1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3课件（27张PPT）
文档属性
| 名称 | 1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3课件（27张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 393.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-25 17:44:37 | ||
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文档简介
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1、二项式定理及展开式:
2、二项式系数:
3、通项:
复习回顾
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk +…+Cnnbn(n∈N*)
Tk+1 =Cnk an-kbk(k∈{0,1,2, ‥·n})
Cnk (k∈{0,1,2, ‥·n})
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:
通过计算填表，你发现了什么？
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
每一行的系数具有对称性,
除此以外还有什么规律呢?
二、新课探索
(a+b)n展开式中的二项式系数，如下表所示：
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
…… …… ……
杨辉三角
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：
二项式系数的性质
(a+b)n展开式的二项式系数依次是：
从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是：
例如：当n= 6时,
其图象是7个孤立点
f(r)
r
6
3
O
6
15
20
1
1、对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
得到．
图象的对称轴：
f(r)
r
6
3
O
6
15
20
1
二项式系数的性质
2、增减性与最大值
所以 相对于 的增减情况由 决定．
由：
可知，当 时，
二项式系数是逐渐增大
的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。
二项式系数的性质
f(r)
r
n
O
O
n
f(r)
n为奇数
n为偶数
当n是偶数时，中间的一项 取得最大值.
当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值
3、各二项式系数的和
在二项式定理中，令 ，则：
这就是说，(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n
同时由于 ，上式还可以写成：
这是组合总数公式．
赋值法
二项式系数的性质
一般地，(a+b)n展开式的二项式系数
有如下性质：
(1) (对称性)
(2)
(4)
(3)当n为偶数时， 最大
当n为奇数时， 且最大
例1、证明:在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
=2n-1
在展开式
证明:
得
即
所以
即在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
赋值法
2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大的项是( ).
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( ).
A
A.第6项 B.第7项
C.第6项和第7项 D.第5项和第7项
C
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
注：此种类型的题目应该先找准r的值，然后再确定第几项。
三、课堂练习
3、已知C155=a，C159=b,那么C1610= ;
a+b
1024
5、
4、
四、求奇数(次)项偶数(次)项系数的和
所以
例3、若 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，求它的中间项.
解：∵展开式中各项的二项式系数与该项的系数相等
∴由已知可得：2n-1=1024
解得n=11，∴有两个中间项分别为
当n为奇数时，(a+b)n的展开式的中间项是
和
当n为偶数时,(a+b)n的展开式的中间项是
1、已知(2x+1)10=a0x10+a1x9+a2x8+……+a9x+a10,
(1)求a0+a1+a2+……+a9+a10的值。
(2)求a0+a2+a4+……+a10的值。
五、变式练习
2、若已知
(1+2x)200 =a0+a1(x-1) +a2(x-1)2+…+a200(x-1)200
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
例4、(00上海)在二项式(x-1)11的展开式中，求系数最小的项的系数.
六、系数最大或最小问题
例5、在 的展开式中，
(1)系数的绝对值最大的项是第几项？
(2)求二项式系数最大的项；
(3)求系数最大的项；
(4)求系数最小的项。
1、求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论：
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2、求展开式中系数的最大项，需要根据各项系数的正负变化情况进行分析.如求(a+bx)n的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,…,An，且第r+1项最大，应用 解出r,即得出系数的最大项.
七、整除或余数问题
例6．求证：5151-1能被7整除。
余数是1，
所以是星期六
练习:今天是星期五，那么8100天后的这一天是星期几?
八、近似计算
例7、某公司的股票今天的指数为2,以后每天的指
数都比上一天的指数增加0.2%,则100天后这公司的股票股票指数为_____(精确到0.001)
解:依题意有2(1+0.2%) 100
所以100天后这家公司的股票指数约为2.440
点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项
九、课堂练习
1、若(1+x)8展开式中间三项依次成等差数列，则x=____________
3、设 二项式展开式的各项系数的和为P；二项式系数的和为S，且P+S=272，则展开式
的常数项为_________．
2、(x-y)7的展开式中,系数绝对值最大的项是( )
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
108
B
5、在(3x-2y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项
4、已知 展开式中只有第10项系数最大，求第五项。
1．在 的展开式中x的系数为
A．160 B．240 C．360 D．800
2.求
的展开式中x3项的系数.
1、二项式定理及展开式:
2、二项式系数:
3、通项:
复习回顾
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk +…+Cnnbn(n∈N*)
Tk+1 =Cnk an-kbk(k∈{0,1,2, ‥·n})
Cnk (k∈{0,1,2, ‥·n})
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:
通过计算填表，你发现了什么？
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
每一行的系数具有对称性,
除此以外还有什么规律呢?
二、新课探索
(a+b)n展开式中的二项式系数，如下表所示：
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
…… …… ……
杨辉三角
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：
二项式系数的性质
(a+b)n展开式的二项式系数依次是：
从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是：
例如：当n= 6时,
其图象是7个孤立点
f(r)
r
6
3
O
6
15
20
1
1、对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
得到．
图象的对称轴：
f(r)
r
6
3
O
6
15
20
1
二项式系数的性质
2、增减性与最大值
所以 相对于 的增减情况由 决定．
由：
可知，当 时，
二项式系数是逐渐增大
的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。
二项式系数的性质
f(r)
r
n
O
O
n
f(r)
n为奇数
n为偶数
当n是偶数时，中间的一项 取得最大值.
当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值
3、各二项式系数的和
在二项式定理中，令 ，则：
这就是说，(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n
同时由于 ，上式还可以写成：
这是组合总数公式．
赋值法
二项式系数的性质
一般地，(a+b)n展开式的二项式系数
有如下性质：
(1) (对称性)
(2)
(4)
(3)当n为偶数时， 最大
当n为奇数时， 且最大
例1、证明:在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
=2n-1
在展开式
证明:
得
即
所以
即在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
赋值法
2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大的项是( ).
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( ).
A
A.第6项 B.第7项
C.第6项和第7项 D.第5项和第7项
C
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
注：此种类型的题目应该先找准r的值，然后再确定第几项。
三、课堂练习
3、已知C155=a，C159=b,那么C1610= ;
a+b
1024
5、
4、
四、求奇数(次)项偶数(次)项系数的和
所以
例3、若 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，求它的中间项.
解：∵展开式中各项的二项式系数与该项的系数相等
∴由已知可得：2n-1=1024
解得n=11，∴有两个中间项分别为
当n为奇数时，(a+b)n的展开式的中间项是
和
当n为偶数时,(a+b)n的展开式的中间项是
1、已知(2x+1)10=a0x10+a1x9+a2x8+……+a9x+a10,
(1)求a0+a1+a2+……+a9+a10的值。
(2)求a0+a2+a4+……+a10的值。
五、变式练习
2、若已知
(1+2x)200 =a0+a1(x-1) +a2(x-1)2+…+a200(x-1)200
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
例4、(00上海)在二项式(x-1)11的展开式中，求系数最小的项的系数.
六、系数最大或最小问题
例5、在 的展开式中，
(1)系数的绝对值最大的项是第几项？
(2)求二项式系数最大的项；
(3)求系数最大的项；
(4)求系数最小的项。
1、求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论：
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2、求展开式中系数的最大项，需要根据各项系数的正负变化情况进行分析.如求(a+bx)n的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,…,An，且第r+1项最大，应用 解出r,即得出系数的最大项.
七、整除或余数问题
例6．求证：5151-1能被7整除。
余数是1，
所以是星期六
练习:今天是星期五，那么8100天后的这一天是星期几?
八、近似计算
例7、某公司的股票今天的指数为2,以后每天的指
数都比上一天的指数增加0.2%,则100天后这公司的股票股票指数为_____(精确到0.001)
解:依题意有2(1+0.2%) 100
所以100天后这家公司的股票指数约为2.440
点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项
九、课堂练习
1、若(1+x)8展开式中间三项依次成等差数列，则x=____________
3、设 二项式展开式的各项系数的和为P；二项式系数的和为S，且P+S=272，则展开式
的常数项为_________．
2、(x-y)7的展开式中,系数绝对值最大的项是( )
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
108
B
5、在(3x-2y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项
4、已知 展开式中只有第10项系数最大，求第五项。
1．在 的展开式中x的系数为
A．160 B．240 C．360 D．800
2.求
的展开式中x3项的系数.