5.1 导数的定义及几何意义 同步练习 （含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教A版2019
选修二
5.1
导数的定义及几何意义同步练习
一、单选题
1.函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为(??
)
A.?f′(x0)＝
???????????????????????????B.?f′(x0)＝
C.?f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)?????????????????????????????????????D.?f′(x0)＝
2.函数
的图像在点
处的切线方程是
,则
(??
)
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
3.已知曲线
在点
处切线的斜率为1，则实数
的值为（
??）
A.?2?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?-1
4.已知曲线
的一条切线的斜率为
，则切点的横坐标为（??
）
A.????????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
5.函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为（??
）
A.?0??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?
6.设曲线
在
处的切线斜率为
，则
的值为（???
）
A.?????????????????????????????B.?-1????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?1
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段
上的平均速度分别为
，则三者的大小关系为（???
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
8.曲线
在
处的切线
过原点，则
的方程是（???
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
9.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac
Newton,1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法—用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程f（x）=0的根就是函数f（x）的零点r，取初始值x0
，
在
处的切线与x轴的交点为x1
，
f（x）在x1处的切线与x轴的交点为x2
，
一直继续下去，得到
，它们越来越接近r．若
，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为（??
）
A.?1.438??????????????????????????????????B.?1.417??????????????????????????????????C.?1.416??????????????????????????????????D.?1.375
10.函数
的图象如图所示，
为函数
的导函数，下列数值排序正确是（??
）
A.????????????????????????????B.?
C.????????????????????????????D.?
11.已知点P在曲线
上，
为曲线在点P处的切线的倾斜角，则
的取值范围是(
)
A.?[0，
)????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
12.2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面
处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约
降为零．14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则（???
）
A.?????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????D.?
二、填空题
13.设
，则曲线
在点
处的切线的倾斜角是________．
14.对于三次函数
，定义：设
是函数
的导数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数
，计算
________.
15.若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
________．
16.已知函数
的图像在点
处的切线方程是
，则
________.
三、解答题
17.设
是二次函数，其图象过点
，且在点
处的切线为
．
（1）求
的表达式；
（2）求
的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
18.已知曲线
y
=
x3
+
x－2
在点
P0
处的切线
平行于直线4x－y－1=0，且点
P0
在第三象限,
（1）求P0的坐标;
（2）若直线
,
且
l
也过切点P0
,求直线l的方程.
19.已知曲线
在点
处的切线方程是
.
（1）求
，
的值；
（2）如果曲线
的某一切线与直线
：
垂直，求切点坐标与切线的方程.
20.已知函数f(x)＝
x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
（1）求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
解：B中f′(x0)＝
，右边的式子表示函数值的变化量的极限，趋近于0；C中f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，右边的式子表示函数值的变化量；D中f′(x0)＝
，右边的式子表示函数的平均变化率．
故答案为：A
2.【答案】
B
解：当x=5时，y=3，即f(5)=3，又
，
则
，
故答案为：B.
3.【答案】
D
解：因为
，?
，?
因为
处切线斜率为1，所以
，?
，解得
，
故答案为：D.
4.【答案】
D
解：
，设切点横坐标为
，
。
故答案为：D
5.【答案】
B
解：欲判别切线的倾斜角的大小，只须求出其斜率的正负即可，故先利用导数求出在x=4处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决，根据题意，由于
，则可知
，那么可知f’(0)=1，可知该点的切线的斜率为1，可知倾斜角为
。
故答案为：B.
6.【答案】
B
解：由题得
所以
，
。
故答案为：B
7.【答案】
C
解：由题意得，
，由题图易知
，
∴
，
故答案为：C.
8.【答案】
A
解：解：曲线
，
，切点为
，
所以切线
的斜率
，
又直线
过原点，所以
，
得
，
．所以
，故切线
的方程为
即
．
故答案为：A．
9.【答案】
B
解：解：f（x）=x2-2（x>0），则f'（x）=2x（x>0），当x0=2时，f（x0）=2，f'（x0）=4，则切线方程为y-2=4（x-2），
令y=0，则x1=1.5，f（x1）=0.25，f'（x1）=3，则切线方程为y-0.25=3（x-1.5），再令y=0，则x2≈1.417，所以B正确.
故答案为：B
10.【答案】
B
解：由
图象可知，
在
处的切线斜率大于在
处的切线斜率，且斜率为正，
，
，
可看作过
和
的割线的斜率，由图象可知
，
.
故选：
.
11.【答案】
D
解：因为，
，所以，
，即
，由
，所以，
的取值范围是
，故选D。
12.【答案】
D
解：解：探测器与月球表面距离逐渐减小，所以
；
探测器的速度逐渐减小，所以
。
故答案为：D。
二、填空题
13.【答案】
解：因为
=
，
所以
，
则曲线
在点
处的切线斜率为
，即
，
又
所以所求切线的倾斜角
为
．
故答案为：
14.【答案】
2019
解：由题可知：
，则
，
所以
令
，则
，又
，
故
的对称中心为
，故
，
令
所以
所以
，则
故答案为：2019.
15.【答案】
1-ln2
解：对函数
求导得
，对
求导得
，设直线
与曲线
相切于点
，与曲线
相切于点
，则
，由点
在切线上得
，由点
在切线上得
，这两条直线表示同一条直线，所以
，解得
。
16.【答案】
1
解：因为函数
的图像在点
处的切线方程是
，
即
，且
故
故答案为：1
三、解答题
17.【答案】
（1）解：设
，
过点
，
，
在点
处的切线为
且
，
，解得：
，
；
（2）解：
的图象与两坐标轴所围成的图形如下图阴影部分所示，
所求面积
.
18.【答案】
（1）解：由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．
当x=1时，y=0；
当x=-1时，y=-4．
又∵点P0在第三象限，
∴切点P0的坐标为（-1，-4）；
（2）解：∵直线
l⊥l1
，
l1的斜率为4，
∴直线l的斜率为-1/
4
，
∵l过切点P0
，
点P0的坐标为（-1，-4）
∴直线l的方程为y+4=
（x+1）即x+4y+17=0．
19.【答案】
（1）解：∵
的导数
，
由题意可得
，
，
解得
，
.
（2）解：∵切线与直线
垂直，
∴切线的斜率
.设切点的坐标为
，
则
，∴
.
由
，可得
，或
.
则切线方程为
或
.
即
或
.
20.【答案】
（1）解：由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
（2）解：设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－
]∪(1,3)∪[2＋
，＋∞)
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