10.1随机事件与概率 知识集锦+探究重点+即学即用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构）（含答案）

838835-30289510.1随机事件与概率
10.1随机事件与概率
有限样本空间与随机事件
1.随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验，常用字母E表示.例如，抛一枚硬币、掷一个均匀的骰子等,都可以看成随机试验.
2.样本点和样本空间
（1）定义:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间
（2）表示：一般地，我们用false表示样本空间，用false表示样本点
（3）有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果false，则称样本空间false=false为有限样本空间
3.事件
(1)随机事件:我们将样本空间false的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,表示，在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
(2)必然事件:false作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以false总会发生,我们称false为必然事件.
(3)不可能事件:空集false中不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称false为不可能事件.
事件的关系和运算
含义
包含关系
一般地,若事件A发生,则事件B一定发
生，找们就称事件B包含事件A(或事件
A包含于事件B),记作BfalseA(或AfalseB)
相等关系
如果事件B包含事件A,事件A也包含
事件B,即BfalseA且AfalseB,则称事件A与
事件B相等,记作A=B
并事件
(和事件)
一般地,事件A与事件B至少有一个发
生,这样的一个事件中的样本点或者在
事件A中,或者在事件B中，我们称这个
事件为事件A与事件B的并事件(或和
事件)，记作AUB(或A+B)
交事件
(积事件)
一般地,事件A与事件B同时发生,这样
的一个事件中的样本点既在事件A中，
也在事件B中,我们称这样的一个事件
为事件A与事件B的交事件(或积事件)，
记作A∩B(或AB)
互斥事件
一股地，如果事件A与事件B不能同时
发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，
A∩B=false,则称事件A与事件B互斥
(或互不相容）
对立事件
一般地，如果事件A和事件B在任何
次试验中有且仅有一个发生，即AUB=
false,且A∩B=false,那么称事件A与事件B
互为对立.事件A的对立事件记为false
古典概率
概率的定义
对随机事件发生可能性大小的度重(数值)称为事件的概率,事件
A的概率用P（A）表示.
古典概型
（1）古典概型的定义
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间false包含n个样本点,事件
A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率false
其中,n(A)和n(false）分别表示事件A和样本空间false包含的样本点个数.
例1．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
【答案】C
【解析】解析：从盒中任取一个铁钉包含样本点总数为10，其中取到合格铁钉(记为事件A)包含8个样本点，所以false．
故选：C.
例2．同时投掷两颗质地均匀且大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点个数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【解析】解析：由题可得“所得点数之和小于5”包含{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)}共6个样本点．
故选：D.
1．设false为长方形false的对角线交点，false，false，在false，false，false，false，false中任取3点组成三角形，则取到的3点构成等腰三角形的概率是（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
2．某次会议上，甲?乙?丙三人坐定后又随机交换座位(可以选择保持位置不变)，则至少有1人仍然坐在原来的座位的概率（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
3．用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
4．有false位男生和false位女生在周日去参加社区志愿活动，从该false位同学中任取false人，至少有false名女生的概率为（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
5．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202)被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个false，则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
6．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数但不是2的倍数的概率为（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
7．某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动，则选出的3人中既有男生又要有女生的概率等于___________.
8．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶?李冶?杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”.现从秦九韶的《数书九章》?李冶的《测圆海镜》《益古演段》?杨辉的《详解九章算法》?朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作中任选2本研读，则必选《数书九章》的概率是___________.
9．“皖惠保”是一款普惠型补充医疗险产品，它由人保财险承保，主要报销生病住院的医疗费．只要参加了基本医疗保险的，不限年龄、职业、健康状况皆可投保．为了解人们对于“皖惠保”的关注情况，某市医保局对年龄在区间false的参保人群随机抽取false人进行调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数
分组
人数（单位：人）
第一组
false
false
第二组
false
false
第三组
false
false
第四组
false
false
第五组
false
false
第六组
false
false
（1）求false的值；
（2）补全频率分布直方图；
（3）现从年龄在区间false的“参保者”中随机抽取false人进行访谈，求这false人均来自区间false的概率．
10．某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在false，false两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查.
（1）求图中false的值并估算这100位学生学均时长；
（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率.
1．C
【解析】在false，false，false，false，false中任取3点组成的三角形有：false，共8个，
其中等腰三角形有false共4个，
所求概率为false．
故选：C．
2．D
【解析】设甲?乙?丙原来座位号分别为1，2，3，所以总的基本事件有false共6种，
至少有1人仍然坐在原来的座位的基本事件有false共4种，
所以所求概率为false，
故选：D.
3．A
【解析】5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色方法数为false，
有公共边的三角形为同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法为false，
所以所求概率为false．
故选：A．
4．D
【解析】将false位男生分别记为false、false、false，false位女生分别记为false、false，
从这false位同学中任取false人，所有的基本事件有：false、false、false、false、false、false、false、false、false、false，共false种，
其中，事件“从这false位同学中任取false人，至少有false名女生”包含的基本事件有：false、false、false、false、false、false、false、false、false，共false种，
因此，所求概率为false.
故选：D.
5．C
【解析】三位数的回文数有：
101
111
121
131
141
151
161
171
181
191
202
212
222
232
242
252
262
272
282
292
303
313
323
333
343
353
363
373
383
393
404
414
424
434
444
454
464
474
484
494
505
515
525
535
545
555
565
575
585
595
606
616
626
636
646
656
666
676
686
696
707
717
727
737
747
757
767
777
787
797
808
818
828
838
848
858
868
878
888
898
909
919
929
939
949
959
969
979
989
999
共有90个，其中奇数有50个，故出现奇数的概率为false
故选：C
6．C
【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，共有36种结果，
满足条件的事件是点数之和是3的倍数但不是2的倍数，有false，false，false，false，false，false共6种结果，
根据古典概型概率公式得到false，
故选：C
7．false
【解析】从7人中选3人的方法数为false，既有男生又要有女生的选法数为false，
所以概率为false．
故答案为：false．
8．false
【解析】由题意知：必选《数书九章》的选法有false种，而所有可能的选法有false种，
∴必选《数书九章》的概率为false.
故答案为：false.
9．（1）false；（2）作图见解析；（3）false．
【解析】（1）由频率分布直方图可知，年龄在false，false，false，false，false的频率分别为：false，false，false，false，false
所以年龄在false的频率为false，
又因为年龄在false之间的人数为false，则有false，所以false，
故false，false，false，
false，false，
所以false；
（2）由（1）可知，年龄在false的频率为false，
所以年龄在区间false的矩形的高为false.
（3）年龄在区间false的“参保者”有false人，年龄在区间false的“参保者”有false人，
所以从年龄在区间false的“参保者”中随机抽取false人的抽法有false种，
这false人均来自区间false的抽法有false种，
所以所求概率为false．
10．（1）false，平均时长为13.5小时；（2）false.
【解析】（1）由频率分布直方图的数据，可得false，解得false，
又由平均数的计算公式，
可得false.
即估算这100位学生学均时长为13.5小时.
（2）由频率分布直方图，可得落在false内数据个数为false，
落在false内数据个数为false.
按照分层抽样方法抽取8人，则false内抽取5人，记为false，false，false，false，false，
在false内抽取3人，记为false，false，false，
从这8位学生中每次抽取2人，可能的情况有：
false，false，false，false，false，false，false；
false，false，false，false，false，false；
false，false，false，false，false；
false，false，false，false；
false，false，false；
false，false；
false，共有28种结果，且各结果等可能，
其中2位学生来自不同组别的取法有15种，
所以抽取的2位学生来自不同组别的概率为false.