(共55张PPT)
第六章 计
数
原
理
6．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
基础预习初探
主题1 分类加法计数原理
一个小朋友的玩具盒子中有红色玻璃球20个，蓝色玻璃球1个，黄色玻璃球
8个，现在他要从中取出一个玻璃球，有几种方法？
1．这个小朋友要“完成的一件事”是什么？
提示：从盒子中取出一个玻璃球．
2．按照小球的颜色分为几类？
提示：小球有三种颜色，所以分为三类．
3．他完成这件事有几种方法？
提示：他可以取一个红色玻璃球，有20种方法，也可以取一个蓝色玻璃球，有1种方法，还可以取一个黄色玻璃球，有8种方法，所以共有20＋1＋8＝29种不同的取法．
结论：
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．对分类加法计数原理的说明
(1)核心：原理的核心为“分类”，完成一件事的方法有若干类．
(2)特点：相互独立；各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，并且用任何一种方法都可以独立完成这件事．
(3)应用：①根据问题的特点确定一个分类标准；
②在确定的标准下进行分类；
③分类不能重复，不能遗漏．
【对点练】
小明计划暑假从他居住的昆明到北京去旅游，他可以坐动车，也可以乘普通火车，还可以乘飞机，已知动车每日5班，普通火车每日10班，飞机每日2班，则小明在某一天从昆明到北京有______种出行方式．
【解析】出行方式分三类，动车有5种方式，普通火车有10种方式，飞机有2种方式，这三类的每一种方式都可以达到出行目的，所以由分类加法计数原理，共有5＋10＋2＝17种出行方式．
答案：17
主题2 分步乘法计数原理
一个小朋友的书橱中有童话故事书20本，少年哲学书1本，《十万个为什么》18本，要求三种类型的书各取一本，则这个小朋友有几种取法？
1．要完成的一件事是什么？
提示：要求三种类型的书各取一本．
2．分几个步骤？
提示：分3个步骤．
3．完成这件事共有几种方法？
提示：第一步取1本童话故事书，有20种方法，第二步取1本少年哲学书，有1种方法，第三步取1本《十万个为什么》，有18种方法，所以共有20×1×18＝360种方法．
结论：
1．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的
方法，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法．
m×n
2．对分步乘法计数原理的说明
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．
(2)将完成这件事划分为几个步骤，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成．
(3)计算公式的推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法．
【对点练】
1．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有( )
A．27种
B．36种
C．54种
D．81种
【解析】选C.根据题意，分析可得：除小张外，每位同学都可以报A，B，C三个课外活动小组中任意一个，都有3种选择，小张不能报A小组，只有2种选择，
所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54(种).
2．某地计划2021年下派4名干部到4个贫困村担任驻村干部去完成精准扶贫的任务，每个村派一名干部，则下派方法有( )
A．24种
B．16种
C．256种
D．8种
【解析】选A.要完成的一件事是“下派4名干部到4个贫困村”，分为4个步骤，第一步从4名干部中选一名下派到第一个贫困村，第二步从余下的3名干部中选一名下派到第二个贫困村，第三步从余下的2名干部中选一名下派到第三个贫困村，第四步下派余下的那名干部到第四个贫困村，所以由分步乘法计数原理得下派方法共有4×3×2×1＝24种．
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6.2 排列与组合
6．2.1 排 列
基础预习初探
主题 排列的概念
1．从1，2，3，4这4个数字中，每次取出2个排成一个两位数，共得到多少个不同的两位数？
提示：从4个数字中，每次取出2个，按“十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个两位数：
第1步，确定十位上数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；
第2步：确定个位上数字，从余下的3个数字中去取，有3种方法．所以共有：4×3＝12种方法．
所有的两位数：12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43.
2．甲乙丙丁四个人站成一队照相，有多少种站法？画树状图表示，并给出答案．
提示：1 2 3
4 相应的站队顺序
所以共有24种站法．
结论：
1．一般地，从n个_________中取出m(m≤n)个元素，并按照___________排成
一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．注意事项：(1)从n个不同元素中取出m个元素；
(2)把m个元素按照一定的顺序排成一列；
(3)两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素_________，且元素的
_________也相同．
不同元素
一定的顺序
完全相同
排列顺序
【对点练】
下列问题是否是排列问题？说明你的理由．
(1)高二·18班从10名男生中选出4名参加4×100米接力，有多少种安排方法？
(2)某质检中心从一个工厂送检的100件产品中随机抽出10件进行质量检验，有多少种抽取方法？
(3)某市政府抽调20名优秀干部下派到18个贫困村去做精准扶贫工作，每个村至少安排一名干部，有多少种安排方法？
【解析】(1)是排列问题，因为接力要排第一棒，第二棒，第三棒，第四棒，与顺序有关．
(2)不是排列问题，因为从100件产品中抽10件检验，与顺序没有关系．
(3)是排列问题，因为与顺序有关．
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6.2.2 排 列 数
基础预习初探
主题1 排列数与排列数公式
1．从n(n≥2)个不同元素中取出2个元素，排成一列，共有多少种排列方法？
提示：完成这件事共需要两步：
第一步有n种方法；
第二步有(n－1)种方法，
所以根据分步乘法计数原理共有n(n－1)种排列方法．
2．从n(n≥3)个不同元素中取出3个元素，排成一列，共有多少种排列方法？
提示：完成这件事共需要三步：
第一步有n种方法；
第二步有(n－1)种方法；
第三步有(n－2)种方法，
所以根据分步乘法计数原理共有n(n－1)(n－2)种排列方法．
3．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，排成一列，共有多少种排列方法？
提示：完成这件事共需要m步：
第一步有n种方法；
第二步有(n－1)种方法；
第三步有(n－2)种方法；
……
第m步有(n－m＋1)种方法，
所以根据分步乘法计数原理共有n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种排列方法．
结论：
1．排列数：我们把从n个_________中取出m(m≤n)个元素的_____________的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号
(m，n∈N
，
m≤n)表示．
2．排列数公式：________________________________________．
不同元素
所有不同排列
主题2 全排列与全排列数公式
4个人站成一队，有多少种站法？
提示：这是4个对象的全排列数，即4×3×2×1＝24，所以有24种站法．
结论：
1．全排列：我们把n个不同的元素_________的一个排列，叫做n个元素的一个
全排列．
2．全排列数：
＝n(n－1)(n－2)×…×3×2×1＝n！.
3．排列数公式的两种形式：
＝____________________________＝
.
4．规定：0！＝1.
全部取出
n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)
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6.2.3 组 合
6．2.4 组 合 数
第1课时 组合与组合数
基础预习初探
主题1 组合与组合数
从语文、数学、英语3本书中任选2本
(1)与选取的顺序有关吗？
提示：无关．
(2)一共有多少种选法？
提示：将2本书作为一组的选法只有如下3种情况：
语文数学，语文英语，数学英语．
结论：
1．组合：一般地，从n个_________中取出m(m≤n)个元素_________，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同
元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示．
不同元素
作为一组
【对点练】
1．给出下列几个问题，其中是组合问题的有( )
①某班选10名同学参加拔河比赛；②从1，2，3，4中选出两个数，构成平面向量a的坐标；③从1，2，3，4中选出两个数分别作为实轴长和虚轴长，构成焦点在x轴上的双曲线方程；④从正方体的8个顶点中任取2个点构成线段．
A．①②
B．①④
C．③④
D．②③
【解析】选B.①④中选出的元素与顺序无关，而②③中选出的元素与顺序有关，由组合的定义可知，①④为组合问题．
结论：
1．乘积形式：
2．阶乘形式：
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第2课时 组合与组合数应用课
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6.3 二项式定理
6．3.1 二项式定理
基础预习初探
结论：
1．二项式定理
(a＋b)n＝________________________________________．
2．几个基本概念
(1)二项展开式：指的是右边的多项式．
(2)项数：二项展开式中共有_____项．
(3)二项式系数：指的是在二项展开式中各项的系数_____(k∈{0，1，2，…，n}).
(4)通项：指的是二项展开式中的_________，用Tk＋1表示，即通项为展开式的
第k＋1项，Tk＋1＝________．
n＋1
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6.3.2 二项式系数的性质
基础预习初探
主题 二项式系数的性质
观察二项式(a＋b)n，当n＝1，2，…，8时的展开式的系数，你能发现什么规律？
1
a＋b…………………………1 1
(a＋b)2……………………1 2 1
(a＋b)3…………………1 3 3 1
(a＋b)4………………1 4 6 4 1
(a＋b)5……………1 5 10 10 5 1
(a＋b)6…………1 6 15 20 15 6 1
(a＋b)7………1 7 21 35 35 21 7 1
(a＋b)8……1 8 28 56 70 56 28 8 1
提示：(1)每一行的系数具有对称性；
(2)当n为偶数时，中间项二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项二项式系数相等且最大；
(3)除1以外，每一个数都等于它肩上两个数之和；
(4)距首末两项距离相等的两项值相等．
结论：二项式系数的性质
(1)(a＋b)n展开式的二项式系数是
________________．
可以看成以_为自变
量的函数f(r)，定义域是_______________．
r
{0，1，2，…，n}
(2)对称性．
与___________________的两个二项式系数相等(
).
____________是图象的对称轴．
(3)增减性与最大值：
当n是偶数时，______________取得最大值；
当n是奇数时，__________________取得最大值．
首末两端“等距离”
(4)各二项式系数的和：
＝2n.
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阶段复习课
第一课 计
数
原
理
网络体系构建
【答案速填】
①排列数公式
②组合数公式
③组合数的性质
④通项公式
⑤二项式系数的性质
易错案例警示
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排列的概念)
①
排列
排列应用题
两个计数原理
排列、组
组合的概念
②
合应用
组合
排列、组合
组合应用题
二项式定理
二项式定理
二项展开式
应用
本课结東
