8.6空间直线、平面的垂直 知识集锦+探究重点+即学即用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构）（含答案）

直线与直线垂直
两条异面直线所成的角的定义
已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O分别作直线，，把直线，所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）
两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，直线a与直线b垂直，记作a⊥b
异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的取值范围是
直线与平面垂直
1.定义：一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作
直线叫做平面的垂点，平面叫做直线的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足
2.点到平面的距离
（1）过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
（2）定义：过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
3.直线与平面垂直判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
4.直线与平面垂直性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
5.直线与平面、平面与平面之间的距离
（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离
（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面的距离
6.直线与平面所成的角
一条直线1与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.
过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线
PO,过垂足O和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角
7.直线与平面所成角的范围
(1）一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°
(2）直线与平面所成的角的取值范围是0°≤0≤90°
(3)斜线与平面所成的角是斜线与平面中所有直线所成角中最小的角.
平面与平面垂直
1.二面角
如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
二面角的记法
棱为AB,面分别为的二面角记作二面角
在内（棱以外的半平面部分）分别取P,Q，将这个二面角记作二面角
(3)如果棱记作,那么这个二面角记作二面角或二面角
二面角的平面角
如图,在二面角的棱上任取一点O,
以点O为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和
OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
二面角的度量
(1)二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
(2)二面角的平面角的取值范围是
2.平面与平面垂直
平面与平面垂直的定义
定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面与垂直,记作
(2)画法:如图,画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直
平面与平面垂直的判定及性质
自然语言
符号语言
判定
定理
如果一个平面过另
个平面的垂线,那么这
两个平面垂直
性质
定理
两个平面垂直,如果一
个平面内有一直线垂
直于这两个平面的交
线,那么这条直线与另
一个平面垂直
例1．在三棱锥中，已知，，，是线段上的点，，．若三棱锥的各顶点都在球的球面上，则球的半径为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图所示，在中，因为，，
可得，
又因为，所以，
由，，可得，可得，所以，
又由，且平面，所以平面，
又由平面，所以，
又由，即，且，可得平面，
设外接圆的半径为，则，可得，即，
设三棱锥的外接球的半径为，
可得，即.
球的半径为.
故选：D.
例2．在直三棱柱中，底面是以B为直角的等腰三角形，且，.若点D为棱的中点，点M为面的一动点，则的最小值为（
）
A．
B．6
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，，为直三棱柱，即面面，面面，面，
∴面，又面，
∴面面.
∴易得关于平面对称点E落在的延长线上，且，即，如下图所示，的最小时，、、三点共线.
∴.
故选：C
1．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．在直平行六面体中，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
3．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，P在底面的射影为正方形的中心点为中点.点T为该四棱锥表面上一个动点，满足都平行于过的四棱锥的截面，则动点T的轨迹围成的多边形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
4．等腰直角三角形的斜边为正四面体侧棱，直角边绕斜边旋转，则在旋转的过程中，则下列说法错误的是（
）
A．四面体的体积有最大值和最小值；
B．存在某个位置，使得；
C．设二面角的平面角为，则；
D．的中点与的中点连线交平面于点，则点的轨迹为椭圆.
5．设、为两条直线，、为两个平面，则下列命题中假命题是（
）．
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
6．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论不总成立的是（
）
A．三棱锥的体积不变
B．平面，
C．平面平面
D．
7．如图，正方体中，有以下结论：①平面；②；③平面；④直线与BC所成的角为，其中正确的结论为________.
8．在等腰直角三角形中，，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的体积为__________.
9．如图，在四棱锥中，平面，且，，，．
（1）求证：；
（2）设F为棱上一点，且平面，求二面角的大小．
10．如图，已知四边形ABCD是菱形，，四边形BDEF是平行四边形，
（1）求证：平面ABCD；
（2）求二面角A-DE-B的余弦值.试卷第1页，总3页
1．A
【解析】如图：连接，在长方体中，平面，
是与平面所成的角，
在直角中，．
故选：A．
2．A
【解析】过点D作于E，连接，如图，
在直平行六面体中，平面，
则，,
由可得平面，所以，
又，所以,
所以.
故选：A.
3．D
【解析】
取的中点，的中点，的中点，的中点，连接延长交与点，连接,
因为底面是边长为的正方形，
所以对角线，，
因为在底面的射影为正方形的中心，可得面，
因为面，
所以，
因为，，所以，
因为、为、的中点，
所以，且，
因为平面，平面，
所以平面，同理平面，
所以平面即为所求截面.
又因为平面平面，平面，所以，
因为为的中点，可得，
所以，
，，
因为、为、的中点，所以，，
所以，，所以四边形是平行四边形，
因为，，，所以平面，
因为平面，可得，所以，
所以四边形是矩形，
所以动点T的轨迹围成的多边形的面积为.
故选：D
4．C
【解析】对A，当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，
当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，
∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故A正确；
对B，连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故B正确；
对C，取AB中点O，连接DO，EO，
则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角为θ，
直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），
，所以θ≥∠DAE不成立．C不正确；
对于D,AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，
P到BC的距离为：，因为，
所以点P的轨迹为椭圆．D正确．
故选：C．
5．C
【解析】A.若，，，则，成立；
B.因为，所以，因为，所以平面内存在使，则，则，所以成立；
C.不满足面面平行的判断定理，有可能两平面相交，故C不成立；
D.因为，，则，又因为，则，故D正确.
故选：C
6．D
【解析】如图所示：
正方体中，则有平面，∴到平面的距离不变，面积不变，因此三棱锥的体积不变，A正确；
同理平面平面，从而可得平面平面，∴可得平面，
B正确；
因为所以平面，则；同理
又所以平面，又平面所以平面平面，故C正确；
当与重合时，与夹角为
，故D错
故选：D
7．①②③④
【解析】在①中，由正方体的性质得，，
平面，故①正确；
在②中，由正方体的性质得，而是在底面内的射影，
由三垂线定理知，，故②正确；
在③中，由正方体的性质得，由②知，，，
同理可证，故平面内的两条相交直线，
平面，故③正确；
在④中，异面直线与所成的角就是直线与所成的角，
故为异面直线与所成的角，
在等腰直角中，，故直线与所成的角为，故④正确．
故答案为：
①②③④
8．
【解析】翻折前，在等腰直角三角形中，，，则，
为的中点，则且.
翻折后，对应地，有，，，平面，
在四面体中，取的中点，连接，如下图所示：
，为的中点，则，
，，
所以，，
因此，.
故答案为：.
9．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵，平面，∴平面．
又∵平面，∴．
在中，由，得，．
又，，∴．
在中，，
解得．
∴，即．
而，∴平面．
又∵平面，∴
（2）解：连接交于点G，连接．
∵平面，平面平面，
∴，∴．
在直角梯形中，，
∴，∴．
如图，以E为坐标原点，，所在的直线为x轴，z轴建立空间直角坐标系，
则．
又∵，∴，∴，
∴，．
令平面的一个法向量为，
由得
取，得．
同理，平面的一个法向量为，
∴，
即二面角的大小为．
10．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接AC，设于点G，
因为四边形ABCD为菱形，所以，
且点G是AC的中点，又FA=FC，所以AC⊥FG，
又因为BD平面BDEF，FG平面BDEF
所以AC⊥平面BDEF，FD平面BDEF
所以AC⊥FD，
因为，四边形ABCD为菱形，所以
在BDF中，，
由余弦定理得FD=2，因为，
即FD⊥BD，所以FD⊥平面ABCD；
（2）如图，以点D为坐标原点，过点D且平行于CA的
直线为x轴，DB，DF所在直线分别为y轴?轴，建立空间直角坐标系，
则，
平面BDE的法向量，设平面ADE的法向量，
由，由，令，
即.
由（1）可知AG⊥平面BDEF于点G，
所以二面角A-DE-B为锐二面角，所以所求二面角的余弦值是.