ANfalse，则△AMN为等腰三角形．
当P在MN的中点时，AP最小为false，
当P与M或N重合时，AP最大为false．
∴线段AP长度的取值范围是false．
故选：A．
例2．设a，b，m，n是四条不同直线，false是两个不同平面，且false，则“false”是“false”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】false
当false，若falsefalse时，false与false可能相交，如图（1）
当false，也不一定有false成立，可能异面.如图（2）
所以“false”是“false”的既不充分也不必要条件
故选：D
1．在三棱柱false中，false为正三角形，false平面false，false，过false作平面false与false平行，交平面false于直线false，则直线false与直线false所成角的余弦值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．正方体上点false、false、false、false是其所在棱的中点，则直线false与false异面的图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知false是三条不同的直线，false是三个不同的平面，有下列命题：
① false
②若false则false
③false则false
④直线false，直线false，那么false
⑤若falsefalse，则false
⑥若false，则false，
其中所有正确命题数（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．过平面false外的直线false，作一组平面与false相交，若所得交线为false，则这些交线的位置关系为（ ）
A．平行或交于同一点 B．相交于同一点
C．相交但交于不同的点 D．平行
5．在正方体false中，E是棱false的中点，F是侧面false内的动点，且false与平面false的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点F的轨迹是一条线段 B．false与BE是异面直线
C．false与false不可能平行 D．三棱锥false的体积为定值
6．已知正方体false的棱长为1，false为false中点，false为线段false（不含端点）上的动点.三棱锥false的体积记为false，三棱锥false的体积记为false，则以下结论正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false大小关系不确定
7．如图，在平行六面体false中，所有棱长均为a，且false，点E在楼false上，且false，平面α过点E且平行于平面false，则平面α与平行六面体false各表面交线围成的多边形的面积是___________.
8．在正方体false中，点P，Q分别为false的中点，过点D作面false使得false,若直线false，则false_______．
9．在三棱锥false中，false，false分别是棱false，false上的点，且false平面false．
（1）求证：false平面false；
（2）若false平面false，false，false，记三棱锥false与三棱锥false的体积分别为false，false，且false，求三棱锥false的体积．
10．如图，已知圆O的直径AB长为2，上半圆圆弧上有一点C，false，点P是弧AC上的动点，点D是下半圆弧的中点，现以AB为折线，将上?下半圆所在的平面折成直二面角，连接false，false，false.
（1）当false平面PCD时，求false的长；
（2）求三棱锥false的最大体积
1．A
【解析】取false中点false，false中点false，
false在三棱柱false中，false为正三角形，false平面false，且false，
false，false，
false，false，false面false面false，
false面false，false直线false就是直线false，
false，false，
false即为直线false与false所成角（或所成角的补角），
设三棱柱false中棱长为2，
则false，
false，
false．
false直线false与false所成角的余弦值为false．
故选：A
2．B
【解析】A. 如图：
因为点false、false、false、false是其所在棱的中点，则false 又false，所以 false，所以直线false与false不是异面直线；
B. 如图：
因为点false、false、false、false是其所在棱的中点，则false false 平面false，又false平面false， 所以false平面false，PQ与 false相交，所以直线false与false是异面直线；
C. 如图：
因为点false、false、false、false是其所在棱的中点，false ，所以false，又false，所以 false，所以直线false与false相交，不是异面直线；
D. 如图：
因为点false、false、false、false是其所在棱的中点，则false ，又false，所以 false，所以P，Q，R，S四点共面，所以直线false与false不是异面直线；
故选：B
3．B
【解析】对于①：根据平行的性质有false，故①正确；
对于②：由false得false或false相交，故②不正确；
对于③：由false得false，或false异面，故③不正确；
对于④：由直线false，直线false，可得false，false异面，false相交，故④不正确；
对于⑤：由falsefalse，得false或false相交，故⑤不正确；
对于⑥：若false，由面面平行的传递性得false，故⑥正确，
所以正确的命题有①⑥，
故选：B.
4．A
【解析】当直线false与平面false平行时，可得false，则false，
当直线false与平面false相交时，设false，
则直线false是过false点的直线，
所以这些交线的位置关系为都平行或都相交于同一点.
故选：A.
5．C
【解析】对于A中，设平面false与直线false交于点false，连接false，则false为false的中点，
分别取false的中点false，连接false，
因为false，false平面false，false平面false，
所以false平面false，同理可得false平面false，
又因为false是平面false内的相交直线，
所以平面false平面false，
由此结合false平面false，可得直线false平面false，
即点false是线段false上的动点，所以A正确；
对于B中，因为平面false平面false，false和平面false相交，
所以false与false是异面直线，所以B正确；
对于C中，由A知，平面false平面false，所以false与false不可能平行，
所以C错误；
对于D中，因为false，又由false，可得false，
false平面false，且false平面false，所以false平面false，
则false到平面false的距离为定值，所以三棱锥false的体积为定值，所以D正确.
故选：C.
6．C
【解析】由false为正方体，则false，
false平面false，false平面false，所以false平面false，
因为false为线段false上的动点，
所以false到平面false的距离与false到平面false的距离相等，
所以false，即false.
故选：C.
7．false
【解析】如图，符合条件的截面是六边形EFGHMN，
false，且六边形内角均为false，
连接EG，GM，ME，可知△EGM为等边三角形，
falsefalse，
所以面积为false.
故答案为：false．
8．false
【解析】解：如图，分别取false的中点false，连接false，则false，false，
因为false为false的中点，所以false，
因为false，false∥false，
所以false，false∥false，
所以四边形false为平行四边形，
所以false∥false，
因为false平面false，false平面false，
所以false∥平面false，同理可得false∥平面false，
所以平面false即为平面false，
连接false，由题知false，
因为false分别为所在棱中点，
所以false∥false，
所以点false为线段false的四等分点，且靠近点false，
所以false，
故答案为：false
9．（1）证明见解析；（2）false.
【解析】（1）false平面false，false平面false，平面false平面false，false，
又false平面false，false平面false，false平面false；
（2）false，false，false，
false，false，false；
由（1）知：false，false，false，
false，又false平面false，
false.
10．（1）false；（2）false.
【解析】（1）因为false平面false，false平面false，平面false平面false，
所以由线面平行的性质定理得false.
又false，可得false.
而false，所以false为正三角形，
所以false.
（2）因为二面角为直二面角，且false，所以false平面false，
而false，
则false，
所以当false时，三棱锥false体积最大，最大值为false.