4.3 等比数列 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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2019人教版选修二
等比数列同步练习
一、单选题
1.已知等比数列
中，
，则公比
（???
）
A.?9或-11?????????????????????????????????B.?3或-11?????????????????????????????????C.?3或
?????????????????????????????????D.?3或-3
2.已知等比数列
中，
，
且
，则
（???
）
A.?±16????????????????????????????????????????B.?16????????????????????????????????????????C.?±4????????????????????????????????????????D.?4
3.已知
为等比数列，
为其前
项和，若
，则公比
（???
）．
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????D.?2
4.有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列中公比的取值范围是
；③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；④若
，则
，
，
成等比数列.其中说法正确的个数为（???
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
5.
是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的
基站海拔6500米．从全国范围看，中国
发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少
，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第6天走了（???
）
A.?48里?????????????????????????????????????B.?24里?????????????????????????????????????C.?12里?????????????????????????????????????D.?6里
7.已知正项等比数列
的公比为
，前
项和为
，则“
”是“
”的（???
）条件
A.?充分不必要????????????????????B.?必要不充分????????????????????C.?充分必要????????????????????D.?既不充分也不必要
8.在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，…….R0一般由疾病的感染周期?感染者与其他人的接触频率?每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数
，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1000时需要的天数至少为（???
）参考数据：lg38≈1.58
A.?34?????????????????????????????????????????B.?35?????????????????????????????????????????C.?36?????????????????????????????????????????D.?37
二、多选题
9.已知数列
……，其中第一项是
，接下来的两项是
再接下来的三项是
依次类推…，第
项记为
，数列
的前
项和为
，则（???
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
10.已知等比数列
的公比为
，前4项的和为
，且
，
，
成等差数列，则
的值可能为（???
）
A.????????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
11.设首项为1的数列
的前
项和为
，已知
，则下列结论正确的是（???
）
A.?数列
为等比数列????????????????????????????????????B.?数列
的通项公式为
C.?数列
为等比数列?????????????????????????????????????D.?数列
的前
项和为
12.若数列
的前
项和是
，且
，数列
满足
，则下列选项正确的为（???
）
A.?数列
是等差数列??????????????????????????????????????????B.?
C.?数列
的前
项和为
?????????????????????????D.?数列
的前
项和为
，则
三、填空题
13.记
为等比数列
的前
项和，若
，则
________.
14.记
为正项等比数列
的前
项和，若
，
，则
的值为________.
15.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，
为前n天两只老鼠打洞长度之和，则
________尺.
16.等比数列
中，
，前
项和为
，
，
，
成等差数列，则
的最大值为________.
四、解答题
17.已知等比数列
的第2项和第5项分别为2和16，数列
的前
项和为
.
（1）求
，
；
（2）求数列
的前
项和
.
18.已知等差数列
的公差
，且
，数列
是各项均为正数的等比数列，且满足
，
.
（1）求数列
与
的通项公式；
（2）设数列
满足
，其前
项和为
.求证：
.
19.已知数列
的前
项和为
，且
和
的等差中项为1．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．
20.已知：数列
中，
，
，
，
.
（1）证明数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
.
21.已知数列
的前n项和为
，且6，
，
成等差数列．
（1）求
；
（2）是否存在
，使得
对任意
成立？若存在，求m的所有取值；否则，请说明理由．
22.数列
满足
，
.
（1）求证：数列
为等比数列；
（2）设
，求
的前
项和
.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
解：∵
为等比数列，令首项为
，公比为
，则
，
∴解得：
或
故答案为：D.
2.【答案】
B
解：解:已知
，且
解得
,
又因为
是等比数列,
所以
,
所以
,可得
,
所以
.
故答案为：B
3.【答案】
D
解：因为
，所以
，
即
，
因为
，所以
，
即
，
因为
，所以
2.
故答案为：D
4.【答案】
B
解：对于①，因为等比数列中的各项都不为0，所以①不正确；
对于②，因为等比数列的公比不为0，所以②不正确；
对于③，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以③正确；
对于④，只有当
，
，
都不为0时，
，
，
才成等比数列，所以④不正确.
因此，正确的说法只有1个，
故答案为：B.
5.【答案】
B
解：设每个工程队承建的基站数形成数列
，
则由题可得
，故
是以
为公比的等比数列，
可得
，解得
.
故答案为：B.
6.【答案】
D
解：由题可得此人每天走的路程形成公比为
的等比数列
，
则
，解得
，
，
故此人第6天走了6里。
故答案为：D.
7.【答案】
C
解：解:因为
，
所以
.
由
得
，即
，即
，所以
，
由
,又
,则
,则
,则
,
综上可得:“
”是“
”的充分必要条件，
故答案为：C.
8.【答案】
D
解：设第
轮感染人数为
，则数列
为等比数列，其中
，公比为
，
所以
，解得
，
而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为
．
故答案为：D.
二、多选题
9.【答案】
A,C
解：A.由题可将数列分组，
第一组：
??
第二组：
??
第三组：
则前
组一共有
…
个数，
第
组第
个数即
，故
，C对，
又
，故
，
又
，
则为第11组第5个数，
第11组有数：
，
故
，A对，
对于D.
每一组的和为
…
，
故前
组之和为
…
，
，
D不符合题意，
对于B，
由D可知，
，
，
，
，
B不符合题意，
故答案为：AC。
10.【答案】
A,C
解：解：因为
，
，
成等差数列，
所以
，
因此，
，
故
．
又
是公比为
的等比数列，
所以由
，
得
，即
，
解得
或
．
故答案为：AC．
11.【答案】
A,D
解：因为
，所以
．
又
，所以数列
是首项为2，公比为2的等比数列，A符合题意；
所以
，则
．
当
时，
，但
，B不符合题意；
由
可得
，即
，C不符合题意；
因为
，所以
所以数列
的前
项和为
，D符合题意．
故答案为：AD．
12.【答案】
B,D
解：当
时，
，
当
时，由
，得
，
两式相减得：
，
又
，
所以数列
是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以
，
，数列
的前
项和为
，
则
，
所以
，
所以
，
故答案为：BD
三、填空题
13.【答案】
解：
是等比数列，且
设
等比数列的公比
，根据等比数列通项公式
可得
①，
②.
将②÷①可得
故
代入①解得
，
故答案为：
.
14.【答案】
127
解：设等比数列
的公比为
，由
有
，解得
，
(舍去)，所以
，所以
.
故答案为：127
15.【答案】
解：由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,
所以大老鼠前
天打洞长度之和为
,
同理小老鼠前
天打洞长度之和为
,
所以
所以
故答案为：
16.【答案】
4
解：设等比数列
的公比为
，
由已知得，
，即
，
∴
，∴
，
又
，
∴
，则
，
当
为奇数时，
；
当
为偶数时，
，
综上所述，
的最大值为4。
故答案为：4。
四、解答题
17.【答案】
（1）解：设等比数列
的公比为
，
由题意可得：
解得：
，
∴
数列
为首项为
，公差为
的等差数列，
∴
；
（2）解：∵
，
∴
18.【答案】
（1）解：由
，且
.
∴
，解得
.
故
.
∵
为等比数列，
，设公比为
，则
，
∴
，
∴
，∴
，
，
所以
，
；
（2）解：由（1）得
，
∴
①，
∴
②，
∴由①
②得：
∴
，
∴
，
∴
.
19.【答案】
解：（Ⅰ）因为
和
的等差中项为1，
所以
，即
，
当
时，
．
两式相减得
，整理得
．
在
中，令
得
，
所以，数列
是以2为首项，2为公比的等比数列，
因此
．
（Ⅱ）
．
则
．
所以
20.【答案】
（1）证明：由
，得
．
又
，所以
．
故
，所以数列
是以1为首项，以2为公比的等比数列．
所以数列
的通项公式为
．
（2）解：由
，得
，
，???
①
，???????
②
由①－②得
，
则
．
21.【答案】
（1）解：因为6，
，
成等差数列，所以
，
因此有
，两式相减得:
，
即
，
当
时，
，∴
，故
是以2为首项，
为公比的等比数列，
∴
；
（2）解：
，∴题中不等式等价于
，
即
，即
对
成立，
∵
且
时
，∴
，显然m为偶数，
成立，
当
时
，故
．
22.【答案】
（1）证明：由
，得
，
又
，所以
为首项为1，公比为
的等比数列
（2）解：由（1）得，
，即
.
所以
①
②
由①
-
②得，
所以
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