8.6.1 直线与直线垂直 -【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（Word含解析）

8.6.1 直线与直线垂直-【新教材】人教A版（2019）
高中数学必修第二册同步练习（含解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(? )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
如图，点P，Q分别是正方体ABCD?A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为(? ? ?)
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ=2，QR=5，PR=3，那么异面直线AC与BD所成的角是(????)
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
如图，在三棱锥D?ABC中，AC=BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于(????)
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
如图所示，三棱柱ABC?A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是? (??? )
A. CC1与B1E是异面直线
B. CC1与AE共面
C. AE与B1C1是异面直线
D. AE与B1C1所成的角为60°
一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB//EF；②CD⊥MN；③MN与AB是异面直线；④BF与CD成60°角，其中正确的是(????)
A. ①③ B. ②③
C. ②④ D. ③④
在六角螺母(可看成正六棱柱)中，当它的某两条棱所在的直线是异面直线时，这对异面直线所成的角是(????)
A. 60° B. 60°或120° C. 120° D. 60°或90°
如图，在正四面体ABCD中，M是BC的中点，P是线段AM上的动点，则直线DP和BC所成角的大小(????)
A. 一定为90° B. 一定为60°
C. 一定为45° D. 与P的位置有关
有下列说法：
①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
②若直线a，b相交，b，c相交，则b，c相交；
③若直线a?//?b，则直线a，b与直线c所成的角相等．
其中正确说法的个数为? (??? )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=8，AD=6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为(? ? ? )
A. 98π B. 196π
C. 784π D. 13723π
如图，在正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是(????)
相交直线 B. 平行直线
C. 不互相垂直的异面直线
D. 互相垂直的异面直线
二．填空题
如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中：
(1)AC与DD1所成的角为________；
(2)AC与D1C1所成的角为________．
如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC.若AB=AC=AA1=1，BC=2，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________．
如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，异面直线BC1与CD1所成角的大小为________．
三．解答题
如图，几何体ABCD?A1B1C1D1为正方体．
(1)求异面直线A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：A1C1⊥EF．
如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O的圆周上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为⊙O，⊙O1的直径，且AB?//A1B1.若圆柱OO1的体积V=12π，OA=2，∠AOP=120°，回答下列问题：
(1)求三棱锥A1?APB的体积．
(2)在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周在圆锥的侧面上)，圆锥的母线长为4，AB，CD是底面的两条直径，且AB=4，AB⊥CD，圆柱与圆锥的公共点F恰好为其所在母线PA的中点，点O是底面的圆心．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)求异面直线OF和PC所成角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了立体几何，异面直线垂直判定，属于基础题．
根据条件即可判断结果．
【解答】
解：和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1．
故选B．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了正方体的性质、空间角、等边三角形的性质，考查了推理能力应用计算能力，属于中档题．
如图所示，连接D1C，则PQ//D1C，A1B//D1C.则∠A1BC1是异面直线PQ和BC1所成的角．
【解答】
解：如图所示，
连接D1C，则PQ//D1C.
连接A1C1，A1B，则△A1C1B是等边三角形，A1B//D1C.
则∠A1BC1是异面直线PQ和BC1所成的角，为60°．
故选C．
3.【答案】A
【解析】解：∵△BCD中，Q、R分别是BC、CD的中点，
∴QR//BD
同理可得：△ABC中，PQ//AC，
因此PQ、QR所成的锐角或直角就是异面直线AC与BD所成的角．
∵△PQR中，PQ=2，QR=5，PR=3，
∴PQ2+QR2=9=PR2，可得∠PQR=90°
∴异面直线AC与BD所成的角为90°
故选A
首先分别在△BCD和△ABC利用中位线定理，证出QR//BD且PQ//AC，从而PQ、QR所成的锐角或直角就是异面直线AC与BD所成的角．然后在△PQR中，利用勾股定理逆定理，得到∠PQR=90°，所以异面直线AC与BD所成的角为90°．
本题已知空间四边形三条棱中点为顶点构成的三角形的边长，求它的对角线所在直线的所成角，着重考查了异面直线所成角和勾股定理逆定理等知识，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
取AD的中点G，连接GE，GF，将AC平移到EG，则∠GEF为异面EF与AC所成的角，再在Rt△EFG中，求出此角即可．?
【解答】
解：取AD的中点G，连接GE，GF，
则GE//AC，故∠GEF就是EF和AC所成的角，
又GF//BD，且AC⊥BD，AC=BD，
∴△GEF是直角三角形，
且GE=GF
在直角三角形△GEF中，
∴∠GEF=45°．
故选B.?
5.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查异面直线的判定，根据异面直线的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C?1C与B1E是共面的，A错误；
B、由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C?1C与AE是异面直线，B错误；
C、同理可得AE与B1C1是异面直线，C正确；
D、而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．
故选C．
6.【答案】B
【解析】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知，AB⊥EF，CD⊥MN，MN与AB是异面直线，BF与CD平行，只有②③正确，
故选：B．
将其还原成正方体，如图所示，依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置关系．
考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了异面直线所成角，画出示意图，找出异面直线，进而求解；
【解答】
解：如图，AB与A1F1，AB与E1F1，AB与EE1均为异面直线，
易知AB与A1F1所成的角为60°，AB与E1F1所成的角为60°，AB与EE1所成的角为90°．
故选D．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查一条直线与平面垂直的判定定理，属于中等题．
连接DM，可以证到BC⊥DM，BC⊥PM，从而证到BC⊥平面DMP，所以BC⊥DP，就可以知道所成角为90度．
【解答】
解：连接DM．
∵四面体是正四面体，M是BC的中点，
∴△DBC是等边三角形、△ABC是底边为BC的等腰三角形，
∴BC⊥DM，BC⊥PM，
∵DM?平面DMP，PM?平面DMP，DM∩PM=M，BC?平面DMP，
∴BC⊥DP，
∴直线DP与BC所成角为．
故选：A．
9.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查空间中直线与直线的位置关系，属于基础题型，
利用性质逐项判断即可．
【解答】解：①中a，c可以平行、相交或异面，故错误;
②中a，c可以平行、相交或异面，故错误;
③正确．
故选C．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了长方体外接球问题，考查了推理能力与空间想象能力，属于中档题．
利用所给余弦值及长宽求得高，进而得到体对角线长，即外接球的直径，得解．
【解答】
解：连接AC，AC与BD交于O，取CC1中点M，连接OM，BM，
所以OM//AC1，
所以∠MOC或其补角为异面直线BD与AC1所成角，
设CC1=2x，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=8，AD=6，
所以AC1=100+4x2，OM=100+4x22=25+x2，OB=5，BM=36+x2，
因为异面直线BD与AC1所成角的余弦值为15，
所以，
所以x=26，所以CC1=2x=46，
∴长方体的体对角线长为14，即即为外接球的直径，
故外接球的表面积为，
故选B．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了根据正四棱台的结构特征判断直线与直线的位置关系，考查学生的空间思维能力，属于基础题，根据正四棱台的结构特征以及直线和直线的位置关系逐个判断即可．
【解答】
解：根据正四棱台的机构特征可知A'D'//B'C'，B'C'与BB'不垂直，所以A'D'与BB'不垂直，
又A'D'与BB'是异面直线，
所以A'D'与BB'是一组不互相垂直的异面直线，
故选C．
12.【答案】(1)90°； (2)45°
【解析】
【分析】
本题考查了异面直线所成角，由AA1?//?DD1，所以∠A1AC为DD1与AC所成的角，可得结果.又DC?//?D1C1，所以∠ACD是AC与D1C1所成的角，可得结果．
【解答】
解：(1)DD1与AC是异面直线，
因为AA1?//?DD1，所以∠A1AC为DD1与AC所成的角．
因为AA1⊥AC，所以∠A1AC=90°，
所以DD1与AC所成的角是90°．
(2)因为DC?//?D1C1，所以∠ACD是AC与D1C1所成的角．
又∠ACD=45°，所以AC与D1C1所成的角是45°．
故答案为(1)90°；(2)45°
13.【答案】60°
【解析】
【分析】
本题考查的是异面直线所成角的求法，属于基础题．求出三角形三个边长，然后求解异面直线所成角即可．
【解答】
解：因为几何体是棱柱，BC//B1C1，
则∠A1CB就是异面直线A1C与B1C1所成的角，
在直三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，
AB=AC=AA1=1，BC=2，则BA1=AA12+AB2=2，
CA1=AA12+AC2=2，
所以△BCA1是正三角形，
∴异面直线所成的角为60°．
故答案为60°．
14.【答案】π3
【解析】解：如图，
连接AD1，由AB//C1D1，AB=C1D1，
可得四边形ABC1D1?为平行四边形，则BC1//AD1，
∴∠AD1C为异面直线BC1与CD1所成角(或其补角)．
连接AC，可得三角形ACD1?为正三角形，则∠AD1C为异面直线BC1与CD1所成角，
其大小为π3．
故答案为：π3．
连接AD1，证明BC1//AD1，可得∠AD1C为异面直线BC1与CD1所成角(或其补角)，在正三角形ACD1?中求解．
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
15.【答案】(1)解：如图，连接AC，AB1．
由几何体ABCD?A1B1C1D1是正方体，得AA1=?//CC1，
故四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC//A1C1，
所以∠B1CA或其补角为异面直线A1C1与B1C所成的角．
又AB1=AC=B1C，可知∠B1CA=60°，
故异面直线A1C1与B1C所成的角为60°．
(2)证明：连接BD，由(1)知AC//A1C1，
所以AC与EF所成的角就是异面直线A1C1与EF所成的角．
因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF//BD．
在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥EF，所以A1C1⊥EF．
【解析】本题考查异面直线所成角以及线线垂直的证明，属于中档题．
(1)由AC//A1C1可知，∠B1CA或其补角为异面直线A1C1与B1C所成的角，进而可得结果；
(2)由条件可知AC与EF所成的角就是异面直线A1C1与EF所成的角．根据EF//BD，AC⊥BD即可得到结果．
16.【答案】解：(1)由题意得V=π·OA2·AA1=4π·AA1=12π，解得AA1=3．
由OA=2，∠AOP=120°，得∠BAP=30°，
在Rt△APB中，BP=2，AP=23，
∴S△PAB=12×2×23=23，
∴VA1?APB=13S△PAB?AA1=13×23×3=23．
(2)当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25．
证明如下：∵O，M分别为AB，AP的中点，
∴OM?//?BP，∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角．
∵AA1=3，AB=4，AA1⊥AB，∴A1B=5．
又BP⊥A1P，，
∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25．
【解析】本题考查了棱锥的体积和异面直线所成角，是中档题．
(1)由圆柱OO1的体积V=12π，可得AA1，再得出△APB的面积，可得三棱锥A1?APB的体积．
(2)当点M为AP的中点时，易知∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角，计算可得．
17.【答案】解：(1)∵F是PA的中点，且AB=4，
∴圆柱的底面直径为2，
连接PO，则PO=PA2?AO2=16?4=23，
∴圆柱的侧棱长为3，
∴圆柱的侧面积为：2π?3=23π；
(2)可知，OC，OB，OP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：
O(0,0,0),A(0,?2,0),P(0,0,23),F(0,?1,3)，C(2,0，0)，
∴OF=(0,?1,3)，PC=(2,0,?23)，
∴cos=OF?PC|OF||PC|=?62×4=?34，
因为异面直线所成的角为
∴异面直线OF和PC所成的角的大小为34．
【解析】本题考查了中位线的性质，中点坐标公式，圆柱的侧面积公式，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标求异面直线所成角大小的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
(1)根据条件可以求出圆柱的底面直径为2，侧棱长为3，从而可求出圆柱的侧面积；
(2)根据条件可知，OC，OB，OP三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后可求出点O，F，P，C的坐标，从而可求出OF,PC的坐标，进而可求出cos的值，从而得出异面直线OF和PC所成的角的大小．