微专题3 函数性质的综合
类型1 函数的奇偶性与单调性的综合应用
利用函数的奇偶性、单调性比较大小
【例1】 已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f(－4)＜f(－2)，则下列不等式一定成立的是( )
A．f(－1)＜f(3)
B．f(2)＜f(3)
C．f(－3)＜f(5)
D．f(1)＜f(0)
D [由题意可得，函数f(x)在[－5,0]上也是单调函数，再根据f(－4)＜f(－2)，可得函数f(x)在[－5,0]上是单调增函数，结合函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在[0,5]上是单调减函数，故f(0)＞f(1)．]
利用函数的奇偶性、单调性解不等式
【例2】 奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)＜0，求实数m的取值范围．
[解] 原不等式化为
f(m－1)＜－f(3－2m)．
因为f(x)是奇函数，
所以f(m－1)＜f(2m－3)．
又f(x)是减函数，
所以m－1＞2m－3，所以m＜2.
又f(x)的定义域为(－1,1)，
所以－1＜m－1＜1且－1＜3－2m＜1，
所以0＜m＜2且1＜m＜2，所以1＜m＜2.
综上得1＜m＜2.
故实数m的取值范围是(1,2)．
利用函数的奇偶性、单调性求最值
【例3】 已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝若f(x)在上的最大值为m，最小值为n，求m＋n.
[解] 如图，画出f(x)在(0，＋∞)上的图像，由图知，
当x∈时，f(x)的最小值为f(1)＝－1，
又f＝2，f(4)＝5，
所以f(x)的最大值为f(4)＝5.
又f(x)为奇函数，
所以当x∈时，
f(x)的最大值为f(－1)＝－f(1)＝1，
f(x)的最小值为f(－4)＝－f(4)＝－5.
所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4.
函数单调性的实质是自变量的变化与函数变化的内在统一性，解答这类题目的思路是先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解，注意不要忘记考虑函数的定义域．
1．设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为( )
A．(－1,0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,0)∪(0,2)
C [利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，
所以不等式xf(x)＜0可化为或
故图可知x＞2或x＜－2，故选C．]
类型2 抽象函数的性质应用
【例4】 函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x＞0时，f(x)＞1．
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)＜3.
[解] (1)证明：设任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，f(x2－x1)＞1．
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1＞0.
∴f(x2)＞f(x1)．故f(x)在R上是增函数．
(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
∴原不等式可化为f(3m－2)＜f(2)．
∵f(x)在R上是增函数，∴3m－2＜2，解得m＜.
故不等式的解集为.
判断抽象函数单调性的方法
2．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对任意x，y∈(0，＋∞)，恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当0＜x＜1时，f(x)＞0，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
[解] 设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝f－f(x2)＝f＋f(x2)－f(x2)＝f.
∵x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
∴0＜＜1．∴f＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
类型3 函数性质的综合应用
【例5】 已知函数f(x)＝，f(x)为R上的奇函数且f(1)＝.
(1)求a，b；
(2)判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性并证明；
(3)当x∈[－4，－1]时，求f(x)的最大值和最小值．
[解] (1)∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，得b＝0，
又f(1)＝＝，∴a＝1，
∴f(x)＝.
(2)f(x)在[1，＋∞)上为减函数，证明如下：
设x2＞x1≥1，
∴f(x2)－f(x1)＝－
＝＝＝.
∵x2＞x1≥1，∴x1x2－1＞0，x1－x2＜0，
∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，
∴f(x)在[1，＋∞]上为减函数．
(3)∵f(x)为奇函数且f(x)在[1，＋∞)上是减函数，
∴f(x)在(－∞，－1]上为减函数，
又x∈[－4，－1]，
∴f(x)的最大值为f(－4)＝－，f(x)的最小值为f(－1)＝－.
函数的奇偶性是函数部分的热点内容，主要有以下几个考查方向：判断函数的奇偶性，根据奇偶性确定函数值、参数值，奇偶性与单调性相结合的解不等式问题，有时也与后面将要学习的知识相结合，体现了对逻辑推理等核心素养的考查.解决这类问题，紧紧抓住奇偶性的对称特点及单调性的定义.
3．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
[解] (1)设任意x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
∴m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图像(如图所示)知
∴1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
PAGE3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
学
习
任
务
核
心
素
养
1．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)
1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.
微信是即时聊天工具，通过微信，我们可以结交很多全国各地的新朋友，可以与远方的亲朋好友面对面交流，省钱、快捷、方便，可以传送文件，还可以通过聊天练习打字、学会上网等，通过微信，我们开心的时候可以找人分享，不开心的时候可以找人倾诉，所以说现在微信成了我们生活不可缺少的一部分．大部分同学都有微信号，这样微信号与同学之间就有对应关系，即微信号(可能不止一个)对应唯一一位同学．在数学领域也有类似的对应问题，即实数x(可能不止一个)对应实数y(唯一一个)，那么这种对应关系在数学中叫什么呢？
知识点一 函数的概念
定义
给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
自变量x的取值的范围
(即非空实数集A)
值域
所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}
(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
[提示] (1)这种看法不对．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，f是对应关系，y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，h(x)等来表示函数．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)．
(1)任何两个集合都可以建立函数关系．
( )
(2)集合A中的两个实数x可以对应集合B中的一个实数y.
( )
(3)函数的值域即为集合B．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
[提示] (1)× 集合A，B应为非空数集．
(2)√ 符合函数的定义．
(3)× 值域是集合B的子集．
2.函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[0,2)
B．(2，＋∞)
C．[0,2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
C [要使函数f(x)＝＋有意义，只需解得x≥0且x≠2，所以函数f(x)的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．]
3.(对接教材P88例3)若f(x)＝，则f(3)＝________.
－ [f(3)＝＝－.]
知识点二 同一个函数
一般地，如果两个函数表达式表示的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．
4.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)＝x2，x∈A与u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数．
( )
(2)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与g(x)＝2x，x∈[0,2]表示的是同一个函数．
( )
(3)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与h(x)＝x2，x∈(0,2)表示同一个函数．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)两个函数定义域相同，对应关系也相同．
(2)两个函数的对应关系不同．
(3)两个函数的定义域不同.
类型1 函数的判断
【例1】 (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
① ② ③ ④
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数．
①A＝R，B＝R，对应关系f：y＝；
②A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
③A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示．
(1)B [①中，因为在集合M中当1
(2)[解] ①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应法则f：y＝的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数．
③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集；
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．根据图形判断对应是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )
A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
B [A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．]
2．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图像是( )
A B C D
C [由函数的定义知选C．]
类型2 同一个函数的判断
【例2】 (对接教材P94练习B④)下列各组式子是否表示同一函数？为什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝；
(2)y＝，y＝()2；
(3)y＝·，y＝；
(4)y＝，y＝x－3.
[解] (1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一函数．
(2)y＝的定义域为R，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝()2不是同一函数．
(3)y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与y＝是同一函数．
(4)∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
∴y＝与y＝x－3不是同一函数．
判断同一函数的方法
判断函数是否是同一个函数，关键是树立定义域优先的原则．
(1)先看定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
3．下列四组函数，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝x
B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝x
D．f(x)＝x2，g(x)＝()4
C [选项A中，由于f(x)＝＝|x|，g(x)＝x，两函数对应关系不同，所以它们不是同一函数；选项B中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；选项C中，f(x)＝＝x，g(x)＝x的定义域和对应关系完全相同，所以它们是同一函数；选项D中，f(x)＝x2的定义域为R，g(x)＝()4＝x2的定义域为[0，＋∞)，两个函数的定义域不相同，所以它们不是同一函数．]
类型3 求函数的定义域
1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？
[提示] 不可以．如f(x)＝.倘若先化简，则f(x)＝，从而定义域与原函数不等价．
2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？
[提示] [1,2]是自变量x的取值范围．
函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．
【例3】 (对接教材P87例1)求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝2＋；
(2)f(x)＝(x－1)0＋；
(3)f(x)＝·；
(4)f(x)＝－.
[思路点拨] 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．
[解] (1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，
函数f(x)＝2＋有意义，
所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)当且仅当函数有意义，
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
(3)当且仅当函数有意义，
解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
[变结论]在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．
[解] 由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.
所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
类型4 求函数值(值域)
【例4】 (对接教材P88例3)(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________.
(2)求下列函数的值域：
①y＝x＋1；
②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
③y＝；
④y＝2x－.
(1) [∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，
∴g(2)＝22＋2＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝＝.]
(2)[解] ①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.
②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图像(如图(ⅰ))，可得函数的值域为[2,6)．
图(ⅰ)
③(分离常数法)y＝＝＝3－.
∵≠0，∴y≠3，
∴y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
④(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，由t≥0，再结合函数的图像(如图(ⅱ))，可得函数的值域为.
图(ⅱ)
1．求函数值的方法的2种类型
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域常用的4种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
4．已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________.
16 [因为f(x)＝－1，所以f(a)＝－1．
又因为f(a)＝3，所以－1＝3，a＝16.]
5．求下列函数的值域：
(1)y＝＋1；(2)y＝.
[解] (1)因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．
(2)因为y＝＝－1＋，
又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，
所以0<≤2，则y∈(－1,1]．
所以所求函数的值域为(－1,1]．
1．给出下列三个说法：①f(x)＝x0与g(x)＝1是同一个函数；②y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R可能是同一个函数；③y＝f(x)，x∈R与y＝f(t)，t∈R是同一个函数．其中正确的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
B [①错误．函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)＝1的定义域是R，不是同一个函数；②正确．y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一个函数．所以正确的有2个．]
2．下列图像中不能表示函数的图像的是( )
A
B
C D
D [在选项D中，x>0时，任意一个x对应着两个y的值，因此选项D不是函数的图像．]
3．函数f(x)＝的定义域是( )
A．[3，＋∞)
B．[3,4)∪(4，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．[3,4)
B [要使有意义，只需解得x∈[3,4)∪(4，＋∞)．故选B．]
4．对应关系f为“乘以2减1”是定义在集合A上的函数，若值域B＝{－3，－1,3}，则集合A＝________.
{－1,0,2} [根据函数的定义，
分别令2x－1＝－3，－1,3，
解得x＝－1,0,2，
从而得到集合A＝{－1,0,2}．]
5．已知函数f(x)＝－x2＋3x＋4的定义域为[－2,2]，则f(x)的值域为________．
[函数f(x)＝－x2＋3x＋4的对称轴为x＝，所以在区间[－2,2]上，函数的最大值为f＝－＋3×＋4＝，函数的最小值为f(－2)＝－(－2)2＋3×(－2)＋4＝－6，所以函数的值域为.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．对函数概念你是怎样理解的？
[提示] (1)y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，不能认为“y等于f与x的乘积”，应理解为：x是自变量，f是对应关系(可以是解析式、图像、表格或文字描述等)．
(2)函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关，也可以用g，F，G等表示；同样，自变量x也可以用t，m，h等表示．
(3)函数的定义域必须是非空数集，因此定义域为空集的函数不存在．如y＝＋就不是函数．
(4)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性．即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．
(5)f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，表示的是变量．
2．怎样判断两个函数是同一个函数？
[提示] 函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应关系是否完全一致，与用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的，定义域和对应关系完全一致的两个函数才算同一个函数．
3．怎样理解对应关系“f”的含义？
[提示] 对应关系f是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当f( )的括号内输入自变量x的一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值，如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量x的3倍加上5”，若x＝4，则f(4)＝3×4＋5＝17.需要注意的是：这里的“x”既可以是一个数，也可以是一个代数式，还可以是某个函数符号．如f(x)＝3x＋5，则f(2x－1)＝3(2x－1)＋5，f(φ(x))＝3φ(x)＋5等．
函数概念的形成与发展
17世纪是工业生产和科学技术飞速发展的时代．天文学、航海业及机械工业的发展，促进了数学的进一步研究与发展．当时人们把函数理解为变化的数量关系，把曲线理解为几何形象．法国哲学家、数学家笛卡儿(R.Descartes,1596－1650)引入了坐标系，创立了解析几何．他把几何问题转化为代数问题．对此，恩格斯给予了很高的评价，他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学．”
英国数学家、物理学家、自然哲学家牛顿(I.Newton,1643－1727)，以流数来定义描述连续量——流量(fluxion)的变化率，用以表示变量之间的关系．因此曲线是当时研究考察的主要模型，这是那个时代函数的概念．
函数(function)一词首先是由德国哲学家莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646－1716)引入的．他用函数一词来表示一个随着曲线上的点的变动而变动的量，并引入了常量、变量、参变量等概念．瑞士数学家欧拉(L.Euler,1707－1783)于1734年引入了函数符号f(x)，并称变量的函数是一个解析表达式，认为函数是一个公式确定的数量关系．他于1775年在《微分学》中写道：“如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面的变量也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数．”
直到1837年，德国数学家狄利克雷(P.G.L.Dirichlet,1805－1859)放弃了当时普遍接受的函数是用数学符号和运算组成的表达式的观点，提出了y＝f(x)是x与y之间的一种对应的现代数学观点．在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷关于函数的定义沿用至今，他抓住了函数概念的本质——“对应规律”，摆脱了隐于这一概念之中的有关时间、运动等其他非本质的因素．
1859年我国清代数学家、天文学家、翻译家和教育家李善兰(1811－1882)第一次将“function”译成函数，这一名词一直沿用至今．
综上所述可知，函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的．
你能以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗？
PAGE第2课时 函数的表示方法
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法．(重点)2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)3．理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图像．(重点，难点)4．能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系，并能解决有关问题．(重点、难点)
1．通过函数表示的图像法，培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法，培养数学运算素养．3．利用函数解决实际问题，培养数学建模素养.
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1
318千米，设计速度目标值为380千米/时．若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x是该函数的解析式．
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
问题 根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？
知识点一 函数的表示方法
1．任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？
[提示] 不一定．
并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图像法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
1 [由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1．]
2.若反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)的解析式为________．
答案：f(x)＝－
3.已知函数f(x)的图像如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0,3)，(3,0)，则f(f(0))＝________.
0 [结合题图可得f(0)＝3，
则f(f(0))＝f(3)＝0.]
知识点二 用集合语言对函数的图像进行描述
(1)定义：将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．
(2)F是函数y＝f(x)的图像，必经满足下列两条
①图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；
②满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数的图像F上．
4.小明和小华进行自行车比赛，刚开始小华领先，但关键时刻自行车链子掉了．小明赶超小华．小华修好车后，奋起直追，但为时已晚．小明还是先到了终点．如果用s1，s2分别表示小明和小华所行走的路程，t表示时间，则图中与该事件符合的是( )
A B
C
D
B [小明匀速至终点，小华开始骑得快，中途修车路程未变，后又快速骑至终点，此时小明已到终点，只有B符合．]
知识点三 分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
2.分段函数是一个函数还是几个函数？
[提示] 分段函数是一个函数，而不是几个函数．
分段函数的定义域、值域和图像
(1)定义域：各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集．
(2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的并集．
(3)图像：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图像．
5.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)．
(1)分段函数y＝的定义域为(－∞，1]．
( )
(2)函数y＝|x|不是分段函数．
( )
(3)常数函数的图像是垂直于x轴的直线．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)分段函数y＝的定义域为(－∞，1]∪(1，＋∞)＝R.
(2)函数y＝|x|＝是分段函数．
(3)常数函数的图像是垂直于y轴的直线．
6.(多选题)下列给出的式子是分段函数的是( )
A．f(x)＝B．f(x)＝
C．f(x)＝D．f(x)＝
AD [结合分段函数的定义可知AD是分段函数，BC中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选AD．]
类型1 函数的三种表示方法
【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3
000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
[解] ①列表法如下：
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
②图像法：如图所示．
③解析法：y＝3
000x，x∈{1,2,3，…，10}．
1．函数的3种表示法的选择
解析法、图像法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图像法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．
2．在用3种方法表示函数时要注意的问题
(1)解析法必须注明函数的定义域．
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系．
(3)图像法必须清楚函数图像是“点”还是“线”．
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
A B C D
D [由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.]
2．由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1
A．1 B．2 C．4 D．5
B [由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，故选B．]
类型2 函数解析式的求法
已知函数的类型，求函数的解析式
【例2】 (1)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋6，则f(x)的解析式为________；
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为________．
(1)f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6 (2)f(x)＝x2＋1 [(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6，于是有解得或所以f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6.
(2)设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得
解得故f(x)＝x2＋1．]
试总结用待定系数法求函数解析式的步骤
[提示] (1)设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数的解析式设为f(x)＝ax＋b(a≠0)，反比例函数的解析式设为f(x)＝(k≠0)，二次函数的解析式设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组．
(3)解方程或方程组，得到待定系数的值．
(4)将所求待定系数的值代回所设解析式．
已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式
【例3】 (1)已知函数f(x＋1)＝x2＋2x，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2＋1
B．f(x)＝x2＋2x－1
C．f(x)＝x2－1
D．f(x)＝x2＋2x＋1
(2)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________．
(1)C (2)f(x)＝x2－1(x≥1) [(1)法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，即f(x)＝x2－1．
法二(配凑法)：因为x2＋2x＝(x2＋2x＋1)－1＝(x＋1)2－1，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－1，即f(x)＝x2－1．
(2)法一(换元法)：令t＝＋1，
则x＝(t－1)2，t≥1，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1．
因为＋1≥1，所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．]
换元法、配凑法求函数解析式
已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)的两种方法
(1)换元法：即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f(x)的解析式．
利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f(x)的定义域．
(2)配凑法：即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．
已知中含有f(x)，f或f(x)，f(－x)形式的函数，求f(x)的解析式
【例4】 (1)已知函数f(x)满足f(x)＋2f＝x，则函数f(x)的解析式为________．
(2)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，则函数f(x)的解析式为________．
(1)f(x)＝－＋ (2)f(x)＝x，a≠±1
[(1)在已知等式中，将x换成，得f＋2f(x)＝，与已知方程联立，得消去f，得f(x)＝－＋.
(2)在原式中以－x替换x，得af(－x)＋f(x)＝－bx，
于是得
消去f(－x)，得f(x)＝.
故f(x)的解析式为f(x)＝x，a≠±1．]
消元法(或解方程组法)求函数解析式
在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法称为消元法(或解方程组法)．即已知f(x)与f(φ(x))满足的关系式，要求f(x)时，可用φ(x)代替两边的所有的x，得到关于f(x)及f(φ(x))的方程组，解之即可求出f(x)．
3．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x＋2
D．f(x)＝3x＋4
A [令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1．∴f(x)＝3x－1．]
4．已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________.
x－1 [由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得
消去f(－x)可得f(x)＝x－1．]
类型3 分段函数
【例5】 已知函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(a)＝，求a的值．
[解] (1)因为f＝－2＝－，
所以f＝f＝eq
\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))))＝.
(2)f(a)＝，若|a|≤1，则|a－1|－2＝，
得a＝或a＝－.
因为|a|≤1，所以a的值不存在；
若|a|>1，则＝，得a＝±，符合|a|>1．
所以若f(a)＝，a的值为±.
分段函数问题的常见解法
(1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验．
(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可．
5．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋2)，则f＝( )
A．2
B．4
C．6
D．8
B [若0＜a＜2，则a＋2＞2，
由f(a)＝f(a＋2)，得＝2(a＋2)－4，
解得a＝或a＝0(舍去)，
∴f＝f(4)＝2×4－4＝4.
若a≥2，由f(a)＝f(a＋2)，得2a－4＝2(a＋2)－4，无解．
综上，f＝4，故选B．]
类型4 函数的图像及应用
【例6】 (1)作出函数y＝，x∈[2，＋∞)的图像并求出其值域．
(2)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
①5公里以内(含5公里)，票价2元；
②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．
[思路点拨] (1)列表→描点→连线；
(2)分段函数的图像需要在同一坐标系中分段画出．
[解] (1)列表
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝的一部分，观察图像可知其值域为(0,1]．
(2)设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式如下：
y＝
函数图像如图所示：
描点法作函数图像的3个关注点
(1)画函数图像时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．
(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
提醒：(1)函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
(2)分段函数的图像是在同一个直角坐标系内分别作出各段的图像，在作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
6．已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示f(x)；
(2)画出f(x)的图像；
(3)若f(a)＝2，求实数a的值．
[解] (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2f(x)＝1＋＝1－x，
∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图像如图所示．
(3)∵f(a)＝2，由函数图像可知a∈(－2,0)，
∴1－a＝2，即a＝－1．
1．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f(x)的图像的只可能是( )
A B
C D
D [选项A，B的值域为B＝{y|0≤y≤2}，不满足题意；选项C中，当x＝0时，对应两个不同的函数值，不是函数．故选D．]
2．设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A．
B．3
C．
D．
D [∵f(3)＝≤1，∴f(f(3))＝＋1＝.]
3．已知函数f(x－1)＝2x＋1，则f(x＋1)＝________.
2x＋5 [由已知得f(x＋1)＝f(x＋2－1)＝2(x＋2)＋1＝2x＋5.]
4．函数y＝f(x)的图像如图所示，则其解析式为________．
f(x)＝ [当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又函数过点(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；
当1综上，f(x)＝]
5．函数f(x)＝若f(x)＝3，则x＝________.
[若x≤－1，由x＋2＝3，得x＝1＞－1(舍去)；若－1＜x＜2，由x2＝3，得x＝±，由于－＜－1(舍去)，故x＝.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数的三种表示方法是什么？
[提示] 解析法、列表法、图像法．
2．你是怎样理解分段函数的？
[提示] (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系．
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．
(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．
(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．
3．求函数的解析式常用的有哪些方法？
[提示] 待定系数法、换元法、配凑法、消元法等．
PAGE3.1.2 函数的单调性
第1课时 单调性的定义与证明
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性．(重点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．(重点、难点)3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点)
1．借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．3．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养.
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：
时间间隔t
刚记忆完毕
20分钟后
60分钟后
8～9小时后
1天后
2天后
6天后
一个月后
记忆量y
(百分比)
100
58.2
44.2
35.8
33.7
27.8
25.4
21.1
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图．
问题 (1)当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？
通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
知识点一 函数单调性的概念
1．增函数与减函数的定义
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I?D：如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时
都有f(x1)＜f(x2)
都有f(x1)＞f(x2)
结论
y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)
y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)
图示
1．增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
[提示] 定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1＜x2；
(3)属于同一个单调区间．
(1)自变量的大小与函数值的大小关系：
①单调递增：x1＜x2?f(x1)＜f(x2)，x1＞x2?f(x1)＞f(x2)．
②单调递减：x1＜x2?f(x1)＞f(x2)，x1＞x2?f(x1)＜f(x2)．
即可以利用单调递增、单调递减的定义，实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化．
(2)若f(x)在区间I上为增(减)函数，则函数f(x)的图像在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降)．
1．(1)如果(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．不能确定
(2)下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x|＋2
B．y＝3－x
C．y＝
D．y＝－x2＋4
(1)D (2)A [(1)根据函数单调性的定义可知，所取的两个自变量的值必须在同一单调区间内才能由函数的单调性比较其函数值的大小，故选D．
(2)因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A．]
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)．
2.函数y＝在定义域上是减函数吗？
[提示] 不是．y＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．
2.已知四个函数的图像如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )
A B
C D
B [由单调性定义知只有B选项是单调函数．]
知识点二 函数的最值
最大值
最小值
条件
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D；如果对任意x∈D
都有f(x)≤f(x0)
都有f(x)≥f(x0)
结论
则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点
则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点
统称
最大值和最小值统称为最值
最大值点和最小值点统称为最值点
3.函数y＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－1,0
B．0,2
C．－1,2
D．，2
C [由题图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1．故选C．]
类型1 定义法证明(判断)函数的单调性
【例1】 证明：函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
[思路点拨]
―→
[证明] 设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝，
∵0∴x1－x2＞0,0∴＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
利用定义证明函数单调性有哪4个步骤？
[提示]
1．证明：函数y＝在(－1，＋∞)上是增函数．
[证明] 设x1>x2>－1，则
y1－y2＝－＝.
∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴>0，即y1－y2>0，y1>y2，
∴y＝在(－1，＋∞)上是增函数．
类型2 求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
[解] (1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
求函数单调区间的方法
(1)利用已知函数的单调性求函数的单调区间．
(2)利用函数图像求函数的单调区间．
提醒：(1)若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．
(2)理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系．
2．根据如图所示，写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数．
[解] 函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．
3．写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
[解] 先画出
f(x)＝的图像，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．
类型3 函数单调性的应用
1．若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？
[提示] 若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a2．决定二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c单调性的因素有哪些？
[提示] 开口方向和对称轴的位置，即字母a的符号及－的大小．
【例3】 (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
[思路点拨] (1)
(2)
(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的图像开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.
∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1．
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．]
1．[变条件]若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．
[解] 由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.
所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
2．[变条件]若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围．
[解] 由题意可知，
解得x>.
∴x的取值范围为.
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
类型4 求函数的最值(值域)
【例4】 已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
[解] (1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0?f(x1)所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，
最大值为f(4)＝＝.
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
4．已知函数f(x)＝
求：(1)f(x)的最大值、最小值；
(2)f(x)的最值点．
[解] (1)作出函数f(x)的图像(如图)．
由图像可知，当x＝1时，f(x)取最大值为f(1)＝1．当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
(2)f(x)的最大值点为x0＝1，最小值点为x0＝0.
1．函数y＝在区间上的最大值是( )
A．
B．－1
C．4
D．－4
C [y＝在上是减函数，∴当x＝时，ymax＝4.故选C．]
2．(多选题)下列函数中，在(0,2)上是增函数的是( )
A．y＝－
B．y＝2x－1
C．y＝1－2x
D．y＝(2x－1)2
AB [对于A，y＝－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；对于B，y＝2x－1在R上单调递增；对于C，y＝1－2x在R上单调递减；对于D，y＝(2x－1)2在上单调递减，在上单调递增．故选AB．]
3．若x1，x2是(－1,2)内的任意两个值，且x1≠x2，则以下式子可以说明函数f(x)在(－1,2)内单调递减的是( )
A．(f(x1)－f(x2))(x1－x2)>0
B．<0
C．f(x1)－f(x2)<0
D．f(x1)>f(x2)
B [因为函数f(x)在(－1,2)内单调递减，
所以若x10，
所以x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，
所以<0.]
4．函数f(x)＝x2－3|x|＋2的单调递减区间是________．
， [去绝对值，得函数f(x)＝作出其图像(图略)，可得函数的单调递减区间为，.]
5．已知y＝x2－2(a－1)x＋5在区间(1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
(－∞，2] [已知y＝x2－2(a－1)x＋5在区间(1，＋∞)上是增函数，
则函数对称轴x＝a－1≤1，解得a≤2.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．对函数的单调性的定义，你是怎样理解的？
[提示] 单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此对x1，x2有下列要求：(1)属于同一个区间I；(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间I上的任意两个值，不能用特殊值代替；(3)区分大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x12．是否所有函数都具有单调性？
[提示] 有的函数不具有单调性．如函数y＝它的定义域是(－∞，＋∞)，但无单调性可言；又如函数y＝x2＋1，x∈{0,1,2}，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上具有单调性．
3．函数出现两个或两个以上的单调区间时，如何书写？
[提示] 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或逗号连接．如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，不能表述为函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．
4．函数的最值和值域有什么联系与区别？
[提示] (1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
(2)区别：
①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；
②若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素，例如，函数f(x)＝x2对任意的x∈R，都有f(x)≥－1，但是f(x)的最小值不是－1，因为－1不在f(x)的值域内；
(3)若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
PAGE第2课时 函数的平均变化率
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解斜率的含义及平均变化率的概念．(重点)2．掌握判断函数单调性的充要条件．(重点、难点)
通过利用函数f(x)的平均变化证明f(x)在I上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养.
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图思考下列问题：
问题 (1)在区间[6,17]对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝一定大于零吗？
(2)如果在区间[2,10]对应的曲线上任取不同两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，＝一定大于零吗？
知识点一 直线的斜率
(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；(若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为)，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．
(2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于
x轴的倾斜程度．
1．(1)过函数图像上两点A(－1,3)，B(2,3)的斜率＝________.
(2)过点M(－1，m)，N(m＋1,4)的直线的斜率为1，则m的值为________．
(1)0 (2)1 [(1)＝＝0.
(2)由直线的斜率公式得＝1，即＝1，解得m＝1．]
知识点二 平均变化率与函数单调性
1．平均变化率与函数单调性
若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：
(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是＞0在I上恒成立；
(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是＜0在I上恒成立．
当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．
(1)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
(2)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2,2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2,2]上的图像先下降后上升，值域是[0,4]．
(3)平均变化率的几何意义是函数y＝f(x)图像上的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率．
(4)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”．只有当Δx＝x2－x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”．
2．平均变化率的物理意义
(1)把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均速度，即＝.
(2)把速度v看成时间t的函数v＝v(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均加速度，即＝.
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a.
( )
(2)函数y＝f(x)的平均变化率＝的几何意义是过函数y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))所在直线的斜率．
( )
(3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] (1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为＝＝＝a.
(2)由平均变化率的几何意义可知＝表示过函数y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))所在直线的斜率．
(3)过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有x1≠x2.
3.如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
B [＝＝＝－1．]
4.(对接教材P99例4)一次函数y＝－2x＋3在R上是________函数．(填“增”或“减”)
减 [任取x1，x2∈R且x1≠x2.∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2
＋3，∴＝＝－2＜0，故y＝－2x＋3在R上是减函数．]
类型1 平均变化率的计算
【例1】 一正方形铁板在0
℃时边长为10
cm，加热后会膨胀，当温度为t
℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．
[思路点拨] 由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．
[解] 设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为：
ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，所以平均膨胀率＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.
求平均变化率的3个步骤
(1)求出或者设出自变量的改变量．
(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量．
(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．
1．路灯距地面8
m，一个身高为1.6
m的人以84
m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
(2)求人离开路灯10
s内身影长度y关于时间t的平均变化率．
[解] (1)如图所示，设此人从C点运动到B点的距离为x
m，AB为身影长度，AB的长度为y
m，由于CD∥BE，则＝，即＝，所以y＝0.25x.
(2)84
m/min＝1.4
m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0.25×1.4t＝0.35t，所以10
s内平均变化率＝＝0.35(m/s)，
即此人离开灯10
s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0.35
m/s.
类型2 利用平均变化率判断或证明函数的单调性
【例2】 若函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)＞0，求证：g＝在I上为减函数．
[思路点拨] 由y＝f(x)在I上为增函数的充要条件可得＞0，再证＜0即可．
[证明] 任取x1，x2∈I且x2＞x1，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)，∵函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数，∴Δy＞0，＞0，
∴Δg＝g(x2)－g(x1)＝－＝.
又∵f(x)＞0，∴f(x1)f(x2)＞0且f(x1)－f(x2)＜0，
∴Δg＜0，∴＜0，故g＝在I上为减函数．
利用函数的平均变化率判断或证明单调性分哪4个步骤？
[提示] (1)取值：任取x1，x2∈D，且x1≠x2.
(2)计算：求f(x2)－f(x1)，.
(3)判符号：根据x1，x2的范围判断的符号，确定函数的单调性．
(4)下结论：若>0，则f(x)在I
上是增函数；若<0，则f(x)在I上是减函数．
2．已知函数f(x)＝1－，x∈[3,5]，判断函数f(x)的单调性，并证明．
[解] 由于y＝x＋2在[3,5]上是增函数，且恒大于零，因此，由性质知f(x)＝1－在[3,5]上为增函数．
证明过程如下：
任取x1，x2∈[3,5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，
则Δy＝f(x2)－f(x1)＝1－－＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，
∴Δy＞0，∴＞0，故函数f(x)在[3,5]上是增函数．
类型3 二次函数的单调性最值问题
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系？试画草图给予说明．
[提示]
2．求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？
[提示] 若求二次函数f(x)在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝－与区间[m，n]的关系．
【例3】 已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．
[思路点拨]
[解] 因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图像开口向上，其对称轴为x＝，
当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1．
1．在题设条件不变的情况下，求f(x)在[0,1]上的最小值．
[解] (1)当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(0)＝1．
(2)当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，
∴f(x)的最小值为f(1)＝2－a.
(3)当0<<1，即02．在本例条件不变的情况下，若a＝1，求f(x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
[解] 当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图像的对称轴为x＝，
①当t≥时，f(x)在其上是增函数，∴f(x)的最小值为f(t)＝t2－t＋1；
②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在其上是减函数，
∴f(x)的最小值为f(t＋1)＝＋＝t2＋t＋1；
③当t<二次函数在闭区间上的最值
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：
对称轴与区间的关系
－＜m＜n，即－∈(－∞，m)
m＜－＜n，即－∈(m，n)
m＜n＜－，即－∈(n，＋∞)
图像
最值
f(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)
f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝f
f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)
1．函数f(x)在区间[－2，－1]上满足＞0，且图像关于y轴对称，则函数f(x)在区间[1,2]上( )
A．单调递增，且有最小值f(1)
B．单调递增，且有最大值f(1)
C．单调递减，且有最小值f(2)
D．单调递减，且有最大值f(2)
C [∵函数f(x)在区间[－2，－1]上满足＞0，∴函数f(x)在区间[－2，－1]上是增函数．
∵其图像关于y轴对称，∴函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，∴f(x)min＝f(2)，f(x)max＝f(1)．故选C．]
2．函数f(x)＝从1到4的平均变化率为( )
A．
B．
C．1
D．3
A [Δy＝－＝1，Δx＝4－1＝3，则平均变化率为＝.故选A．]
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )
A．4
B．4Δx
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
C [∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2－4)＝2(Δx)2＋4Δx，∴＝2Δx＋4，故选C．]
4．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是( )
B [由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意．]
5．汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别是1，2，3，则三者的大小关系为________．
1<2<3 [∵1＝＝kOA，2＝＝kAB，3＝＝kBC，由题图得kOA∴1<2<3.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．平均变化率中对Δx，Δy，你是怎样理解的？
[提示] (1)函数f(x)应在x1，x2处有定义；
(2)x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；
(3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；
(4)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．
2．判断函数y＝f(x)在I上单调性的充要条件是什么？
[提示] (1)y＝f(x)在I上单调递增的充要条件是＞0恒成立；
(2)y＝f(x)在I上单调递减的充要条件是＜0恒成立．
PAGE3.1.3 函数的奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解奇函数、偶函数的定义．(重点)2．了解奇函数、偶函数图像的特征．(一般)3．掌握判断函数奇偶性的方法．(重点、难点)
1．借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养．2．借助函数奇、偶的判断方法，培养逻辑推理素养.
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
① ②
问题 (1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？
(2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？
知识点一 奇函数、偶函数的定义
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D
结论
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
图像特点
关于y轴对称
关于原点对称
1．具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
[提示] 定义域关于原点对称．
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)．
(1)奇函数的图像一定过原点．
( )
(2)如果定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，函数f(x)是偶函数．
( )
(3)若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)＋f(－x)＝0，则函数f(x)是奇函数．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)不一定，如函数f(x)＝.
(2)不符合定义，必须对于定义域内的任意一个x都成立．
(3)若f(x)＋f(－x)＝0，则f(－x)＝－f(x)．
2.下列函数中，即是奇函数又是减函数的为( )
A．y＝x－1
B．y＝3x2
C．y＝
D．y＝－x|x|
D [选项中是奇函数的只有C、D，而它们中y＝在定义域上不是减函数，只有D符合题意．]
知识点二 奇函数、偶函数的图像特征
(1)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．
(2)如果一个函数的图像关于原点对称，那么它是奇函数；如果一个函数的图像关于y轴对称，那么它是偶函数．
2.若f(x)为奇函数，且点(x，f(x))在其图像上，则哪一个点一定在其图像上？若f(x)为偶函数呢？
[提示] 若f(x)为奇函数，则(－x，－f(x))在其图像上；若f(x)为偶函数，则(－x，f(x))在其图像上．
3.下列图像表示的函数具有奇偶性的是( )
A B C D
B [B选项的图像关于y轴对称，是偶函数，其余选项中的图像都不具有奇偶性．]
4.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．无法确定
C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1．]
类型1 函数奇偶性的判断
【例1】 (1)已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
(2)函数f(x)＝－2x的图像关于( )
A．y轴对称
B．坐标原点对称
C．直线y＝－x对称
D．直线y＝x对称
(3)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
②f(x)＝；
③f(x)＝
(1)B (2)B [(1)F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又因为x∈(－a，a)关于原点对称，
所以F(x)是偶函数．
(2)函数的定义域A＝{x|x≠0}，
所以x∈A时，－x∈A，且f(－x)＝－＋2x＝－＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，故图像关于坐标原点对称．]
(3)[解] ①因为x∈R，f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
②函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
③法一：作出函数图像如图：
关于原点对称，所以函数是奇函数．
法二：当x>0时，f(x)＝1－x2，
此时－x<0，
所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，
所以f(－x)＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
所以f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为R上的奇函数．
判断函数奇偶性的2种方法
(1)定义法：
(2)图像法：
1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)
①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝；
④f(x)＝x＋；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]．
②③ [对于①，x∈R，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；
对于②，x∈R，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，则为偶函数；
对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数；
对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－＝－f(x)，则为奇函数；
对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．]
类型2 奇偶函数的图像问题
【例2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图像如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图像；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图像关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图像，可知它在[－5,0]上的图像，如图所示．
(2)由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
[变条件]将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
[解] (1)如图所示：
(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．
巧用奇、偶函数的图像求解问题
(1)依据：奇函数?图像关于原点对称，偶函数?图像关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图像的对称性，可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图像的问题．
2．如图是函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图像，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像，并说明你的作图依据．
[解] 因为f(x)＝，所以f(x)的定义域为R.又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x)的图像关于y轴对称，其图像如图所示．
类型3 利用函数的奇偶性求值
1．对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？
[提示] 由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？
[提示] 若f(x)为奇函数，则f(0)＝0；若f(x)为偶函数，则无法求出f(0)的值．
【例3】 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
[思路点拨] (1)
(2)―→―→―→
(1) 0 (2)7 [(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图像的特点，易得b＝0.
(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
所以f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
所以g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．
3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
4 [法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4.
法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4.
法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f(x)＝ax2＋c的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a＝4.]
1．函数f(x)＝的图像关于( )
A．x轴对称
B．原点对称
C．y轴对称
D．直线y＝x对称
B [由得f(x)的定义域为[－，0)∪(0，]，关于原点对称．
又f(－x)＝＝＝－＝
－f(x)，∴f(x)是奇函数，
∴f(x)＝的图像关于原点对称．]
2．函数f(x)＝|x|＋1是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
B [∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．]
3．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______.
0 [∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立，所以a＝0.]
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x2－x，则f(2)＝________.
2 [因为f(x)是定义在R上的奇函数，并且x≤0时，f(x)＝－x2－x，所以f(2)＝－f(－2)＝－[－(－2)2－(－2)]＝2.]
5．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)＋f(－1)＝________.
－2 [由题图知f(1)＝，f(2)＝，
又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你对函数奇偶性定义是怎样理解的？
[提示] (1)函数的奇偶性是相对于定义域D内的任意一个x而言的，而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的，从这个意义上讲，函数的单调性属于“局部性质”，而函数的奇偶性则属于“整体性质”．
(2)奇函数和偶函数的定义域在数轴上关于原点对称．
2．根据奇、偶函数的定义，你认为它们的图像有什么特点？
[提示] 偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称．
3．判断或证明函数奇偶性有哪些常用方法？
[提示] (1)定义法；(2)图像法．
PAGE第2课时 奇偶性的应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1．会根据函数奇偶性求函数值或解析式．(重点)2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．(难点、易错点)
1．利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性与单调性的应用，培养逻辑推理、数学运算素养.
(1)图①和图②分别是偶函数和奇函数的一部分图像，你能结合奇偶函数图像的特征画出相应图像的另一部分吗？
① ②
(2)就图①而言，函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上的单调性是否相同？就图②而言，函数在区间与上的单调性是否相同？
知识点一 函数的单调性与奇偶性
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同．
(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反．
1．定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则( )
A．f(3)＜f(－4)＜f(－π)
B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)
C．f(3)＜f(－π)＜f(－4)
D．f(4)＜f(－π)＜f(3)
C [∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π＜4，
∴f(3)＜f(π)＜f(4)，
即f(3)＜f(－π)＜f(－4)．]
2.定义在[－3,3]上的偶函数f(x)在区间[0,3]上的图像如图中曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则函数f(x)的单调递减区间是________．
[－1,0]和[1,3] [利用偶函数的图像关于y轴对称，作出其在[－3,0]上的图像后写出单调递减区间．
由于函数f(x)是[－3,3]上的偶函数，所以其图像如图所示．所以它的单调递减区间为[－1,0]和[1,3]．]
知识点二 奇、偶函数的运算性质及对称问题
1．奇偶函数的运算性质
在公共定义域内：
(1)两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
(2)两个偶函数的和、积都是偶函数；
(3)一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数．
2．函数的对称轴与对称中心
(1)若函数f(x)的定义域为D，对?x∈D都有f(a＋x)＝f(a－x)(a为常数)，则x＝a是f(x)的对称轴．
(2)若函数f(x)的定义域为D，对?x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心．
3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)奇函数f(x)＝，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同．
( )
(2)对于偶函数f(x)，恒有f(x)＝f(|x|)．
( )
(3)若存在x0使f(1－x0)＝f(1＋x0)，则f(x)关于直线x＝1对称．
( )
(4)若奇函数f(x)在(0，＋∞)上有最小值a，则f(x)在(－∞，0)上有最大值－a.
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
4.若函数f(x)的定义域为R，则f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [当f(x)＝x2时，f(0)＝0，但f(x)＝x2为偶函数；若f(x)为奇函数，则f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的必要不充分条件．故选B．]
类型1 利用函数奇偶性求解析式
【例1】 (1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
[思路点拨] (1)
(2)
[解] (1)设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1．
又x＝0时，f(0)＝0，
所以f(x)＝
(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
由f(x)＋g(x)＝，
①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，
②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
利用函数奇偶性求函数解析式的步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
1．f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x(1＋x3)＋b，则当x＜0时，f(x)＝( )
A．x(1＋x3)
B．－x(1－x3)
C．x(1－x3)
D．－x(1＋x3)
C [根据题意，因为f(0)＝b＝0，
所以当x≥0时，f(x)＝x(1＋x3)，
若x＜0，则－x＞0，
则f(－x)＝(－x)[1＋(－x)3]＝－x(1－x3)，又由函数f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝x(1－x3)．]
类型2 函数单调性和奇偶性的综合问题
1．如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
[提示] 如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．
2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？
[提示] 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．
3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？
[提示] f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.
比较大小问题
【例2】 函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)B．fC．fD．f[思路点拨] ―→
B [∵函数f(x＋2)是偶函数，∴函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，∴f＝f，f＝f，又f(x)在[0,2]上单调递增，
∴f比较大小的求解策略
看自变量是否在同一单调区间上：
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
2．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
A [由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图像的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，
∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A．]
解不等式问题
【例3】 已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)[解] 因为f(x)在区间[－2,2]上为奇函数，且在区间[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上为减函数．
又f(1－m)即解得－1≤m<.
故实数m的取值范围是.
解有关奇函数f?x?的不等式f?a?＋f?b?<0，先将f?a?＋f?b?<0变形为f?a?<－f?b?＝f?－b?，再利用f?x?的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.,由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f?x?＝f?|x|?＝f?－|x|?将f?g?x??中的g?x?全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解.
3．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)A．a>1
B．a<－2
C．a>1或a<－2
D．－1C [因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)1或a<－2.故选C．]
类型3 函数图像的对称性
【例4】 对于定义在R上的函数f(x)，有下述结论：
①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图像关于点A(1,0)对称；
②若f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x)的图像关于直线x＝1对称；
③若函数f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；
④函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图像关于直线x＝1对称；
⑤若f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图像关于坐标原点对称．
其中正确结论的序号为________．
①③ [∵f(x)为奇函数，∴f(x)的图像关于原点对称，而f(x－1)的图像是将f(x)的图像向右平移1个单位长度得到的，∴f(x－1)的图像关于点A(1,0)对称，故①正确．
令t＝x－1，则由f(x＋1)＝f(x－1)可知，f(t)＝f(t＋2)，即f(x)＝f(x＋2)，其图像不一定关于直线x＝1对称．例如，函数f(x)＝－(其中[x]表示不超过x的最大整数)，其图像如图所示，满足f(x＋1)＝f(x－1)，但其图像不关于直线x＝1对称，故②不正确．
若g(x)＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则有g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f(x)＝f(－x)，∴③正确．
易知函数y＝f(x＋1)的图像与函数y＝f(1－x)的图像关于y轴对称，∴④不正确．
⑤∵f(x)＝－f(x＋2)，∴－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴f(x)＝f(x＋4)．又f(4－x)＝f(x)，∴f(4＋x)＝f(－x)，
∴f(x)＝f(4＋x)＝f(－x)，从而f(x)为偶函数，可知f(x)的图像关于y轴对称，故⑤不正确．]
1．函数f(x)的图像关于直线对称
若函数f(x)对定义域内任一x，都有
(1)f(a－x)＝f(a＋x)?y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称；
(2)f(x)＝f(a－x)?y＝f(x)的图像关于直线x＝对称；
(3)f(a＋x)＝f(b－x)?y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．
2．函数f(x)的图像关于点对称
若函数f(x)对定义域内任一x，都有
(1)f(a－x)＝－f(a＋x)?y＝f(x)的图像关于点(a,0)对称；
(2)f(x)＝－f(a－x)?y＝f(x)的图像关于点对称；
(3)f(a＋x)＝－f(b－x)?y＝f(x)的图像关于点对称．
4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)为奇函数，函数f(x＋3)关于直线x＝1对称，则下列式子一定成立的是( )
A．f(x－2)＝f(x)
B．f(x－2)＝f(x＋6)
C．f(x－2)·f(x＋2)＝1
D．f(－x)＋f(x＋1)＝0
B [令F(x)＝f(2－x)，∵f(2－x)为奇函数，∴F(－x)＝－F(x)，即f(2＋x)＝－f(2－x)，
∴即f(x)的图像关于点(2,0)对称，
令G(x)＝f(x＋3)，G(x)图像关于直线x＝1对称，
即G(1＋x)＝G(1－x)，f[(1＋x)＋3]＝f[(1－x)＋3]，f(4＋x)＝f(4－x)，
即f(x)的图像关于直线x＝4对称，
f(x)＝f[4＋(x－4)]
＝f[4－(x－4)]＝f(8－x)，
用x＋6换表达式中的x，可得f(2－x)＝f(x＋6)，
又－f(2＋x)＝f(2－x)，
即－f(2＋x)＝f(x＋6)，∴－f(x)＝f(x＋4)，用x＋4换表达式中的x，
则－f(x＋4)＝f(x＋8)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为8，故选B．]
1．已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则( )
A．f(1)>f(2)
B．f(1)C．f(1)＝f(2)
D．以上都有可能
A [∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(1)>f(2)，故选A．]
2．若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[－3，－1]上( )
A．是减函数，有最小值0
B．是增函数，有最小值0
C．是减函数，有最大值0
D．是增函数，有最大值0
D [因为奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值0，所以f(x)在[－3，－1]上是增函数，且有最大值0.]
3．奇函数y＝f(x)的局部图像如图所示，则( )
A．f(2)＞0＞f(4)
B．f(2)＜0＜f(4)
C．f(2)＞f(4)＞0
D．f(2)＜f(4)＜0
A [由题意可知：函数的图像如图：
可知f(2)＞0＞f(4)．
]
4．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．aB．a>b
C．|a|<|b|
D．0≤ab≥0
C [∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，∴由f(a)5．已知f(x)＝是奇函数，则f(g(－3))＝________.
－33 [因为函数f(x)是奇函数，所以f(－3)＝g(－3)＝－f(3)＝－6，所以f(g(－3))＝f(－6)＝－f(6)＝－33.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．怎样利用函数奇偶性求函数解析式？
[提示] 已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：①求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；②把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；③利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x)．
2．具有奇偶性的函数的单调性有怎样的特点？
[提示] (1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
(3)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)3．本节课常用的数学思想方法有哪些？
[提示] 数形结合、分类讨论．
PAGE