3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．(难点)2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集．(重点、难点)
1．借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养．2．通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，培养逻辑推理的素养．3．利用零点法求不等式的解集，提升数学运算的素养.
路边有一条河，小明从A点走到了B点，观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？
(1) (2)
将这个实际问题抽象成数学模型．
知识点一 函数的零点
(1)函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称实数α为函数y＝f(x)的零点．
(2)三者之间的关系：
函数f(x)的零点?函数f(x)的图像与x轴有交点?方程f(x)＝0有实数根．
1．(1)函数的零点是一个点吗？
(2)任何函数都有零点吗？
[提示] (1)函数的零点是一个实数，而不是一个点．
(2)并不是任何函数都有零点，如y＝1，y＝x2＋1就没有零点．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．
( )
(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)只有一个零点．
( )
(3)一次不等式的解集不可能为?，也不可能为R.
( )
(4)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝0时，此函数有两个零点，对应的方程有两个相等的实数根．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.函数y＝1＋的零点是( )
A．(－1,0)
B．x＝－1
C．x＝1
D．x＝0
B [令1＋＝0解得x＝－1，故选B．]
知识点二 三个“二次”的关系
1．三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2
(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
的图像
解不等式y＞0或y＜0的步骤
不等式的解集
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}
R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
?
?
2.若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
[提示] 结合二次函数图像可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得a∈?，所以不存在实数a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.
2．图像法解一元二次不等式的步骤
(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；
(2)求出其对应的二次函数的零点；
(3)画出二次函数的图像；
(4)结合图像写出一元二次不等式的解集．
3.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)二次函数f(x)＝x2＋2x＋1－a2(a≠0)不一定存在零点．
( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．
( )
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)× 因为Δ＝4－4(1－a2)＝4a2>0，所以函数有两个零点．
(2)× 因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.
(3)× 当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x14.若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是( )
A．m＜－2或m＞2
B．－2＜m＜2
C．m≠±2
D．1＜m＜3
A [∵f(x)＝－x2＋mx－1有正值，
∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.故选A．]
5.不等式≥0的解集为________．
[－1,1) [原不等式等价于(x＋1)(x－1)≤0，且x－1≠0，∴－1≤x＜1．]
类型1 函数的零点及求法
【例1】 求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．
[解] 令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，
∴(x3－x)－(6x－6)＝0，
∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)·(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，
∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.
求函数y＝f(x)的零点通常有2种方法
一是令y＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点．
二是画出函数y＝f(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
1．如图所示，是一个二次函数y＝f(x)的图像．
(1)写出这个二次函数的零点；
(2)试比较f(－4)·f(－1)，f(0)·f(2)与0的大小关系．
[解] (1)由图像可知，函数f(x)的两个零点分别是－3,1．
(2)根据图像可知，f(－4)·f(－1)＜0，f(0)·f(2)＜0.
类型2 二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
【例2】 利用函数求下列不等式的解集：
(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；
(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．
[解] (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，
原不等式的解集为(－∞，－1)∪(6，＋∞)．
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图像知，
原不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．
(3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2，
即9x2－12x＋4＞0.
解方程9x2－12x＋4＝0，解得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知，
原不等式的解集为∪.
求一元二次不等式的解集的步骤
2．利用函数求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)－x2＋8x－3＞0；
(3)x2－4x－5＜0；
(4)－4x2＋18x－＞0.
[解] (1)对于方程2x2＋7x＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根，x1＝－3，x2＝－.
又因为二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，
所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪.
(2)对于方程－x2＋8x－3＝0，因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实数根，
x1＝4－，x2＝4＋.
又因为二次函数y＝－x2＋8x－3的图像开口向下，
所以原不等式的解集为(4－，4＋)．
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)＜0，
所以原不等式的解集为(－1,5)．
(4)原不等式可化为＜0，
所以原不等式的解集为?.
类型3 用函数零点法求一元高次不等式的解集
【例3】 (教材P114例5改编)求函数f(x)＝(x－1)(x－2)·(x＋3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．
[解] 函数的零点为－3,1,2.
函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．
x
(－∞，－3)
(－3,1)
(1,2)
(2，＋∞)
f(x)
－
＋
－
＋
由此可以画出此函数的示意图如图．
由图可知，f(x)≥0的解集为[－3,1]∪[2，＋∞)，f(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(1,2)．
穿根法解高次不等式
穿根法实质上就是求根法的深化与提升，穿根的过程实质就是画函数图像的过程．用该方法解高次不等式时，要注意三点：
一是需要把最高次幂的系数化为正数；
二是穿根时先在数轴上把根标出来，然后从数轴的右上方开始依次穿过；
三是穿根时，偶数次重根要穿而不过，奇数次重根则要穿过．
穿根法解分式不等式的步骤
移项——通分——化成基本形式(因式的积的形式且x的系数为1)——穿根．
3．求函数f(x)＝(1－x)(x－2)(x＋2)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．
[解] 函数的零点为－2,1,2.
函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．
x
(－∞，－2)
(－2,1)
(1,2)
(2，＋∞)
f(x)
＋
－
＋
－
由此可以画出此函数的示意图如图．
由图可知，f(x)≥0的解集为(－∞，－2]∪[1,2]，f(x)＜0的解集为(－2,1)∪(2，＋∞)．
4．解不等式：＜0.
[解] 将原不等式化为＞0，
即(x＋3)(x＋2)(x－1)(x－3)＞0，
各因式所对应的根分别为－3，－2,1,3，在数轴上标根并画出示意图，如图所示．
故原不等式的解集为{x|x＜－3或－2＜x＜1或x＞3}．
1．函数f(x)＝2x2－4x－3的零点有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．不能确定
C [由f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40>0，所以方程2x2－4x－3＝0有两个不相等的实根，即f(x)有两个零点．]
2．不等式x(2－x)>0的解集为( )
A．{x|x>0}
B．{x|x<2}
C．{x|x>2或x<0}
D．{x|0D [原不等式化为x(x－2)<0，故03．函数y＝x2－2x－3的零点是( )
A．(－1,0)，(3,0)
B．x＝－1
C．x＝3
D．－1和3
D [令x2－2x－3＝0得(x－3)(x＋1)＝0，
所以x1＝－1，x2＝3.]
4．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数的条件是( )
A．
B．
C．
D．
D [由于不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数，所以与之相对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像恒在x轴下方，则有]
5．不等式(x＋1)(x2－9)≥0的解集是________．
{x|－3≤x≤－1或x≥3} [原不等式可化为(x＋1)(x＋3)(x－3)≥0，则对应方程的三个实数根分别为－1，－3，3.
如图所示，在数轴上标出三个实数根，从右上方开始依次穿过．由图可知不等式(x＋1)(x2－9)≥0的解集为
{x|－3≤x≤－1或x≥3}．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何理解二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系？
[提示] (1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点．
(2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．
2．图像法解一元二次不等式分哪几步？
[提示] (1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；
(2)求出其对应的二次函数的零点；
(3)画出二次函数的图像；
(4)结合图像写出一元二次不等式的解集．
3．解一元高次不等式的方法是什么方法？
[提示] 穿根法：解简单的一元高次不等式常用穿根法．
中外历史上的方程求解
在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座．虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题．约公元50～100年编成的《九章算术》，就以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法；7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法；11世纪，北宋数学家贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出的“开方作法本源图”，以“立成释锁法”来解三次或三次以上的高次方程式．同时，他还提出了一种更简便的“增乘开方法”；13世纪，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“正负开方术”，提供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法，此法可以求出任意次代数方程的正根．
国外数学家对方程求解亦有很多研究.9世纪，阿拉伯数学家花拉子米(Al?Khowarizmi，约780－850)给出了一次方程和二次方程的一般解法；1541年，意大利数学家塔尔塔利亚(N.Tartaglia，约1499－1557)给出了三次方程的一般解法；1545年意大利数学家卡尔达诺(G.Cardano,1501－1576)的名著《大术》一书中，把塔尔塔利亚的解法加以发展，并记载了费拉里(L.Ferrari,1522－1565)的四次方程的一般解法．
数学史上，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果.1778年，法国数学大师拉格朗日(J.?L.Lagrange,1736－1813)提出了五次方程根式解不存在的猜想.1824年，挪威年轻数学家阿贝尔(N.H.Abel,1802－1829)成功地证明了五次以上一般方程没有根式解.1828年，法国天才数学家伽罗瓦(E.Galois,1811－1832)巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程，同时还提出了一个代数方程能用根式求解的判定定理．
虽然指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程不能用代数运算求解，但其数值解法却随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，如二分法、牛顿法、拟牛顿法、弦截法等．
PAGE第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
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1．掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数.
(重点)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法求函数零点近似解的步骤．(难点)3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．(重点、难点)
1．通过零点存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养．2．通过二分法的学习，提升数据分析、数学建模的学科素养．3．理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养.
某电视台有一个节目叫“价格猜猜猜”，就是主持人给竞猜者展示一件新式产品，让竞猜者去猜物品的价格，主持人会提示价格“高了”还是“低了”，然后竞猜者继续猜，怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？
知识点一 函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即?x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
利用函数零点存在定理能确定零点个数吗？
[提示] 不能．只能判断零点是否存在，不能确定零点的个数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数y＝f(x)在[a，b]上图像连续，且f(a)f(b)＞0，则y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点．
( )
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.
( )
(3)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[a，b]上至多有一个零点．
( )
(4)函数y＝2x－1的零点是.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.下列图像表示的函数中没有零点的是( )
A B
C D
A [B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．]
知识点二 求函数零点的近似值的一种计算方法——二分法
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法．
(1)二分法只能求函数的变号零点(函数图像通过零点时穿过x轴，这样的零点为变号零点)的近似值．
(2)二分法的解题原理是函数零点存在定理，它是一种求近似解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现．
2．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)在[a，b]上的零点近似值的步骤是：
第一步 检查|b－a|≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步．
第二步 计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步．
第三步 若f(a)f＜0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有ff(b)＜0，将的值赋给a，回到第一步．
3.下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1
B．f(x)＝2x3＋x－5
C．f(x)＝x2＋2x＋2
D．f(x)＝－x2＋4x－1
C [因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．]
4.用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]
5.若函数f(x)在[a，b]上的图像为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0，则( )
A．f(x)在上有零点
B．f(x)在上有零点
C．f(x)在上无零点
D．f(x)在上无零点
B [由f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0，可知f·f(b)<0，根据零点的存在性定理，可知f(x)在上有零点．故选B．]
类型1 判断函数零点个数或所在区间
【例1】 (1)已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
123.56
21.45
－7.82
11.45
－53.76
－128.88
则下列说法正确的是( )
A．函数y＝f(x)在区间[1,6]上有3个零点
B．函数y＝f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点
C．函数y＝f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点
D．函数y＝f(x)在区间[1,2]上无零点
(2)函数f(x)＝x3＋x－5的零点所在区间为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
(1)B (2)B [(1)由表可知，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0.由函数零点存在定理知，函数y＝f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上分别至少存在一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．虽然f(1)·f(2)>0，但函数y＝f(x)在[1,2]上也有可能存在一个或多个零点．
(2)由函数f(x)＝x3＋x－5可得f(1)＝1＋1－5＝－3<0，f(2)＝8＋2－5＝5>0，
故有f(1)f(2)<0，
根据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B．]
判断函数零点所在区间有哪3个步骤？
[提示] (1)代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C [对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．]
类型2 对二分法概念的理解
【例2】 下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
B [利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．]
二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性.对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可.
2．如图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)的零点近似值的是( )
A．(－2.1，－1)
B．(1.9,2.3)
C．(4.1,5)
D．(5,6.1)
B [只有B中的区间所含零点是不变号零点．]
类型3 用二分法求函数零点的近似值
【例3】 求函数f(x)＝x2－5的负零点．(精确度为0.1)
[解] 由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(－3，－2)
－2.5
1.25
(－2.5，－2)
－2.25
0.062
5
(－2.25，－2)
－2.125
－0.484
4
(－2.25，－2.125)
－2.187
5
－0.214
8
(－2.25，－2.187
5)
－2.218
75
－0.077
1
由于|－2.25－(－2.187
5)|＝0.062
5<0.1，
所以函数的一个近似负零点可取－2.25.
利用二分法求函数零点应关注3点
(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．
(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．
(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．
3．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1)．
[解] 由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)在[1,2]内是增函数，所以函数在区间[1,2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1,2]．下面用二分法求解．
(a，b)
(a，b)
的中点
f(a)
f(b)
f
(1,2)
1.5
f(1)<0
f(2)>0
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1)<0
f(1.5)>0
f(1.25)>0
(1,1.25)
1.125
f(1)<0
f(1.25)>0
f(1.125)<0
(1.125,1.25)
1.187
5
f(1.125)<0
f(1.25)>0
f(1.187
5)<0
因为|1.187
5－1.25|＝0.062
5<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.
类型4 一元二次方程根的分布问题
【例4】 已知关于x的方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，则实数m的取值范围为( )
A．(－4，－2)
B．(－3，－2)
C．(－4,0)
D．(－3,1)
[思路点拨] →→
A [设函数f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，则由题意可画出函数f(x)的草图如图所示，由图可得
解得－4＜m＜－2.
故实数m的取值范围为(－4，－2)．]
解一元二次方程根的分布问题一般从4个方面考虑
(1)抛物线开口方向．
(2)一元二次方程根的判别式．
(3)对应区间端点函数值的符号．
(4)抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．
4．关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有实数解，求实数m的取值范围．
[解] 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，
①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一个实数解，
∵f(0)＝1＞0，∴f(2)＜0或
又f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m＜－.
②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两个实数解，
则即
∴∴－≤m≤－1．
综上，实数m的取值范围为{m|m≤－1}.
1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3,5]上( )
A．没有零点
B．有一个零点
C．有两个零点
D．有无数个零点
B [令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3,5]上有一个零点．故选B．]
2．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
A B
C
D
D [由函数图像可得，D中的函数没有零点，故不能用二分法求零点；A，B，C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点．]
3．已知函数f(x)＝3ax－1－2a在区间(－1,1)上存在零点，则( )
A．＜a＜1
B．a＞
C．a＜－或a＞1
D．a＜－
C [∵f(x)＝3ax－1－2a在区间(－1,1)上单调且存在零点，
∴f(－1)·f(1)＝(－3a－1－2a)·(3a－1－2a)
＝(－5a－1)·(a－1)＜0，
∴a＞1或a＜－.故选C．]
4．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实数解
D．方程f(x)＝0可能无实数解
D [∵函数f(x)的图像在(－1,3)上不一定连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但不一定函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解．]
5．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图像是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由零点存在定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.
－2.25 [显然(1,4)的中点为2.5，
则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断函数存在零点有哪些方法？
[提示] (1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数．可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．
(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．
2．根据函数零点个数求参数值(范围)有哪些方法？
[提示] 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
3．用二分法求函数零点的近似值应遵循怎样的原则？
[提示] (1)需依据图像估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
4．二分法求函数零点需满足什么条件？
[提示] 并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上的图像连续不断；
(2)f(a)·f(b)<0，
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
PAGE3.3 函数的应用(一)
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点)
1．
通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．2．借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.
随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具．下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：
年份
2017
2018
2019
销量/万辆
8
18
30
结合以上三年的销量及人们生活的需要，2020年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2020年实际销售44万辆，圆满完成销售目标．
问题 (1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？
(2)如果我们分别将2017,2018,2019,2020年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？
(3)依照目前的形势分析，你能预测一下2021年，该公司预销售多少辆汽车吗？
知识点 常见的几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型
f(x)＝
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．
(1)甲比乙先出发．
( )
(2)乙比甲跑的路程多．
( )
(3)甲、乙两人的速度相同．
( )
(4)甲先到达终点．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.某物体一天中的温度T与时间t满足函数关系：T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，t＝0表示中午12：00，其前t值为负，其后t值为正，则上午8时的温度是( )
A．8
℃
B．12
℃
C．58
℃
D．18
℃
A [求上午8时的温度，即求t＝－4时的值，所以T(－4)＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8.故选A．]
3.(对接教材P122例3)某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个______元．
60 [设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250
＝－2(x－10)2＋450，
所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．]
类型1 一次函数模型的应用
【例1】 某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30
000，而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )
A．2
000套
B．3
000套
C．4
000套
D．5
000套
D [因为利润z＝12x－(6x＋30
000)，所以z＝6x－30
000，由z≥0解得x≥5
000，故至少日生产文具盒5
000套．]
1．一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
2．一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图像或其单调性来求最值．
1．如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图像，根据图像填空：
(1)通话2分钟，需要付电话费________元；
(2)通话5分钟，需要付电话费________元；
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．
(1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3) [(1)由图像可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
(2)由图像可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
(3)易知当t≥3时，图像过点(3,3.6)，(5,6)，求得y＝1.2t(t≥3)．]
类型2 二次函数模型的应用
【例2】 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[思路点拨] 本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
[解] (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，
化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9
600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9
600＝－3(x－60)2＋1
200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1
125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1
125元．
利用二次函数求最值的方法
二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答．
2．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则当t为何值时蓄水池中的存水量最少？
[解] 设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，
则y＝400＋60t－100(0≤t≤24)．
设u＝，则u∈[0,2]，
y＝60u2－100u＋400＝60＋150，
所以当u＝，即t＝时，蓄水池中的存水量最少．
类型3 分段函数模型的应用
【例3】 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2(万元)．
(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
[解] (1)当05时，产品只能售出500件．
所以f(x)＝
即f(x)＝
(2)当0－(x－4.75)2＋10.781
25，
所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，
f(x)max＝10.781
25(万元)．
当x>5时，f(x)＝12－0.25x<12－0.25×5＝10.75(万元)．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
3．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨，3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
[解] (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，
即3x≤4，且5x>4时，
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增；
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，令24x－9.6＝26.4，
解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5(吨)，
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5(吨)，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元).
1．某商场将彩电的售价先按进价提高40%，然后按“八折优惠”卖出，结果每台彩电利润为360元，那么彩电的进价是( )
A．2
000元
B．2
500元
C．3
000元
D．3
500元
C [设彩电的进价为x元，得1.4x×0.8－x＝360，解得x＝3
000，故选C．]
2．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是( )
A B C D
B [题图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．故选B．]
3．有一批材料可以建成360
m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________m2(围墙厚度不计)．
8
100 [设每个小矩形与墙垂直的一边长为a
m，则与它相邻的另一边长为b＝(360－4a)m，记围成场地的面积为S
m2，
则S＝3ab＝a·(360－4a)＝－4a2＋360a(0＜a＜90)，
∴当a＝45时，Smax＝8
100(m2)，
∴所围矩形面积的最大值为8
100
m2.]
4．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．
[答案] y＝
5．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3
000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为______元．
4
050 [设每辆车的月租金定为x元，租赁公司的月收益为y元，则：
y＝(x－150)×－50×(x－3
000)＝(x－150)－x＋3
000＝－＋162x－21
000＝－(x－4
050)2＋307
050，所以当x＝4
050时，y最大，最大值为ymax＝307
050，即当每辆车的月租金定为4
050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307
050元．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．在函数建模中，怎样确立两个变量是哪种函数关系？
[提示] 通常需要先画出函数图像，根据图像来确定两个变量的关系，选择函数类型．
2．函数模型在实际应用中，函数的自变量有什么特点？
[提示] 在实际应用中，函数的自变量x往往具有实际意义，如x表示长度时，x≥0；x表示件数时，x≥0，且x∈Z等．在解答时，必须要考虑这些实际意义．
3．实际问题的函数建模步骤有哪些？
[提示] 实际问题的函数建模是将实际问题转化为数学问题的关键，结合对函数性质的研究，通过解决数学问题达到解决实际问题的目的．
一般步骤为：
(1)设恰当的变量：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的关系，并用x，y分别表示问题中的变量．
(2)建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学阶段，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式，注意函数的定义域．
(3)求解函数模型：根据已知条件求解函数模型．
(4)给出实际问题的解：将数学模型的解还原为实际问题的解，得出实际问题的解．
PAGE3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解几种常见函数模型的概念及性质．(难点)2．会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．(重点、难点)
1．通过几种函数模型的学习，培养数学抽象的素养．2．理解几种函数模型的应用，培养数学建模的素养.
牛顿(1642～1727)是英国著名的物理学家、数学家和天文学家，是17世纪最伟大的科学巨匠．然而，对于一些在自然科学上一知半解的人来说，牛顿的赫赫有名与其说来自于他的科学发现，毋宁说是来自于那个妇孺皆知的苹果落地的传说．那是1666年夏末的一个傍晚，在英格兰林肯郡乌尔斯索普，一个腋下夹着一本书的年轻人走进了他母亲家的花园，坐在一棵树下，开始埋头读他的书．正在他翻动书页时，他头顶上的树枝被风吹得晃动了起来．突然，“啪”的一声，一只历史上最著名的苹果落了下来，恰好打在了这位青年的头上．这位青年不是别人，正是牛顿．据说，牛顿当时正在苦苦思索着一个问题：是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，又是什么力量使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上？掉下来的苹果打断了他的思索，“为什么这只苹果会坠落到地上呢？”牛顿转而考虑起这个使他感到困惑不解的问题．有人说正是从这一问题的思考中，他找到了答案，并提出了万有引力定律．
问题 (1)你认为牛顿是从“苹果从树上落下”这一问题的思考中很简单的提出的万有引力吗？
(2)你能想象一下牛顿发现万有引力的过程吗？
知识点 数学建模
1．数学建模的概念
对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学
方法构建模型解决问题就是数学建模．
2．数学建模过程
在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．
1．某车主每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油的情况：
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(公里)
2020年11月16日
12
32
000
2020年11月21日
48
32
600
(注：“累计里程”是汽车出厂后行驶的总路程)
则16日－21日这段时间内汽车每百公里的平均油耗为( )
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
B [由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600公里，所以该车每100公里平均耗油量为48÷6＝8(升)，故选B．]
2.某家具的标价为132元，若降价以九折出售
(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．
108 [设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.]
类型1 建模过程描述与介绍
(1)发现问题
当市面上的苹果比较多时，苹果的价格就会降低．这时，如果将苹果利用一定的技术手段进行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售，则同样多的苹果就可以获得比较高的销售收入．不过，需要注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大．
(2)提出问题
针对上述这种日常生活中的现象，我们可以探讨的问题很多．例如，为什么会发生这些现象？什么情况下不会发生这样的现象？能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？哪种保鲜存储的成本最低？等等．
(3)用数学观点对问题分析
①类似的这些问题，因为不仅仅涉及量的关系，所以如果只用数学手段研究，将是十分困难的．
②上述现象中，涉及了量的增大与减少的问题，这可以用数学符号和语言进行描述．
(4)用数学知识描述问题，建立模型
①定性描述，确立初步模型
设市面上苹果的量为x万吨，苹果的单价为y元．上述现象说明，y会随着x的增大而减少，且y也会随着x的减少而增大——也就是说，如果y是x的函数并记作y＝f(x)的话，f(x)是减函数．
同样地，如果设保鲜存储的时间为t天，单位数量的保鲜存储成本为C元，且C是t的函数并记作C＝g(t)的话，g(t)是一个增函数．
由于市面上的苹果的量x会随着时间t的变化而变化，因此可以认为x是t的函数，并记作x＝h(t)．
从上面这些描述不难看出，在第t天出售苹果时，单位数量的苹果所获得的收益z元可以用t表示出来，即z＝y－C＝f(x)－g(t)＝f(h(t))－g(t)．
此时，如果f(x)，g(t)，h(t)都是已知的，则能得到z与t的具体关系式．有了关系式之后，就能解决如下问题：z是否有最大值？如果z有最大值，那么t为多少时z取最大值？
②合理假设，确立模型
怎样才能确定上述f(x)，g(t)，h(t)呢？这可以通过合理假设来完成．
例如，为了简单起见，我们可以假设f(x)和g(t)都是一次函数，且f(x)＝k1x＋l1，g(t)＝k2t＋l2；
并假设h(t)是一个二次函数，且h(t)＝at2＋bt＋c.
则有z＝f(h(t))－g(t)＝k1at2＋(k1b－k2)t＋k1c＋l1－l2，其中k1＜0，k2＞0，a≠0.
③收集数据确定参数
上述各参数可以通过收集实际数据来确定．例如，如果我们收集到了如下实际数据．
x/万吨
8.4
7.6
y/元
0.8
1.2
t/天
1
2
C/天
0.11
0.12
t/天
1
2
3
x/万吨
9.462
9.328
9.198
利用待定系数法，根据前面的假设就可以确定出
y＝f(x)＝－0.5x＋5，
C＝g(t)＝0.01t＋0.1，
x＝h(t)＝0.002t2－0.14t＋9.6，
因此z＝－0.001t2＋0.06t＋0.1．
④问题解决与总结
注意到上式可以改写成z＝－0.001(t－30)2＋1，所以此时在t＝30时，z取最大值1．也就是说，在上述情况下，保鲜存储30天时，单位商品所获得的利润最大，为1元．
以上我们用叙述的方式，让大家经历了一个简单的数学建模全过程．
在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式．一般来说，数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定．
类型2 数学建模—建立函数模型解决实际问题
【例】 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
[解] (1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元，依题意得
y＝f(x)＋g(20－x)＝x＋(0≤x≤20)．
令t＝(0≤t≤2)，
则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，即投资债券16万元，投资股票4万元时获得最大收益，最大收益为3万元．
解决此类问题的过程
某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y件之间有如下关系(见表)：
销售单价x(元)
…
30
40
45
50
…
日销售量y(件)
…
60
30
15
0
…
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
[解] (1)根据题干中所给表作图，如图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)在同一条直线上，设此直线为y＝kx＋b，
∴
解得
∴y＝－3x＋150(30≤x≤50)．
经检验，点(30,60)、(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y＝－3x＋150(30≤x≤50)．
(2)依题意有P＝y(x－30)
＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.
1．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(时)的函数表达式是( )
A．x＝60t＋50t(0≤t≤6.5)
B．x＝
C．x＝
D．x＝
D [根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可．]
2．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．
甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？
[解] (1)由题图可知，直线y甲＝kx＋b经过(1,1)和(6,2)，可求得k＝0.2，b＝0.8.
所以y甲＝0.2(x＋4)．
同理可得y乙＝4.
当x＝2时，y甲＝1.2，y乙＝26，
故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．
(2)规模缩小了．原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．
(3)设第x年规模最大，即求y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．
函数图像的对称轴为x＝－＝2.25，
因为x∈N＋，∴当x＝2时，y甲·y乙＝31.2最大，
即第二年规模最大，为31.2万只.
走近数学建模
实际问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现．下面我们来看数学史上一个极具影响的数学建模实例．
实际问题
普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城(现为俄罗斯的加里宁格勒)．普莱格尔河有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，在河上有七座桥，如图(1)．
图(1)
岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂，居民经常到河岸和桥上散步．在18世纪初的一天，有人突发奇想：如何才能走过这七座桥，而每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？人们开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知走了多少次，却始终不得其解，这就是著名的哥尼斯堡七桥问题(Seven
Bridges
of
K?nigsberg)．
实际问题的数学表述
七桥问题引起了数学家欧拉(Léonard
Euler,1707－1783)的极大兴趣．他想：经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径，会不会根本不存在这样的走法？
首先，欧拉想到的是穷举法，就是把所有的走法都一一列出来，再一个一个验证．但是，他很快发现这样做太麻烦了，因为对七座桥的不同走法就有5
000多种，并且这种方法不具有通用性．
经过反复思考，欧拉想到：岛的形状、大小，以及桥的长短、宽窄并不影响结果，重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系．不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点，
连接陆地的7座桥看作7条线，就得到如图(2)的图形．实际问题中的陆地、河流和桥梁景观就不见了，七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题．这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型．
图(2)
数学问题的解决
欧拉注意到，如果这样的图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都是“经过点”．“经过点”的特征是：只要从一条线进入这个点，就要从另一条线离开这个点．有进无出，只能是终点；有出无进，只能是起点．若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点；否则称为奇点．显然“经过点”是偶点．如果起点和终点是同一个点，那么这个点也是偶点．
一笔画定理 一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件：
(1)图形是连在一起的，即是连通图形；
(2)图形中的奇点个数为0或2.
PAGE第3章
函数
[教师用书独具]
类型1 求函数的定义域与值域
求函数的定义域和值域是考试中常见的题型．求函数的定义域时，注意将自变量x要满足的条件一一列出，不要遗漏；函数的值域就是所有函数值的集合，它由函数的定义域和函数的对应关系确定，所以不论用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域．常见的求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图像法、判别式法等．求函数的值域是一个较复杂的问题，要认真观察，根据不同的题型选择恰当的方法．
【例1】 (1)求函数y＝＋－的定义域；
(2)若定义运算ab＝求函数f(x)＝(x＋2)x2的值域．
[解] (1)解不等式组得
故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．
(2)法一：令x＋2＜x2，得x＜－1或x＞2，
令x＋2≥x2，得－1≤x≤2.
故f(x)＝
当x＜－1或x＞2时，f(x)＞1；
当－1≤x≤2时，1≤f(x)≤4.
∵(1，＋∞)∪[1,4]＝[1，＋∞)，
∴函数f(x)的值域为[1，＋∞)．
法二：由新定义知f(x)的图像如图，
由图像可知f(x)的最小值为1，无最大值．故f(x)的值域为[1，＋∞)．
1．函数y＝的定义域是________．
[－1,7] [要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，
即x2－6x－7≤0，得(x＋1)(x－7)≤0，
解得－1≤x≤7，故所求函数的定义域为[－1,7]．]
类型2 求函数的解析式
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．
(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f，使用解方程组法．
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．
【例2】 (1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________；
(2)已知f＝＋，则f(x)的解析式为________．
(1)f(x)＝
(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)
[(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1．
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1．
∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
(2)令t＝＝＋1，则t≠1．把x＝代入f＝＋，得f(t)＝eq
\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t－1))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t－1))))＋
＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1．
所以所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]
2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图像关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.
求函数f(x)的解析式．
(1)x＋ [因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋.]
(2)[解] 因为f(x)的对称轴为x＝－1，
所以－＝－1，即b＝2a，
又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1，
由条件③知：a>0，且＝0，
即b2＝4ac，由以上可求得a＝，b＝，c＝，
所以f(x)＝x2＋x＋.
类型3 函数的性质及应用
巧用奇偶性及单调性解不等式
(1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式．
(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解．
【例3】 已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．
[思路点拨] (1)用f(0)＝0及f＝求a，b的值；
(2)用单调性的定义求解．
[解] (1)由题意，得∴
故f(x)＝.
(2)证明：任取－1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵－10,1＋x>0.
又－10，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
1．在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
[解] 由f(t－1)＋f(t)<0得
f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－12．把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求f(x)的解析式．
[解] 由题意可知，f(－x)＝f(x)，即＝，∴a＝0，
又f＝，∴b＝，∴f(x)＝.
类型4 函数的应用
1．对于给出图像的应用性问题，首先我们可以根据函数图像用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．
2．对于借助函数图像表达题目信息的问题，读懂图像是解题的关键．
【例4】 某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)
(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
[思路点拨] 两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．
[解] (1)由题图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD．
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，
则fA(x)＝
fB(x)＝
易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元．
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝(n＋1)＋18－n－18＝0.3(n>500)，
所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
(3)由题图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)当x>500时，fA(x)>fB(x)．
当60当60fA(x)；
当≤x≤500时，fA(x)>fB(x)．
即当通话时间在时，方案B才会比方案A优惠．
3．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%(0＜x＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)＝(单位：分)，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义．
[解] (1)由题意知，当30＜x＜100时，
f(x)＝2x＋－90＞40，即x2－65x＋900＞0，
解得x＞45，
∴当x∈(45,100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．
(2)当0＜x≤30时，
g(x)＝30·x%＋40(1－x%)＝40－；
当30＜x＜100时，
g(x)＝·x%＋40(1－x%)＝－x＋58.
∴g(x)＝
易知当0＜x＜32.5时，g(x)单调递减；
当32.5＜x＜100时，g(x)单调递增．
说明该地上班族S中有少于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是单调递减的；有多于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是单调递增的．
当自驾人数占32.5%时，人均通勤时间最少．
1．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
A [函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C，D．因为函数y＝x3，y＝－在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)＝x3－在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A．]
2．(2020·天津高考)函数y＝的图像大致为( )
A B C D
A [设f(x)＝y＝.由函数的解析式可得：
f(－x)＝＝－f(x)，又其定义域关于原点对称，则函数f(x)为奇函数，其图像关于坐标原点对称，选项C，D错误；当x＝1时，y＝＝2＞0，选项B错误．]
3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R的奇函数?(x)在(－∞，0)单调递减，且?(2)＝0，则满足x?(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
D [法一：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，选D．
法二：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)<0，此时不符合题意，排除选项A，C．故选D．]
4．(2020·天津高考)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是( )
A．∪(2，＋∞)
B．∪(0,2)
C．(－∞，0)∪(0,2)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D [注意到g(0)＝0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|kx－2|＝(x≠0)恰有3个实根即可，令h(x)＝，即y＝|kx－2|与h(x)＝(x≠0)的图像有3个不同的交点．因为h(x)＝＝
当k＝0时，此时y＝2，如图1，y＝2与h(x)＝有1个交点，不满足题意；
图1 图2 图3
当k＜0时，如图2，此时y＝|kx－2|与h(x)＝恒有3个不同的交点，满足题意；
当k＞0时，如图3，当y＝kx－2与y＝x2相切时，联立方程得x2－kx＋2＝0，
令Δ＝0得k2－8＝0，解得k＝2(负值舍去)，所以k＞2.
综上，k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．]
5．(2020·浙江高考)已知a，b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有(x－a)(x－b)(x－2a－b)≥0，则( )
A．a＜0
B．a＞0
C．b＜0
D．b＞0
C [由于ab≠0则a≠0且b≠0，根据y＝(x－a)(x－b)·(x－2a－b)的零点为a，b,2a＋b的情况可确定是否满足(x－a)(x－b)(x－2a－b)≥0在x≥0上恒成立．
若a＜0，b＜0，则2a＋b＜0，满足；若a＜0，b＞0，则b≠2a＋b，不满足；若a＞0，b＞0，则2a＋b＞0，不满足；若a＞0，b＜0，则a＝2a＋b即a＋b＝0时满足，综上，只有选项C符合．]
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