5.2导数的计算 同步练习 （含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教A版2019
选修二
5.2导数的计算
同步练习
一、单选题
1.若函数
，则
（?????
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
2.已知
，则
等于（?????
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
3.函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是（???
）
A.?y＝un
，
u＝x2－1
B.?y＝(u－1)n
，
u＝x2
C.?y＝tn
，
t＝(x2－1)n
D.?y＝(t－1)n
，
t＝x2－1
4.下列求导结果正确的是（???
）
A.??????????????B.?
???C.??????????????D.?
5.设函数f(x)＝
，若f′(－1)＝4，则a的值为(??
)
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
6.设
，则
（??
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
7.下列求导数运算正确的是（???
）
A.????????????
?B.?
???C.???????????
??D.?
8.已知
，则下列命题中，正确的命题是（???
）
A.?当
，
，当
，
B.?当
，
，当
时，
无意义
C.?当
时，都有
D.?因为
时，
无意义，所以对
不能求导.
二、多选题
9.给出定义：若函数
在
上可导，即
存在，且导函数
在
上也可导，则称
在
上存在二阶导函数，记
，若
在
上恒成立，则称
在
上为凸函数．以下四个函数在
上不是凸函数的是（???
）
A.????????????B.????????????C.????????????D.?
10.已知
，下列结论正确的是（???
）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
11.以下函数求导正确的是（???
）
A.?若
，则
B.?若
，则
C.?若
，则
D.?若
，则
12.若函数
的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称
具有T性质，下列函数中具有T性质的是（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
三、填空题
13.已知
，则
________．
14.己知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0
，
y0)，则
的最小值是________.
15.
，若
，则
________．
16.已知函数f(x)＝axln
x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________.
四、解答题
17.求下列函数的导函数
（1）
；
（2）
．
18.??
（1）已知
，请用导数的定义证明：
；
（2）用公式法求下列函数的导数：①
；②
.
19.设函数
．
（1）求导函数
；
（2）若曲线
在点
处的切线方程为
，求a，b的值．
20.若锐角
中，角
所对的边分别为
，若
的图像在点
处的切线与直线
垂直，求
面积的最大值.
21.已知
，函数
的导函数为
．
（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求
的值．
22.??
（1）函数
的导数为
，求
；
（2）设
是函数
图象的一条切线，证明：
与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
解：因为f（x）=lnx，所以
，
则
，
故答案为：B
2.【答案】
B
解：由题意得
，
令x=1，得
，
则
，
所以
，
则
，
故选B.
3.【答案】
A
解：函数y＝(x2－1)n
，
可由y＝un
，
u＝x2－1，利用复合函数求导.
故答案为：A.
4.【答案】
C
解：对于A选项，
，A选项错误；
对于B选项，
，B选项错误；
对于C选项，
，C选项正确；
对于D选项，
，D选项错误.
故答案为：C.
5.【答案】
D
解：函数
的导函数
，因为f′(－1)＝4，即
，
解得
。
故答案为：D
6.【答案】
C
解：
，故
。
故答案为：C
7.【答案】
C
解：解：A、（x
）′＝1
，故错误；
B、（3x）′＝3xln3，故错误；
C、符合对数函数的求导公式，故正确；
D、（x2cosx）′＝2xcosx﹣x2sinx，故错误．
故答案为：C．
8.【答案】
C
解：当
时，
，
；当
时，
，
.
故答案为：C.
二、多选题
9.【答案】
A,D
解：对于A，
，
，
当
时，
，
，故
不是凸函数；
对于B，
，
，故
是凸函数；
对于C，
，对任意的
，
，故
是凸函数；
对于D，
，对任意的
，
，故
不是凸函数．
故答案为：AD．
10.【答案】
A,C
解：∵
，
∴
，
∴
，即A符合题意；
，即B不符合题意，C符合题意；
，D不符合题意，
故答案为：AC.
11.【答案】
A,C
解：对A，
，A符合题意
对B，
，B不符合题意
对C，
所以C符合题意
对D，
，D不符合题意
故答案为：AC
12.【答案】
A,D
解：由题意
具有T性质，则存在
，
，使得
.
对于A，因为
，存在
，
，使得
；
对于B，因为
，不存在
，
，使得
；
对于C，因为
，不存在
，
，使得
；
对于D，因为
，存在
，
，使得
.
故答案为：AD.
三、填空题
13.【答案】
-2017
解：
，故
，
则
，解得
。
故答案为：
。
14.【答案】
4
解：对
求导得
，
因为直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0
，
y0)，
所以
即
，
所以
，所以切点为
，
由切点
在切线y=x－a上可得
即
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立.
所以
的最小值是4.
故答案为：4.
15.【答案】
1
解：由题意，函数
，可得
，
因为
，可得
，即
，解得
.
故答案为：
.
16.【答案】
4
解：
，由
的图像在
处的切线方程为
，易知
，即
，
，即
，则
，故答案为4。
四、解答题
17.【答案】
（1）解：
（2）解：
，
所以
.
18.【答案】
（1）证明：
；
（2）解：①
，则
；
②
，则
．
19.【答案】
（1）解：由
，
得
（2）解：由题意得，切点既在曲线
上，又在切线
上，
将
代入切线方程，得
，
将
代入函数
，得
，
所以
．
将
代入导函数
中
得
，
所以
20.【答案】
解：
，
依题意，有：
从而有：
由
，
，
依正弦定理，有
，
同理
，
从而有：
，
?
，
当
时，取到最大值
，
因此，
的面积最大值为
.
21.【答案】
（1）解：若
，则
，所以
，
则
，即曲线
在点
处的切线斜率为
，
又
，
所以所求切线方程为：
（2）解：由
得
，
所以
，
，
，
因此
.
22.【答案】
（1）解：
，
则
，
所以
；
（2）解：设切点为
，
∵
，
，∴切线
的斜率
，
∴切线
的方程为：
，
令
，得
，
令
，得
，
所以
与坐标轴所围成的三角形的面积
，
因此
与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．
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