第1章
集合
类型1 集合的含义与表示
集合中元素的特征是确定性、互异性、无序性．其中互异性是考查的重点，常与集合的表示方法，与集合之间的关系交汇命题，常考题型为已知集合中的元素求参数值．解决方法为根据元素与集合的关系列出等式求解．结合元素互异性检查求解．
【例1】 设集合A中含有三个元素2x－5，x2－4x,12，若－3∈A，则x的值为__________．
[思路点拨] 根据－3∈A可知，2x－5，x2－4x均有等于－3的可能，逐一解方程，并验证是否符合集合中元素的互异性．
3 [∵－3∈A，∴－3＝2x－5或－3＝x2－4x.
①当－3＝2x－5时，解得x＝1，此时2x－5＝x2－4x＝－3，不符合元素的互异性，故x≠1；
②当－3＝x2－4x时，解得x＝1或x＝3，由①知x≠1，且x＝3时满足元素的互异性．
综上可知，x＝3.]
[跟进训练]
1．设A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则x的可能取值组成的集合为________．
{0,2，－2} [∵A∩B＝B，∴B?A，∴x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或0,1，
当x＝1时，A，B均不符合互异性，∴x≠1，故x＝±2，0.]
类型2 集合间的关系
集合间的关系主要考查集合与集合之间、元素与集合之间的关系．解答与集合有关的问题时，应首先认清集合中的元素是什么，是点集还是数集．根据定义归纳为判断元素与集合间的关系或利用数轴或Venn图表示，进行直观判断．在解决含参数的不等式(或方程)时，一般对参数进行讨论，分类时要“不重不漏”．
【例2】 设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?，B?A，求a，b的值．
[思路点拨] 由B?A讨论B的各种情况，分别求解．
[解] 由B?A知，B中的所有元素都属于集合A，又B≠?，故集合B有三种情形：B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}．
当B＝{－1}时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}，故a＝－1，b＝1；
当B＝{1}时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}，故a＝b＝1；
当B＝{－1,1}时，B＝{x|x2－1＝0}，故a＝0，b＝－1.
综上所述，a，b的值为或或
[跟进训练]
2．已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，则A与B的关系为________．
A＝B [A表示所有奇数组成的集合．当k∈Z时，4k＋1表示被4除余1的数，4k－1表示被4除余3的数，故B表示被4除余1或3的数，即被2除时余数为1，∴B也表示奇数集，故A＝B.]
类型3 集合的运算
集合的运算主要包括交集、并集和补集运算，这是高考对集合部分的主要考查点，常与不等式、方程等知识交汇考查．若集合是列举法给出的，在处理有关交、并、补集的运算时常结合Venn图处理．若与不等式(组)组合命题时，一般要借助于数轴求解．解题时要注意各个端点能否取到．
【例3】 已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1
(1)用列举法表示集合A与B.
(2)求A∩B及?U(A∪B)．
[解] (1)由题意知A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．
(2)由题意知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}．
所以?U(A∪B)＝{0,5,6}．
[跟进训练]
3．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}．则?U(A∪B)＝________，(?UA)∩B＝________.
{4} {3} [∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，?UA＝{3,4}．
∴?U(A∪B)＝{4}，(?UA)∩B＝{3}．]
4．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}．则A∩(?RB)＝________.
{x|1≤x≤2} [∵B＝{x|x<1}，∴?RB＝{x|x≥1}．
∴A∩(?RB)＝{x|1≤x≤2}．]
【例4】 已知集合A＝{x|2a－2[思路点拨] 解答本题的关键是利用A?RB，对A＝?与A≠?进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题．
[解] ?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?，∵A?RB，∴分A＝?和A≠?两种情况讨论．
(1)若A＝?，则有2a－2≥a，∴a≥2.
(2)若A≠?，则有或∴a≤1.
综上所述，a≤1或a≥2.
[跟进训练]
5．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪?RA＝R，B∩?RA＝{x|0[解] ∵A＝{x|1≤x≤2}，
∴?RA＝{x|x<1或x>2}．
又B∪?RA＝R，A∪?RA＝R，可得A?B.而B∩?RA＝{x|0∴{x|0借助于数轴
可得B＝A∪{x|01．(2020·新高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,3,5,8}，则A∩B＝
( )
A．{1,8}
B．{2,5}
C．{2,3,5}
D．{1,2,3,5,7,8}
C [因为集合A，B的公共元素为：2,3,5，故A∩B＝{2,3,5}．故选C.]
2．(2020·新高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4}
D．{x|1C [A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|23．(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N
，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
C [由题意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C.]1.3 交集、并集
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．(重点)2．掌握求两个简单集合的交集与并集的方法．(重点)3．会借助Venn图理解集合的交、并集运算，培养数形结合的思想．(难点)
1．通过学习集合的交集、并集，培养学生的数学运算、逻辑推理素养．2．借助Venn图表示交、并运算及区间的数轴表示，提升学生的直观想象素养.
学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：(1)中考的物理成绩不低于90分；(2)中考的数学成绩不低于100分．
如果满足条件(1)的同学组成的集合记为P，满足条件(2)的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合为S，那么这三个集合之间有什么联系呢？
知识点1 交集
1．交集的概念
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)Venn图
① ② ③
2．交集的性质
(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B?A；(3)A∩B?B；(4)A∩A＝A；(5)A∩?＝?；(6)A∩(?UA)＝?；(7)A∩U＝A(其中U为全集)．
1.A∩B是把A与B的部分元素组合在一起吗？
[提示] 是把公共元素组合在一起，而不是部分．
2.集合M＝{直线}与集合N＝{圆}有没有交集？
[提示] 有．根据交集的概念可知M∩N＝?.
3.若A∩B＝C∩B，则必有A＝C吗？
[提示] 若A∩B＝C∩B，则可能有A＝C，也可能不相等．
(1)A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
(2)两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有交集，而是A∩B＝?.
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)A∩B中的元素一定比A，B任何一个集合的元素都少．( )
(2)A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
(3)两个集合A，B没有公共元素，记作A∩B＝?.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
知识点2 并集
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)Venn图
① ② ③
(3)并集的性质
①A∪B＝B∪A；②A?A∪B；③B?A∪B；
④A∪A＝A；⑤A∪?＝A；⑥A∪(?UA)＝U；⑦A∪U＝U(其中U为全集)．
4.A∪B是把A和B的所有元素组合在一起吗？
[提示] 不是，因为A和B可能有公共元素，每个公共元素只能算一个元素．
5.两个集合并集中的元素个数一定比两个集合元素个数之和大吗？
[提示] 当两个集合有公共元素时，在并集中只能算作一个．故这种说法不正确．
2.设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于________．
{－1,0,1,2} [M∪N＝{－1,0,1,2}．]
知识点3 区间的概念
(1)设a，b∈R，且a[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a[a，b)＝{x|a≤x(a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x(－∞，＋∞)＝R.
[a，b]，(a，b)分别叫作闭区间、开区间；
[a，b)，(a，b]叫作半开半闭区间；
a，b叫作相应区间的端点．
(2)区间的数轴表示
区间表示
数轴表示
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
[a，＋∞)
(a，＋∞)
3.下列区间与集合{x|x<－2或x≥0}相对应的是( )
A．(－2,0)
B．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
C．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
D．(－∞，－2]∪(0，＋∞)
C [集合{x|x<－2或x≥0}可表示为：(－∞，－2)∪[0，＋∞)．]
类型1 交集概念及其应用
【例1】 (1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2}
B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4}
D．{x|1≤x≤4}
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
(1)A (2)D [(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，
故A∩B＝{x|0≤x≤2}．
(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，
∴8∈A,14∈A，
∴A∩B＝{8,14}，故选D.]
1．求以列举法给出的两集合的交集时，可直接寻找其公共元素，但需注意不可遗漏．
2．求以描述法给出的两集合的交集时，可先化简集合，再确定两集合的公共元素(区间)，有必要时可借助于数轴或Venn图解决．
3．已知集合的交集求参数问题要利用交集中元素的特殊性(公有性)列方程或不等式(组)来解决，而且，有些题目还应注意验证得出的结论是否符合集合元素的互异性和是否符合题意．
[跟进训练]
1．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,2}
B．{1,2}
C．{0}
D．{－2，－1,0,1,2}
A [由题意知A∩B＝{0,2}．]
2．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x( )
A．－1B．a>2
C．a≥－1
D．a>－1
D [因为A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1.
]
类型2 并集的概念及其应用
【例2】 (1)若A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,6,7,8}，则A∪B＝________.
(2)若A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|1[思路点拨] (1)将A，B中的元素合并，注意互异性即可．
(2)借助数轴表示A，B，再求A∪B.
(1){3,4,5,6,7,8} (2){x|－1≤x<4} [(1)A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)用数轴表示出A，B，如图．
所以A∪B＝{x|－1≤x<4}．]
求集合并集的2种基本方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．
[跟进训练]
3．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
4 [由A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.]
4．满足条件{1,3}∪B＝{1,3,5}的所有集合B的个数是________．
4 [由条件{1,3}∪B＝{1,3,5}，根据并集的定义可知5∈B，而1,3是否在集合B不确定，所以B可能为{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，故B的个数为4.]
类型3 交、并、补集的综合应用
【例3】 已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，试写出?UA，?UB，A∩B，A∪B，?U(A∩B)，?U(A∪B)，(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．
[思路点拨] 采用列举法逐一将上述各集合写出．
[解] ?UA＝{5,6,7,8}，?UB＝{1,2,7,8}，
A∩B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4,5,6}．
?U(A∩B)＝{1,2,5,6,7,8}，?U(A∪B)＝{7,8}．
(?UA)∩(?UB)＝{7,8}，(?UA)∪(?UB)＝{1,2,5,6,7,8}．
从本题解答中可以得出两个结论：?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．
[跟进训练]
5．设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，求(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．
[解] 由题知A∩B＝{x|2≤x≤3}，A∪B＝{x|1≤x≤4}．
所以?U(A∩B)＝{x|x<2或x>3}，?U(A∪B)＝{x|x<1或x>4}．
所以(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{x|x<1或x>4}，
(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)＝{x|x<2或x>3}．
类型4 并集、交集性质的应用
【例4】 已知集合A＝{x|－3[解] (1)当B＝?，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.
(2)当B≠?时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合(1)(2)可知.
1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
[解] 由A∩B＝A可知A?B.
所以即所以k∈?.
所以k的取值范围为?.
2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3[解] 由题意可知解得k＝3.
所以k的值为3.
1．在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A?B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝?的情况．
2．集合运算常用的性质
①A∪B＝B?A?B；
②A∩B＝A?A?B；
③A∩B＝A∪B?A＝B.
[跟进训练]
6．已知集合A＝{x|2[解] 分两类情况，一类是B≠??a>0.
此时，又分两种情况：①B在A的左边，如图中B所示；
②B在A的右边，如图中B′所示．
集合B在图中B或B′位置均能使A∩B＝?成立，
即0<3a≤2或a≥4，解得0另一类是B＝?，即a≤0时，显然A∩B＝?成立．
综上所述，a的取值范围是.
1．已知集合A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，则A∪B等于( )
A．{1,6,5,6,8}
B．{1,5,6,8}
C．{0,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
B [求集合的并集时，要注意集合中元素的互异性．]
2．若集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|x(x－1)＝0}，则M∩N等于( )
A．{－1,0,1,2}
B．{0,1,2}
C．{－1,0,1}
D．{0,1}
D [N＝{0,1}，M∩N＝{0,1}．]
3．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是
( )
A．{0,1}
B．{0}
C．{－1,2,3)
D．{－1,0,1,2,3}
D [由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.]
4．设集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3}，则(?UM)∪N＝________.
{0,2,3} [由题意知，?UM＝{0,3}，所以(?UM)∪N＝{0,2,3}．]
5．已知集合M＝{(x，y)|x＝0}，N＝{(x，y)|y＝x＋2}，则M∩N＝________.
{(0,2)} [由题意可得M∩N＝＝{(0,2)}．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．两个集合间的基本运算关系有哪些？怎样求这些运算？
[提示] 交集、补集、并集．直接根据定义或利用数轴求解．
2．交集、并集有哪些运算性质？
[提示] 交集：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?；
并集：A∪B＝A∪B，A∪A＝A，A∪?＝A.
3．本节课学习了哪些数学方法？
[提示] 数形结合、分类讨论．
4．本节课常见的误区有哪些？
[提示] 由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论．
集合的其他运算
集合的交、并、补运算是集合的三种常见运算，它们本质上都是根据两个集合得出一个新的集合．实际上，根据已知的两个集合，还可以有其他的产生新集合的运算．常见的集合运算还有差集、对称差、笛卡儿积(又称积集)等．
1．差集的定义及运算性质
一般地，设A，B是两个集合，由所有属于A而不属于B的那些元素组成的集合，称为集合A与集合B的差集(或集合A与集合B之差)，记作A－B(或A/B)，即A－B＝{x|x∈A，且x?B}．
差集的运算性质(其中U为全集)：
(1)A－?＝A，A－A＝?，?－A＝?；
(2)A－U＝?，U－A＝?UA；
(3)(A－B)－C＝(A－C)－(B－C)；
(4)(A－B)?A，A－B＝??A?B，A－B＝A－(A∩B)；
(5)A∪(B－A)＝A∪B；
(6)A∩(B－C)＝(A∩B)－C.
2．对称差的定义及运算性质
一般地，设A，B是两个集合，当AΔB＝(A－B)∪(B－A)时，就称集合AΔB是集合A，B的对称差．也就是两个集合的对称差是只属于其中一个集合，而不属于另一个集合的元素组成的集合．即AΔB＝{x|x∈A，且x?B，或x∈B，且x?A}．
对称差的运算性质(其中U为全集)：
(1)AΔB＝?，AΔ?＝A；
(2)AΔU＝?UA；
(3)AΔB＝BΔA；
(4)AΔB＝(A∪B)－(A∩B)；
(5)(AΔB)ΔC＝AΔ(BΔC)；
(6)若AΔB＝AΔC，则B＝C.
3．笛卡儿积的定义及运算性质
一般地，设A，B是两个集合，当a∈A，b∈B时，有序对(a，b)的全体组成的集合称为A和B的笛卡儿积集，简称笛卡儿积或积集，记作A×B.即A×B＝{(a，b)|a∈A，b∈B)．当A，B是有限集时，具体写出笛卡尔积集A×B的元素是不困难的．
笛卡儿积的运算性质：
(1)A×?＝?×A＝?；
(2)A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)；
(3)(B∪C)×A＝(B×A)∪(C×A)；
(4)A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)；
(5)(B∩C)×A＝(B×A)∩(C×A)．第2课时 全集、补集
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解全集的意义，理解补集的含义．(重点)2．能在给定全集的基础上求已知集合的补集．(难点)
1．通过补集的运算培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.
某学习小组学生的集合为S＝{甲，乙，丙，丁}，其中在学校应用文写作比赛与数学建模大赛中获得过金奖的学生集合为A＝{甲，乙}，那么没有获奖的学生有哪些？若用集合B表示没有获奖的同学，则集合B与S，集合A、B和S之间有怎样的关系？
知识点1 补集
(1)定义：设A?S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为?SA(读作“A在S中的补集”)．
(2)符号表示
?SA＝{x|x∈S，且x?A}．
(3)图形表示：
(4)补集的性质
①?S?＝S，②?SS＝?，③?S(?SA)＝A.
知识点2 全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.
两个不同的集合A、B在同一个全集U中的补集可能相等吗？
[提示] 不可能相等．因为集合A、B是两个不同的集合．所以必定存在元素在集合A的补集中，但不在集合B的补集中．
补集符号?SA有三层含义：
(1)A是S的一个子集，即A?S；
(2)?SA表示一个集合，且?SA?S；
(3)?SA是S中所有不属于A的元素构成的集合．
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)
(1)全集一定含有任何元素．( )
(2)集合?RA＝?QA.( )
(3)一个集合的补集一定含有元素．( )
(4)研究A在S中的补集时，A可以不是S的子集．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.已知全集U＝{－1,0,1}，且?UA＝{0}，则A＝( )
A．{－1,1}
B．{－1,0,1}
C．{0,1}
D．{－1,0}
A [∵U＝{－1,0,1}，?UA＝{0}，∴A＝{－1,1}．]
3.若集合A＝{x|x>1}，则?RA＝________.
{x|x≤1} [∵A＝{x|x>1}，∴?RA＝{x|x≤1}．]
类型1 全集与补集
【例1】 (1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则?UA＝________.
(1){2,3,5,7} (2){x|x<－3或x＝5} [(1)A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又?UB＝{1,4,6}，
∴B＝{2,3,5,7}．
(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
由补集定义可得?UA＝{x|x<－3或x＝5}．]
常见补集的求解方法是什么？
[提示] 常见补集的求解方法有：
(1)列举求解．适用于全集U和集合A可以列举的简单集合．
(2)画数轴求解．适用于全集U和集合A是不等式的解集．
(3)利用Venn图求解．
[跟进训练]
1．(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则?UA等于
( )
A．{x|0B．{x|0≤x<2}
C．{x|0D．{x|0≤x≤2}
(2)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形)，B＝{x|x是钝角三角形}，则(?UA)和(?UB)共有的集合为________．
(1)C (2){x|x是直角三角形} [(1)∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，
∴?UA＝{x|0(2)根据三角形的分类可知，?UA＝{x|x是直角三角形或钝角三角形}，?UB＝{x|x是直角三角形或锐角三角形}，
所以(?UA)和(?UB)共有的集合为{x|x是直角三角形}．]
类型2 补集与子集的综合应用
【例2】 已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A??UB，求实数a的取值范围．
[思路点拨] 首先应对B是否为空集进行讨论，得出?UB，然后再利用A??UB得关于a的不等式求解即可．
[解] 若B＝?，则a＋1>2a－1，所以a<2.
此时?UB＝R，所以A??UB；
若B≠?，则a＋1≤2a－1，即a≥2，
此时?UB＝{x|x2a－1}，
由于A??UB，如图，
则a＋1>5，所以a>4，
所以实数a的取值范围为a<2或a>4.
(变条件)若将本例中的“A??UB”改为“B??UA”，求实数a的取值范围．
[解] ?UA＝{x|x<－2或x>5}．
因为B??UA，
当a＋1>2a－1，即a<2时，B＝?，B??UA.
当a＋1≤2a－1，即a≥2时，B≠?.
所以2a－1<－2或a＋1>5，
即a>4，
综上，a的取值范围为a<2或a>4.
1．解决此类问题应注意以下几点
(1)空集作为特殊情况，不能忽略；
(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；
(3)端点值能否取到，应注意分析．
2．U是由集合A与?UA的全体元素所构成，对于某一个元素a，a∈A与a∈?UA中恰好只有一个成立，即集合中的元素具有确定性．
[跟进训练]
2．全集U＝R，A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2(1)求?UA，?UB；
(2)若集合C＝{x|x>a}，A?C，求a的取值范围．
[解] (1)因为A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2所以借助于数轴知?UA＝{x|x<3，或x≥10}，
?UB＝{x|x≤2，或x>7}．
(2)要使A?C，只需a<3即可．所以a的取值范围为{a|a<3}．
1．设全集为U，M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，则U等于( )
A．{0,2,4,6}
B．{0,2,4}
C．{6}
D．?
A [∵M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，
∴U＝{0,2,4,6}，故选A.]
2．(多选题)设集合S＝{x|x>－2}，集合A??RS，则集合A中的元素可能是
( )
A．－2
B．2
C．－3
D．3
AC [因为S＝{x|x>－2}，所以?RS＝{x|x≤－2}．]
3．已知全集S＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x2＋y2≠0}．用列举法表示集合?SA＝________.
{(0,0)} [?SA＝{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}．]
4．已知集合A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，B＝{x|4{3,4} [由题意知A＝{3,4,5,6,7}，B＝{5,6,7}，∴?AB＝{3,4}．]
5．已知U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2，m}，且?UA＝{1,3,5}，则m＝________.
4 [由已知m∈U，且m??UA，故m＝2或4.又A＝{2，m}，由元素的互异性知m≠2，故m＝4.]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．求集合的补集前提是什么？同一集合在不同全集下的补集相同吗？
[提示] 求集合的补集前提是必须明确全集．同一集合在不同全集下的补集不同．
2．本节课主要学习哪些内容？通过内容的学习哪些核心素养有所提高？
[提示] 补集和全集的概念及运算．数学运算．
3．本节课主要运用了哪些数学方法？你认为哪些地方易出错？
[提示] 数形结合．求补集时忽视全集，求参数时忽视端点的取舍．1.2 子集、全集、补集
第1课时 子集、真子集
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否有包含关系．(重点)2．能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点)3．能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点)
1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养.
如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
知识点1 子集的概念及其性质
(1)子集
定义
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
符号表示
A?B(或B?A)
读法
集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)
图示
(2)子集的性质
①A?A，即任何一个集合是它本身的子集．
②??A，即空集是任何集合的子集．
③若A?B，B?C，则A?C，即子集具备传递性．
(3)集合相等
若A?B且B?A，则A＝B.
1.(1)任何两个集合之间是否一定有包含关系？
(2)符号“∈”与“?”有何不同？
[提示] (1)不一定，如集合A＝{1,2}与B＝{3,4}这两个集合之间没有包含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“?”表示集合与集合之间的关系．
不能把“A?B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”因为集合A可能是空集，也可能是集合B.
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)
(1)空集中只有元素0，而无其余元素．( )
(2)任何一个集合都有子集．( )
(3)若A＝B，则A?B且B?A.( )
(4)若a∈A，则{a}?A.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
知识点2 真子集的概念与性质
(1)真子集的概念
如果A?B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
(2)性质
①?是任一非空集合的真子集．
②若AB，BC，则AC.
2.{0}与?相等吗？
[提示] 不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而?表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠?.
2.集合A＝{x|0≤x<2，x∈N}的真子集的个数为________．
3 [集合A＝{0,1}，其真子集分别为?，{0}，{1}共3个．]
类型1 确定集合的子集、真子集
【例1】 设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集与真子集．
[解] 由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，
解方程得x＝－4，或x＝－1或x＝4，
故集合A＝{－4，－1,4}．
由0个元素构成的子集为：?；
由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}；
由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；
由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}；
故集合A的子集为：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}共8个子集．
真子集为：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}共7个．
确定子集、真子集的关键点是什么？有什么规律？
[提示] 1.有限集的子集的确定问题，求解关键有三点：
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
2．与子集、真子集个数有关的三个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数为2n个；
(2)A的真子集的个数为2n－1个；
(3)A的非空真子集的个数为2n－2个．
[跟进训练]
1．已知集合M满足{1,2}M?{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．
[解] 由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
类型2 集合关系的判断
【例2】 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(3)P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}；
(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；
(5)A＝{x|－1[解] (1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA.
(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．
(3)∵P表示3的整数倍少1的数构成的数集，Q表示3的整数倍多2的数构成的数集，
∴P＝Q.
(4)等边三角形是三边相等的三角形，故AB.
(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现AB.
判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
提醒：若A?B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系．
[跟进训练]
2．判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}．
[解] (1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.
(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC.
类型3 集合之间的包含关系
【例3】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
若BA，求实数m的取值范围？
集合B中的元素有何特点？可能为空集吗？m满足什么条件时B＝?.
[提示] 集合B中的元素不确定，随m的变化而变化．B可能为空集．
当m＋1>2m－1时B＝?.
[解] (1)当B＝?时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠?时，如图所示．
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2[解] (1)当B＝?时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠?时，如图所示，
∴解得即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．
2．若本例条件“BA”改为“A?B”，其他条件不变，求m的取值范围．
[解] 当A?B时，如图所示，此时B≠?.
∴即∴m不存在．
即不存在实数m使A?B.
1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
2．两个易错点
(1)当B?A时，应分B＝?和B≠?两种情况讨论；
(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．
[跟进训练]
3．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1[解] ∵B?A，∴可以分B＝?或B≠?讨论．
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当B≠?时，有解得－1≤m<2.
综上可得m≥－1.
1．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )
A．N∈M
B．N?M
C．N?M
D．N?M
D [∵1∈{1,2,3}，∴1∈M，又2?N，∴N?M.]
2．(多选题)下列四个集合中，不是空集的为( )
A．{0}
B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0}
D．{x|x>4}
ACD [满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝?.]
3．集合A＝{x|x(x－2)＝0}，则集合A的子集的个数为________．
4 [由x(x－2)＝0得x＝0，或x＝2，所以A＝{0,2}．
A的子集有?，{0}，{2}，{0,2}．]
4．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________．
BA [∵B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.]
5．已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x≥a}．若B?A，则实数a的取值范围为________．
a≥1 [结合数轴知a≥1.]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？
[提示] A?B或AB.从集合中元素入手，根据集合间关系的定义得出结论．
2．本节课中有哪些易错地方？
[提示] (1)忽略对集合是否为空集的讨论．(2)忽视是否能够取到端点值．
3．本节课主要学习了哪些数学思想方法．
[提示] 分类讨论、数形结合．第2课时 集合的表示
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)．(重点、难点)2．通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．3．了解集合相等的概念，并能用于解决问题．(重点)4．了解集合的不同的分类方法.
1．通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．2．借助描述法转化为列举时的运算，培养数学运算的素养.
集合是数学中最基本的语言，在今后的数学中，我们都要用到它，要研究集合要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合，为此我们来学习集合的表示方法．当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？当集合中的元素具有一定的规律性，又该如何直观地表示集合？当集合中的元素具有一定的规律性，又该如何表示这类集合？
知识点1 集合的表示方法
表示方法
定义
一般形式
列举法
将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内
{a1，a2，…，an，…}
描述法
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来
{x|p(x)}
Venn图法
用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合
(1)中国的五岳组成的集合中的元素是什么？怎样列举出来？
(2)不等式x－2<1的解集中的元素有什么共同特征？
[提示] (1)中的元素为泰山、华山、衡山、恒山、嵩山．
(2)元素的共同特征为x∈R，且x<3.
列举法通常适用于元素个数有限的集合．若集合中的元素有无限个，但有一定的规律性也可用列举法．描述法通常适用于元素个数较多而元素的排列又不呈现明显规律的集合或者根本就不能一一列举的集合．
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)
(1)0与{0}表示的是同一个集合．( )
(2)方程(x－1)2·(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,2}．( )
(3)集合A＝{x∈N|x>5}是用描述法表示的一个集合．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
知识点2 集合的分类
(1)集合的分类
有限集
含有有限个元素的集合
无限集
含有无限个元素的集合
空集
不含任何元素的集合，记作?
(2)集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．
2.(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)
(2)若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a＋b＝________.
(1)是 (2)3 [(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}元素完全相同，故两集合是相等集合．
(2)由于{1，a}＝{2，b}，故a＝2，b＝1，∴a＋b＝3.]
类型1 用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A.
(2)小于8的质数组成的集合B.
(3)方程x2－x－2＝0的实根组成的集合C.
[解] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10.
所以A＝{0,2,4,6,8,10}．
(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．
(3)方程x2－x－2＝0的实根为2，－1，
所以C＝{2，－1}．
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}．
[跟进训练]
1．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.
[解] (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1,3)，所以D＝{(1,3)}．
类型2 用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
[解] (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N
，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N
}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
利用描述法表示集合应关注4点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
[跟进训练]
2．用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；
(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．
[解] (1)函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为
.
(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N
}．
类型3 集合表示法的综合应用
【例3】 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
[解] (1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．
1．本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．
[解] 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，
故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0.
所以实数k组成的集合为{k|k<1，且k≠0}．
2．本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围．
[解] 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．
①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；
②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k≠0.
综合①②可知，实数k的取值范围为{k|k≤1}．
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．
[跟进训练]
3．已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围．
[解] 集合A中有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根．∴a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，解得a<且a≠0.
类型4 集合相等
【例4】 (1)集合A＝{x|x3－x＝0，x∈N}与B＝{0,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)
(2)若集合A＝{1，a＋b，a}，集合B＝且A＝B，则a＝________，b＝________.
[思路点拨] (1)解出集合A，并判断与B是否相等；
(2)找到相等的对应情况，解方程组即可．
(1)是 (2)－1 1 [(1)x3－x＝x(x2－1)＝0，
∴x＝±1或x＝0.又x∈N，∴A＝{0,1}＝B.
(2)由题意知，a≠0，故a＋b＝0，∴b＝－a.
∴＝－1，∴a＝－1，b＝1.]
已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程(组)，求解时还要注意集合中元素的互异性．
[跟进训练]
4．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求实数x的值．
[解] 若消去b，则a＋ax2－2ax＝0，
∴a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1.
当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x＝1时，集合B中的元素均为a，故舍去．
若消去b，则2ax2－ax－a＝0.
又∵a≠0，∴2x2－x－1＝0，即(x－1)(2x＋1)＝0.
又∵x≠1，∴x＝－.
经检验，当x＝－时，A＝B成立．
综上所述，x＝－.
1．用列举法表示集合{x|x2－2x－3＝0}为( )
A．{－1,3}
B．{(－1,3)}
C．{x＝1}
D．{x2－2x－3＝0}
A [解方程x2－2x－3＝0，得x1＝－1，x2＝3.∴集合{x|x2－2x－3＝0}中有两个元素，用列举法得{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，故选A.]
2．(多选题)方程组的解集可表示为( )
A．
B．
C．{1,2}
D．{(1,2)}
ABD [方程组的解应为有序数对，故A、B、D正确．]
3．用描述法表示不等式3x＋2>5的解集为________．
{x|x>1} [由不等式3x＋2>5得x>1，用描述法可表示为{x|x>1}．]
4．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，则a＋b＝________.
1或 [∵M＝N，则有或解得或∴a＋b＝1或.]
5．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
[解] 三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样．集合A表示y＝x2＋3中x的范围，x∈R，∴A＝R，集合B表示y＝x2＋3中y的范围，B＝{y|y≥3}，集合C表示y＝x2＋3上的点组成的集合．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．集合常用的表示方法有哪些？各有什么特点？
[提示] 列举法、描述法．列举法通常适用于元素个数较少或元素有规律的集合．描述法通常适用于元素个数较多或无规律的集合．
2．对集合的表示有什么要求？
[提示] 要根据集合元素的特点，选择适当的方法表示集合．一般要符合最简原则．
3．通过本节课培养了哪些核心素养和思想方法？
[提示] 培养数学运算素养和逻辑推理素养．
思想方法有等价转化和分类讨论的思想．1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
学
习
任
务
核
心
素
养
1．通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)
1．通过集合概念的学习，逐步养成数学抽象素养．2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养.
在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类．例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，如图所示，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类……
你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类．
知识点1 元素与集合的概念
(1)一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．
(2)集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．
假如在军训时教官喊“全体高个子同学集合”，你会去集合吗？
[提示] 不去，不清楚自己是不是高个子．
集合中的元素必须同时具备确定性、互异性、无序性．反过来一组对象若不具备这三个特性中任何一个，则这组对象不能构成集合．集合中元素的三个特性是判断一组对象能否构成集合的重要依据．
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)
(1)接近于－1的数可以组成集合．( )
(2)一个集合中可以找到两个相同的元素．( )
(3)组成集合的元素一定是数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
知识点2 元素与集合
1．元素与集合的表示
(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．
(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．
2．元素与集合的关系
(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素，记作a∈A，读作“a属于A”．
(2)不属于(符号：?或)，a不是集合A中的元素，记作a?A或aA，读作“a不属于A”．
2.已知集合A中有两个元素2和a－1且3∈A，则实数a＝________.
4 [由题意知a－1＝3，即a＝4.]
知识点3 常用数集及表示符号
名称
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
3.用“∈”或“?”填空．
3．5________N；－4________Z；0.5________R；
________N
；________Q.
? ∈ ∈ ? ∈ [因为3.5不是自然数，故3.5?N；
因为－4是整数，故－4∈Z；
因为0.5是实数，故0.5∈R；
因为不是正整数，故?N
；
因为是有理数，故∈Q.]
类型1 集合的概念
【例1】 (1)考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地的美丽乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④截止到2021年10月1日，参加一带一路的国家．
A．③④
B．②③④
C．②③
D．②④
(2)下列说法中，正确的有________．(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．
(1)B (2)② [(1)①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.
(2)①不正确．book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.
②正确．集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．
③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．]
一组对象能组成集合的标准是什么？
[提示] 判断一组对象是否为集合的三依据：
(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．
(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．
(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
[跟进训练]
1．判断下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某校2020年在校的所有高个子同学；
(4)
的近似值的全体．
[解] (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．
(2)能构成集合．
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数(如“2”)是不是它的近似值，所以不能构成集合．
类型2 元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R ②∈R ③?Q ④0∈N
⑤|－2|∈Z
A．2
B．3
C．4
D．5
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，当a∈A，有6－a∈A.则a的值为________．
(1)C (2)2或4 [(1)①π是无理数∴π∈R故①正确，是无理数∴∈R，②正确.是无理数∴?Q，④0是自然数是非负整数，0∈N，故④错误．|－2|＝2∈Z正确．
(2)集合A含有三个元素2,4,6且当a∈A，有6－a∈A.
a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4.综上所述，a＝2或4.]
判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
[跟进训练]
2．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素个数为________．
3 [∵∈N，∴3－x＝1或3－x＝2或3－x＝3或3－x＝6.
即x＝2或1或0或－3.又x∈N.故x＝0或1或2.即集合A中的元素个数为3.]
类型3 集合中元素的特性及应用
【例3】 已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？若1∈A，则元素1与集合A中元素a，b存在怎样的关系？
[提示] a≠b，a＝1或b＝1.
[解] 由题意可知，a＝1或a2＝a.
(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.
(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)．又当a＝0时，A中含有元素1和0满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上可知，实数a的值为0.
1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
[解] 由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.
2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求a的值．
[解] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1.
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性．
所以a＝－1.
由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
[跟进训练]
3．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
[解] 因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3和－1.符合要求．
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3.符合要求．
综上所述，a的值为0或－1.
1．下列给出的对象中，能组成集合的是( )
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．方程x2－1＝0的实数根
[答案] D
2．下列结论不正确的是( )
A．0∈N
B．?Q
C．0?Q
D．8∈Z
C [0是有理数，故0∈Q，所以C错误．]
3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形
B．平行四边形
C．菱形
D．矩形
A [由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．]
4．若集合A中的元素是由方程x2－2x－3＝0的解构成的，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________.
2 [因为方程x2－2x－3＝0的解为3和－1，所以a＋b＝2.]
5．已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，求m的值．
[解] 由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0.这与m2－3m＋2≠0相矛盾．若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时与m≠0相矛盾．
当m＝3时，集合中含有3个元素0,2,3.
故m的值为3.
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．元素与集合是怎样定义的？它们之间是什么关系．
[提示] 一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素．元素与集合之间为属于(或不属于)关系．
2．利用集合中元素的特性解题时应注意什么？
[提示] 不要忽视集合中元素的互异性．