4.2 等差数列 同步练习 （含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教A版2019选修二
4.2
等差数列
一、单选题
1.等差数列
、
、
、
的第五项等于（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?5??????????????????????????????????????????D.?16
2.已知数列
的前
项和
满足
，且
，则
（???
）
A.?100??????????????????????????????????????B.?110??????????????????????????????????????C.?120??????????????????????????????????????D.?130
3.已知公差不为0的等差数列
中，
，
，则
（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.?5??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?40
4.在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在
的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列
，则数列
的项数为（???
）
A.?101???????????????????????????????????????B.?100???????????????????????????????????????C.?99???????????????????????????????????????D.?98
5.设数列
中，
，
，则
（???
）
A.?180??????????????????????????????????????B.?190??????????????????????????????????????C.?160??????????????????????????????????????D.?120
6.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（???
）
A.?10层????????????????????????????????????B.?11层????????????????????????????????????C.?12层????????????????????????????????????D.?13层
7.等差数列
中，
，前
项和为
，若
，则
（???
）
A.?1010???????????????????????????????????B.?2020???????????????????????????????????C.?1011???????????????????????????????????D.?2021
8.已知数列
、
都是等差数列，设
的前
项和为
，
的前
项和为
.若
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
二、多选题
9.等差数列
是递增数列，公差为
，前
项和为
，满足
，下列选项正确的是（???
）
A.??????????????????B.??????????????????C.?当
时
最小?????????????????D.?
时
的最小值为
10.在等差数列
中，已知
，
，
是其前
项和，则（???
）．
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
11.朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（???
）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
12.已知数列
是首项为1，公差为d的等差数列，则下列判断正确的是（???
）
A.?a1＝3??????????B.?若d＝1，则an＝n2+2n??????????C.?a2可能为6??????????D.?a1
，
a2
，
a3可能成等差数列
三、填空题
13.已知等差数列
的前n项和为
，且
，则
________．
14.已知数列
，则该数列的前
项和为________.
15.记等差数列
的前
项和为
，若
，则
________.
16.已知等差数列
的前
项和为
，且
，
，
，则
________.
四、解答题
17.等差数列
中，
，
.
（1）求
的通项公式；
（2）求
.
18.设
为等差数列，
为数列
的前n项和，已知
，
.
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前n项和
.
19.已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn
，
已知a5＝5，S5＝15．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设an＝log2bn
，
求数列{bn}的前n项和Tn
．
20.等差数列
的前
项和为
，若
，
.
（1）求
的通项公式；
（2）设
，求
的前
项和
.
21.已知等差数列数列
的前
项和为
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）求
.
22.已知等差数列
的前项和为
，
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）证明：当
时，
.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
解：因为1、
、
、
成等差数列，所以
，解得
，
所以这个等差数列的每一项均为1．
故答案为：B.
2.【答案】
C
解：对于
：
当
时，
，解得
；
①．又当
时，
②，所以①
②得
③，当
时，
④，
所以④
③得
，
可得
，所以数列
为等差数列，设其公差为
，因为
，解得
．又
，且易得
，
，所以
，故
。
故答案为：C
．
3.【答案】
A
解：设数列公差为
，则由已知得
，由于
，故解得
，
所以
。
故答案为：A．
4.【答案】
A
解：由题意可知，数列
中的项由小到大排列依次为21、41、61、81、
，
可知数列
是以21为首项，以20为公差的等差数列，则
，
由
可得
，解得
，
，则
，
因此，数列
的项数为101.
故答案为：A.
5.【答案】
B
解：
，
数列
是等差数列，且
所以
，
，
即
.
故答案为：B
6.【答案】
C
解：设该数列为
，依题意可知，
，…成等差数列，且公差为2，
，
设塔群共有
层，则
，
解得
，
所以该塔共有12层，
故答案为：C.
7.【答案】
B
解：依题意
，
即
，
即
，
所以
.
故答案为：B
8.【答案】
A
解：∵
，
∴
，
故答案为：A
二、多选题
9.【答案】
B,D
解：由于等差数列
是递增数列，则
，A选项错误；
，则
，可得
，B选项正确；
，
当
或
n=
时，
最小，C选项错误；
令
，可得
，解得
或
，
，所以，满足
时
的最小值为
，D选项正确.
故答案为：BD.
10.【答案】
A,C,D
解：由已知条件得
，解得
，
对于A选项，
，A选项正确；
对于B选项，
，B选项错误；
对于C选项，
，C选项正确；
对于D选项，
，
，所以，
，D选项正确.
故答案为：ACD.
11.【答案】
B,D
解：依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为
，公差为
，设一共放
层，则总得根数为：
整理得
，
因为
，所以
为200的因数，
且为偶数，
验证可知
满足题意.
故答案为：BD.
12.【答案】
A,C,D
解：因为
，
，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n)，若d＝1，则an＝n(n+2n)；若d＝0，则a2＝6.因为a2＝6+6d，a3＝11+22d，所以若a1
，
a2
，
a3成等差数列，则a1+a3＝a2
，
即14+22d＝12+12d，解得
，
故答案为：ACD。
三、填空题
13.【答案】
270
解：等差数列
的前
项和为
且
解得
,
故答案为：270.
14.【答案】
解：由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n项和，
由公式可得：
，
求和得：
.
故答案为：
15.【答案】
0
解：设等差数列
的公差
，
由
，可得：
，
∴
，
即
，
故答案为：0
16.【答案】
4
解：
，
，
所以公差
，
,得
，
所以
，解得
。
故答案为:4。
四、解答题
17.【答案】
（1）解：设
的公差为
，则
，解得
，
，所以
（2）解：由（1）知
，
∴
．
?
18.【答案】
解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，
则由题意得
，解得
，
所以
；
（Ⅱ）由（1）得
，则
，
所以
，数列
是首项为
，公差为
的等差数列，
所以
.
19.【答案】
（1）解：设等差数列的公差为d，则
，解之得
，
所以数列{an}的通项公式为
；
（2）解：
，
由此可得
，数列{bn}的是首项为2,公比为2的等比数列.
因此，可得{bn}前n项和
.
20.【答案】
（1）解：
的首项为
，公差为
，
因为
，所以
解得
所以
.
（2）解：
，
所以
.
21.【答案】
（1）解：由题可知
，解得
，
所以
.
（2）解：由（1）知
，
.
22.【答案】
（1）解：设等差数列
的公差为
因为
，
，可得
，解得
所以
故数列
的通项公式为
；
（2）证明：由（1）有
所以
，
故当
时，
.
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