4.4 数学归纳法 同步练习 （含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教A版2019
选修二
4.4
数学归纳法
一、单选题
1.观察下列式子:
，
，
，…，则可归纳出
小于（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
2.用数学归纳法证明等式
时，从
到
等式左边需增添的项是（???
）
A.?
?B.?
C.?
D.?
3.用数学归纳法证明“
能被
整除”的过程中，
时，为了使用假设，应将
变形为（???
）
A.?????????B.?????????C.?????????D.?
4.对于不等式
，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
（1）当
时，
，不等式成立.（2）假设当
时，不等式
成立，当
时
.
当
时，不等式成立，则上述证法（???
）
A.?过程全部正确?????????????????????????????????????????????????????B.?
验得不正确
C.?归纳假设不正确??????????????????????????????????????????????????D.?从
到
的推理不正确
5.用数学归纳法证明
，当
时，等式左边应在
时的基础上加的项是（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?1
6.用数学归纳法证明：
(
)的过程中，从“
到
”左端需增加的代数式为（??
）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
7.用数学归纳法证明等式
时，当
时，左边等于（???
）
A.?1?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
8.已知不等式1+
，1+
，1+
，……均成立，照此规律，第五个不等式应为1+
<（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
9.用数学归纳法证明
时，第一步应验证不等式（???
）
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
10.用数学归纳法证明：“
”时，从
到
，等式的左边需要增乘的代数式是（）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
11.用数学归纳法证明等式，
时，由
到
时，等式左边应添加的项是（
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
12.用数学归纳法证明：
时，从“
到
”等式左边的变化结果是（???
）
A.?增乘一个因式
?????????????????????????????????????????B.?增乘两个因式
和
C.?增乘一个因式
???????????????????????????????????????D.?增乘
同时除以
二、填空题
13.观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有________小圆圈.
14.用数学归纳法证明
能被
整除时，从
到
添加的项数共有________项（填多少项即可）．
15.若数列
满足
，
，则
________．
16.已知
，则
________.
三、解答题
17.用数学归纳法证明：
18.观察下列等式：
．
．．．．．
按照以上式子的规律：
（1）写出第5个等式，并猜想第
个等式；
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第
个等式成立．
19.已知数列
的前
项和
，满足
，且
．
（1）求
、
、
；
（2）猜想
的通项公式，并用数学归纳法证明．
20.已知数列
，
，其中
为等差数列，且满足
，
，
，
．
（1）求数列
，
的通项公式；
（2）设
，求证：
．
21.设数列{an}满足a1=3，
．
（1）计算a2
，
a3
，
猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn
．
22.
个正数排成
行
列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数
的等比数列.
已知
，
，
.
（1）设
，求数列
的通项公式；
（2）设
，求证：
(
)；
（3）设
，请用数学归纳法证明：
.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
解：由已知式子可知所猜测分式的分母为
，分子第
个正奇数，即
，
.
故答案为：C.
2.【答案】
C
解：当
时，左边
，共
个连续自然数相加，
当
时，左边
，
所以从
到
，等式左边需增添的项是
。
故答案为：C.
3.【答案】
A
解：解：假设当
时，命题成立，
即
能被3整除，
则当
时，
?
?
?
。
故答案为：A.
4.【答案】
D
解：在
时，没有应用
时的假设，即从
到
的推理不正确.
故答案为：D.
5.【答案】
C
解：等号左边加的项是
,
,
故答案为：C
6.【答案】
D
解：当
时，左端为
，当
时，左端为
，故增加的代数式为
.
故答案为：D.
7.【答案】
C
解：用数学归纳法证明：
，
在验证
时，
令
代入左边的代数式，得到左边
.
故答案为：C
8.【答案】
C
解：前三个不等式右边依次是
，可归纳为：第
个为
．因此第4个应为
，第5个应为
，
故答案为：C．
9.【答案】
C
解：因为用数学归纳法证明
，
所以第一步先验证，当
时，
不等式
是否成立.
故答案为：C
10.【答案】
D
解：当
时，左边
，
当
时，左边
，
所以由
到
时，等式左边应该增乘的代数式是
.
故答案为：D
11.【答案】
C
解：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由
到
时，等式左边增加了
，
故答案为：C.
12.【答案】
C
解：当
时，则有
；
当
时，则有
.
，故从“
到
”等式左边的变化结果是：增乘一个因式
.
故答案为：C.
二、填空题
13.【答案】
n2-n+1
解：观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，…，故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.
故答案为：n2-n+1
14.【答案】
5
解：当
时，原式为：
，
当
时，原式为
，
比较后可知多了
，共5项.
故答案为：5
15.【答案】
解：解：∵
，
，
∴
，
∴
，解得
，或
（舍去），
∴
，解得
，或
（舍去），
依次代入有，
，
，……，
∴猜想
，
下面用数学归纳法证明
当
时，显然成立；
假设当
时，令
，
则当
时，
由
得，
，
∴
，
即
，
∴
，或
（舍去），即假设成立.
∴
，
，即
.
故答案为：
．
16.【答案】
解：
，
故答案为
三、解答题
17.【答案】
证明：①当
时，左边
，右边
，左边
右边
②假设
时等式成立，
即
那么当
时，
可得
，
即等式成立.
综合①②可得等式成立
18.【答案】
（1）解：第5个等式为
．第
个等式为
，
（2）证明：①当
时，等式左边
，等式右边
，所以等式成立．
②假设
时，命题成立，即
，
则当
时，
，
即
时等式成立．
根据①和②，可知对任意
等式都成立
19.【答案】
（1）解：对任意的
，
，且
．
当
时，
，整理得
，且
，所以
；
当
时，
，整理得
，且
，所以
；
当
时，
，整理得
，且
，所以
（2）解：由（1）猜想
，
，
下面用数学归纳法加以证明：
①当
时，由（1）知
成立；
②假设当
时，
成立．
当
时，
，
所以
，且
，
所以
，即当
时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切
都成立．
20.【答案】
（1）解：当
，时，
，
已知
，
，解得
，公差
，
.
因此
，
，
累加得
;
（2）解：法一：
,
.
法二：因为
时，
，成立，
时，
成立.
下面用数学归纳法证明
时不等式
成立.
①当
时，
成立.
②假设
时，
成立,
那么
时，
.
要证
成立,
只要证
成立,
只要证
,
只要证
，显然成立,
所以，当
时，不等式
成立.
根据（1）（2）不等式对任意
，
成立.
所以对任意
，不等式
成立.
21.【答案】
（1）解：由题意可得
，
，
由数列
的前三项可猜想数列
是以3为首项，2为公差的等差数列，即
，
证明如下：
当
时，
成立；
假设
时，
成立.
那么
时，
也成立.
则对任意的
，都有
成立
（2）解：由（1）可知，
，①
，②
由①
②得：
，
即
.
22.【答案】
（1）解：由题意，数列
是等差数列，设首项为
，公差为
，
由
，
得
解得
，
.
故数列
的通项公式为
.
（2）解：由（1）可得
，再由已知
，得
，解得
，由题意舍去
.
.
由指数函数的性质，有
(
).
（3）解：(i)当
时，
，等式成立.
(ii)假设当
时等式成立，即，
当
时，
，
等式成立.
根据(i)和(ii)可以断定，
对任何的
都成立.
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