10.1.2事件的关系与运算-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
10.1.2事件的关系与运算
一、知识回顾
1、随机试验有什么特点？
可重复不唯一，可预知，随机性
2、随机事件，基本事件如何理解？
随机事件是样本空间Ω的子集，
基本事件是只包含一个样本点的事件
二、探索新知
探究：在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，我们可以定义许多事件，例如:Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;
D1
=“点数不大于3”,
D2
=“点数大于3”
E1
=“点数为1或2”,
E2
=“点数为2或3”
F=“点数为偶数”，G=“点数为奇数”
……
你还能否写出这个试验中其他的一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系与运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
二、探索新知
B
A
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B
一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）,
记作
。
1、包含关系
二、探索新知
2、并事件（和事件）
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件
为事件A和事件B的并事件（或和事件），记作
。
B
A
如图：
二、探索新知
3、交事件（积事件）
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件
为事件A和事件B的交事件（或积事件），记作
。
B
A
如图：
二、探索新知
4、互斥事件
若
为不可能事件（
），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生。
A
B
如图：
二、探索新知
5、互为对立事件
若
为不可能事件，
为必然事件，那么称事件A
与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。
A
B
如图：
综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A?B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
AUB或A+B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B=Φ
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B=Φ,AUB=Ω
类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.
例如,对于三个事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等.
二、探索新知
练：袋内红、白、黑球分别为3个、2个、1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是
(　　)
A．至少有一个白球；红、黑球各1个
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；都是白球
A
1、互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件.因此，对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件
2、对立事件是对两个事件而言的，而互斥事件是对两个或两个以上事件而言的.
互斥事件与对立事件联系与区别
例1
如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.
三、典例讲解
甲
乙
分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组(x1,x2)表示样本点.这样,确定事件A,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考用乙元件的状态.
例1
如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.
三、典例讲解
甲
乙
解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
(2)A={(1,0),(1,1)},
B={(0,1),(1,1)},
A={(0,0),(0,1)},
B={(0,0),(1,0)}.
例1
如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.
三、典例讲解
甲
乙
（3）A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},
A∩B={(0,0)};
A∪B表示电路工作正常,
A∩B表示电路工作不正常；
A∪B和
A
∩
B
互为对立事件.
三、典例讲解
例2一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号
三、典例讲解
例2一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
解：用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号，样本空间为
Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}
R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}
R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}
R={(1,2),(2,1)}
G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}
上述各个事件可以如下表示：
N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}
M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}
三、典例讲解
例2一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？
(2)因为R?R1,所以事件R1包含事件R因为R∩G=Φ,
所以事件R与事件G互斥；
因为M∪N=Ω,M∩N=Φ,所以事件M与事件N互为对立事件.
三、典例讲解
例2一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
(3)因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为R1∩R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
练：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是互为对立：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
四、课堂练习
解：从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两事件都不发生，所以它们不是互为对立事件．
(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是互为对立事件．
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
练习：在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝“出现1点”，B＝“出现3点或4点”，C＝“出现的点数是奇数”，D＝“出现的点数是偶数”．(1)说明以上4个事件的关系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．
[解]
在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6个基本事件，记作Ai＝{i}(其中i＝1,2，…，6)，
则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
练习：在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝“出现1点”，B＝“出现3点或4点”，C＝“出现的点数是奇数”，D＝“出现的点数是偶数”．(1)说明以上4个事件的关系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．
(2)A∩B＝?，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{1,3,4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{1,2,4,6}，
B∩D＝A4＝{4}，
B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{1,3,4,5}
3.抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件P＝{向上的点数是1},事件Q＝{向上的点数是3或4},M＝{向上的点数是1或3},
则P∪Q＝
,
M∩Q＝_______________________.
4.在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是________．
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A?B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
AUB或A+B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B=Φ
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B=Φ,AUB=Ω
五、课堂小结
1、事件的关系与运算
2、互斥事件与对立事件联系与区别
1、互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件.因此，对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件
2、对立事件是对两个事件而言的，而互斥事件是对两个或两个以上事件而言的.