8.6.2.1直线与平面垂直的判定 -【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（含解析）

8.6.2 .1直线与平面垂直的判定-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（含解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：
①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；
③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．
其中，一定正确的是(????)
A. ①②③ B. ①③ C. ①④ D. ③④
已知平面α，直线a，b，l，且a?α，b?α，则“l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的(????)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
如图，O为正方体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则直线D1O与A1C1所成的角为? (??? )
A. π2 B. π3
C. π4 D. π6
若三棱锥P?ABC的高为PH，若PA，PB，PC两两垂直，则H一定为△ABC的(????)
A. 垂心 B. 外心 C. 内心 D. 重心
如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF与AC的交点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，如图②，那么在这个空间图形中必有(????)
A. AG⊥平面EFH B. AH⊥平面EFH C. HF⊥平面AEF D. HG⊥平面AEF
给出下列条件(其中l为直线，α为平面):
①l垂直于α内五边形的两条边;
②l垂直于α内三条不都平行的直线;
③l垂直于α内无数条直线;
④l垂直于α内正六边形的三条边．
其中能得出l⊥α的所有条件的序号是(????)
A. ② B. ①③ C. ②④ D. ③
如图所示，在正三棱柱ABC???A1B1C1中，若AB∶BB1=2∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为(????)
A. 45° B. 60°
C. 30° D. 75°
如图所示，△ABC是等腰三角形，BA=BC，DC⊥平面ABC，AE//DC，若AC=2，且BE⊥AD，则(????)
A. AB·BC=1 B. AB·BC=2
C. AE·CD=1 D. AE·CD=2
(多选题)如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G.给出下列结论正确的是? (??? )
A. SG⊥平面EFG B. SD⊥平面EFG
C. GF⊥平面SEF D. EF⊥平面GSD
(多选题)如图，六棱锥P?ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是(????)
A. CF⊥平面PAD B. DF⊥平面PAF C. CF//平面PAB D. CD//平面PAF
如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为C1D1，BB1的中点，则线段AE的长为??????????，△AEF在底面ABCD上的射影的面积是??????????．
如图所示，在三棱锥A?BCD中，△ABD，△BCD均为等边三角形，AC=23，BC=4，则三棱锥A?BCD的体积为________．
正四棱锥的底面边长为2，它的侧棱与底面所成的角为π3，则它的体积____________．
如图所示，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件__________________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)
如图所示，四棱锥S?ABCD底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有__________个．
①AC⊥SB； ②AB?//平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
如图，已知三棱锥A?BCD的所有棱长均相等，点E满足CE=3EB，点P在棱AB上运动，设EP与平面BCD所成的角为θ，则sinθ的最大值为______．
三．解答题
如图，在四棱锥P?ABCD中，AB⊥BC，AD//BC，AD=AB=12BC=1，PA=5，△PBC是正三角形．
(1)求证：AB⊥平面PBC；
(2)求点P到平面ABC的距离．
如图所示，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点．
(1)求证：AF⊥平面BB1D1D；
(2)求异面直线EF与BC所成的角的正切值．
如图所示，AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．求证：EF⊥平面BCG．
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1．
(Ⅰ)求证：AB1⊥平面A1BC1；
(Ⅱ)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：对于①，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，
都在α内存在直线与直线AB异面，所以①正确；
对于②，当直线AB与α平行时，
平面α内不存在直线与直线AB相交，所以②错误；
对于③，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，
都存在过直线AB的平面与α垂直，所以③正确；
对于④，若直线AB与α相交，
则不存在过直线AB的平面与α平行，所以④错误；
综上知，正确的命题序号是①③．
故选：B．
根据空间中的直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断题目中的命题真假性即可．
本题考查了空间中的直线与平面以及平面与平面的位置关系应用问题，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：a?α，b?α，直线a、b的位置关系可能平行，也可能相交．若a与b相交，则由l⊥a且l⊥b能得到l⊥α，否则不一定，所以，“l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的不充分条件；反之，根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l垂直于平面α内的所有直线，所以“l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的必要条件．
所以，“l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件．
故选：B．
本题考查充分条件、必要条件的判断，考查线面垂直的判定和性质，运用线面垂直的判定和性质及充分、必要条件的概念求解．
3.【答案】A
【解析】解：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，易知A1C1⊥BD，A1C1⊥DD1，
又BD∩DD1=D，且BD，DD1?平面BDD1
则A1C1⊥平面BDD1
又D1O?平面BDD1，由此得到A1C1⊥D1O.
故直线D1O与A1C1所成的角为π2??
故选：A．
由A1C1⊥平面BDD1得A1C1⊥D1O，即可求得所求角．
本题考查了异面直线及其所成的角和空间中的垂直关系，属基础题．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了线面垂直的判定和线面垂直的性质，属于中档题．
结合已知利用直线与平面垂直的判定定理先证得PA⊥平面PBC，再利线面垂直的性质证得PA⊥BC，AN⊥BC从而有BC⊥平面PAN，AN⊥BC，同理可得BH⊥AC;CH⊥AB，故H为底面三角形的垂心．
【解答】
解：如图示连结AH，BH，CH并延长分别交BC，AC于N，M，Q．
∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB?PC=P．
∴PA⊥平面PBC，又∵BC?平面PBC，
∴PA⊥BC①．
∵PH是三棱锥P?ABC的高，
∴PH⊥平面ABC.又∵BC?平面PBC，
∴PH⊥BC②．
由①②及PA∩PH=P得
BC⊥平面PAH.又∵AH?平面PAH，
所以AH⊥BC.即AN⊥BC
同理可得BM⊥AC;CQ⊥AB．
故点H是△ABC三边上高的交点，
∴H为△ABC的垂心．
故选A．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面垂直的判定，一般利用线线?线面?面面，垂直关系的相互转化判断．本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断AH与平面HEF的垂直．?
【解答】
解：∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；?
根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；?
∵AG⊥EF，EF⊥AH，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，
∴C不正确；
∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，D不正确．
故选B ．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查线面垂直的判定，属于基础题.根据如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面，判断可得答案．
【解答】
解：对于①，五边形的两条边可能不相交，故直线l不一定垂直平面α;
对于②，α内三条不都平行的直线必然有两条相交，即直线垂直平面内的两条相交直线，
∴能得出l⊥α;
对于③，α内无数条直线可能平行，∴无法得出l⊥α;
对于④，正六边形的三条边必然有两条相交，即直线垂直平面内的两条相交直线，
∴能得出l⊥α．
故选C．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面所成的角，属于基础题．
由AD⊥平面BB1C1C，可得∠AB1D即为所求角.设AB=2，则AA1=1，在直角三角形中即可求出线面角的大小．
【解答】
解：如图所示，取BC的中点D，连接AD，B1D，
则易知AD⊥平面BB1C1C，∴∠AB1D即为所求角．
设AB=2，则AA1=1，AD=62，AB1=3，
∴sin∠AB1D=ADAB1=22，∴∠AB1D=45°．
故选A．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了线面垂直的判定和线面垂直的性质，属于中档题．
易得AD⊥平面BOE，所以AD⊥OE，由相似可得1AE=CD2，所以AE·CD=2．
【解答】
解：取AC的中点O，连接OB，OE，OE交AD于点F，则OB⊥AC．
∵DC⊥平面ABC，OB?平面ABC，
∴DC⊥OB，
∵DC∩AC=C，DC?平面ADC，AC?平面ADC，
∴OB⊥平面ADC，
∵AD?平面ADC，∴OB⊥AD，
∵BE⊥AD，OB∩BE=B，OB?平面BOE，BE?平面BOE，
∴AD⊥平面BOE，
∵OE?平面BOE，∴AD⊥OE，
∵AE//DC，∴∠DAE=∠ADC，
又∠AFE=∠ACD=90°，∴∠AEO=∠CAD，
∴△AEF∽△DAC∽△OAF，
∴OAAE=OFAF=CDAC，
∴1AE=CD2
∴AE·CD=2，
故选D．
9.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线和平面的位置关系，涉及线面垂直的判定及性质，属中档题．
对于A，由SG⊥GF,SG⊥GE及线面垂直的判定定理即可判定；对于B，由SD⊥面GEF且SG⊥面GEF可得SG//SD，由此得出矛盾即可判定；对于C，由GF⊥面SEF可得GF⊥EF，即可得GE>GF，由此与条件GE=GF矛盾即可判定；对于D，由SG⊥面GEF可得SG⊥EF，又由DG⊥EF及线面垂直的判定定理即可判定．
【解答】
解：对于A，由题意SG⊥GF,SG⊥GE，GE∩GF于点G，且GE?面GEF，GF?面GEF，所以SG⊥面GEF，故A正确；
对于B，因为SG⊥面GEF，若SD⊥面GEF，则有SG//SD，显然不成立，故B正确；
对于C，若GF⊥面SEF，因为EF?面SEF，所以GF⊥EF，则△GFE中必有GE>GF，而由又因为E，F分别是G1G2，G2G3的中点可得GE=GF，所以矛盾，故C错误;
对于D，因为SG⊥面GEF，EF?面GEF，所以SG⊥EF;又因为又因为E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，所以DG2⊥EF，即DG⊥EF，又DG∩SG于点G，DG?面GSD，SG?面GSD，所以EF⊥面GSD，故D正确．
故答案为AD．
10.【答案】BCD
【解析】
?【分析】
本题考查了空间中线面平行，线面垂直的判定定理，考查逻辑推理能力，属于基础题．
根据题意，由线面平行，线面垂直的判定定理逐一判断即可．
【解答】
解：∵六棱锥P?ABCDEF的底面是正六边形，∴AF?//?CD，由线面平行的判定定理，可得CD?//平面PAF，故D正确；
∵DF⊥AF，DF⊥PA，又AF∩PA=A，AF、PA?平面PAF，∴DF⊥平面PAF，故B正确；
由正六边形的性质可知，CF?//?AB，由线面平行的判定定理，可得CF?//平面PAB，故C正确；
∵CF与AD不垂直，∴CF⊥平面PAD不正确．
故选BCD．
11.【答案】3? 2
【解析】解：连AD1，∵正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为C1D1，BB1的中点，
∴|AE|=|AD1|2+|D1E|2=(22)2+12=3，
取DC中点G，则△AEF在底面ABCD上投影是△ABG，
则，△AEF在底面ABCD上投影的面积为S△ABG=12?2?2=2．
故答案为：3，2．
连AD1，利用勾股定理能求出线段AE的长；取DC中点G，则△AEF在底面ABCD上投影是△ABG，由此能求出△AEF在底面ABCD上投影的面积．
本题考查线段长、三角形在平面的上的投影的面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】43
【解析】
【分析】
本题考查线面垂直的判定以及棱锥体积的求法，空间空间想象能力与思维能力，是中档题．
取BD的中点O，连接AO，CO，证明BD⊥平面AOC，再由V三棱锥A?BCD=V三棱锥B?AOC+V三棱锥D?AOC=2V三棱锥B?AOC.即可求三棱锥体积．
【解答】
解：取BD的中点O，连接AO，CO，
如图．因为AB=AD=BC=DC=BD=4，O为BD的中点，
所以AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO=O，CO?平面AOC，AO?平面AOC
所以BD⊥平面AOC．
易得AO=CO=32×4=23.又AC=23，
所以△AOC为正三角形，
故V三棱锥A?BCD=V三棱锥B?AOC+V三棱锥D?AOC=2V三棱锥B?AOC=2×13×2×34×(23)2=43．
故答案为43
13.【答案】233
【解析】
【分析】
本题考查正四棱锥的性质，根据线面角得到高，代入体积公式是即可求解．
【解答】
解：设高为h，由题意可得?=3，
则体积为13×(2)2×3=233．
故答案为233．
14.【答案】AC⊥BD
【解析】
【分析】
本题主要通过开放的形式来考查线线，线面，面面垂直关系的转化与应用．根据题意，由A1C⊥B1D1，结合直棱柱的性质，分析底面四边形ABCD得到BD⊥AC，进而验证即可得答案．?
【解答】
解：∵四棱柱A1B1C1D1?ABCD是直棱柱，
∴B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1，
A1A∩A1C=A1，A1A，A1C?平面A1AC1C，
则B1D1⊥平面A1AC1C，
又AC?平面A1AC1C，
∴B1D1⊥AC，
又由B1D1//BD，
则有BD⊥AC，
反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1,
故答案为AC⊥BD．
15.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查了线面垂直的性质，线面平行的判定，异面直线所成的角及直线与平面所成的角，属于中档题．
①.利用正方形的性质和线面垂直的性质与判定即可得出；
②.利用正方形的性质和线面平行的判定定理即可得出；
③.根据线面角定义得到结论；
④.由异面直线所成角定义可知? ．
【解答】
解：对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD=D，SD、BD?平面SBD，∴AC⊥平面SBD，∵SB?平面SBD，∴AC⊥SB，故①正确;
对于选项B，∵AB//CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，∴AB//平面SCD，故②正确;
对于选项③，因为SD⊥底面ABCD，由线面角的定义知正确，故③正确;
对于④，由于AB//CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，即为DC与SC所成的角? ，故④正确．
故答案为4．
16.【答案】223
【解析】解：设棱长为4a，PC=x(0正四面体的高为：463a，
设P到平面BCD的距离为h，则?463a=x4a，∴?=63x，
∴sinθ=63xx2+a2?ax=63(ax?12)2+34，
∴x=2a时，sinθ的最大值为：223．
故答案为：223．
设棱长为4a，PC=x(0本题考查线面角，数形结合的应用，相似三角形的应用，考查配方法的运用，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：∵AB=12BC=1且△PBC是正三角形，
∴PB=2，
又∵PA=5，∴AB2+PB2=PA2，得AB⊥PB，
∵AB⊥BC且PB∩BC=B，∴AB⊥平面PBC；
(2)解：设点P到平面ABC的距离为h，
由(1)知AB⊥平面PBC，
∴由VP?ABC=VA?PBC，得：13S△ABC??=13S△PBC?AB，即
13×12×1×2×?=13×12×2×2×32×1，
?=3，
即点P到平面ABC的距离为3．
【解析】(1)由已知得PB=2，又PA=5，可得AB2+PB2=PA2，得AB⊥PB，再由AB⊥BC，又线面垂直的判定可得AB⊥平面PBC；
(2)设点P到平面ABC的距离为h，由(1)知AB⊥平面PBC，再由VP?ABC=VA?PBC列式求点P到平面ABC的距离．
本题考查直线与平垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
18.【答案】(1)证明：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD，?
因为F为BD的中点，所以AF⊥BD，?
因为DD1⊥平面ABCD，AF?平面ABCD，
所以AF⊥DD1，
又DB∩DD1=D，DB?平面BB1D1D，DD1?平面BB1D1D，?
所以AF⊥平面BB1D1D；
(2)解：连接D1B，D1C，如图所示．
因为E，F分别为DD1，BD的中点，
所以EF?//?D1B，?
故异面直线EF与BC所成的角即为∠D1BC，?
又BC⊥平面D1DCC1，D1C?平面D1DCC1，?
所以BC⊥D1C，
直角三角形BCD1中，D1C=22，BC=2，
所以tan∠D1BC=D1CBC=2，
故异面直线EF与BC所成的角的正切值2．
【解析】本题考查了线面垂直的判定、异面直线所成角的计算，属基础题，
(1)正方体ABCD?A1B1C1D1中，因为F为BD的中点，得AF⊥BD，再由正方体的性质得AF⊥DD1,再由线面垂直的判定定理即可得到AF⊥平面BB1D1D；
(2)连接D1B，D1C，由EF?//?D1B，得到异面直线EF与BC所成的角∠D1BC，由正方体的性质得BC⊥D1C，在直角三角形BCD1中，求得异面直线EF与BC所成的角的正切值．
19.【答案】证明：由已知得△ABC≌△DBC，? 因此AC=DC，??
又G为AD的中点，所以CG⊥AD，同理BG⊥AD，
又BG∩CG=G，?BG、CG?平面BGC，
?因此AD⊥平面BGC，
又E，F分别为AC，CD的中点，?
所以EF?//?AD，所以EF⊥平面BCG．
【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查逻辑推理能力，属于基础题．
由题意，证明CG⊥AD，BG⊥AD，利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面BGC，再由EF?//?AD可得结论．
20.【答案】解：(I)∵直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，A1C1?平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1C1，
又∵∠B1A1C1=90°，即A1C1⊥A1B1，A1B1、AA1是平面AA1B1B内的相交直线，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，可得AB1⊥A1C1
∵直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=AA1，
∴四边形AA1B1B是正方形，可得AB1⊥A1B，
又∵A1B、A1C1是平面A1BC1内的相交直线，
∴AB1⊥平面A1BC1；
(II)连结AD，设AB=AC=AA1=1，
∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成角
∵等腰Rt△A1B1C1中，D为斜边的中点，∴A1D=12B1C1=22，
又∵Rt△A1DA中，AD=A1D2+A1A?2=62，
∴sin∠A1DA=A1DAD=33，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值等于33．
【解析】(I)根据AA1⊥平面A1B1C1证出AA1⊥A1C1，结合A1C1⊥A1B1得到A1C1⊥平面AA1B1B，从而证出AB1⊥A1C1.然后在正方形AA1B1B中证出AB1⊥A1B，可得出AB1⊥平面A1BC1；
(II)连结AD，由AA1⊥平面A1B1C1可得∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成角．然后在Rt△A1DA中利用解直角三角形加以计算，可得AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．
本题在特殊的三棱柱中求证线面垂直，并求直线与平面所成角的大小．着重考查了直三棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．