5.3 导数在函数研究中的应用 同步练习 （含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教版2019
选修二
5.3
导数在函数研究中的应用
同步练习
一、单选题
1.已知函数
在
处有极值，则
等于（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
2.曲线
在
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（???
）
A.?e??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
3.已知函数
有三个零点，则实数
的取值范围是（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
4.若
，则
的单调递增区间为（??
）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
5.若
，“
”是“函数
在
上有极值”的（???
）．
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件
???C.?充要条件????????
?????D.?既不充分也不必要条件
6.已知函数
，则
（??
）
A.?是奇函数，且在
单调递减?????????????????????B.?是奇函数，且在
单调递增
C.?是偶函数，且在
单调递减?????????????????????D.?是偶函数，且在
单调递增
7.已知函数
，若不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围是（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
8.函数
的图象大致是(???
)
A.?????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????????????D.?
二、多选题
9.已知函数
，则（???
）
A.?存在a使得
恰有三个单调区间
B.?
有最小值
C.?存在a使得
有小于0的极值点
D.?当
且
时，
10.已知函数f(x)=x3-3lnx-1，则（???
）
A.?f(x)的极大值为0?????????????????????????????????????????????????B.?曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线为x轴
C.?f(x)的最小值为0?????????????????????????????????????????????????D.?f(x)在定义域内单调
11.已知函数
的定义域为
，部分函数值如表1，
的导函数
的图象如图1.下列关于函数
的性质，正确的有（???
）
A.?函数
在
是减函数
B.?如果当
时，
的最大值是2，那么
的最大值为4
C.?函数
有4个零点，则
D.?函数
在
取得极大值
12.定义在
上的函数
，
是
的导函数，且
恒成立，则（???
）
A.???????????B.?
??C.???????????D.?
三、填空题
13.已知
是定义域为
的函数
的导函数，若对任意实数
都有
，且有
，则不等式
的解集为________．
14.已知函数
对
均有
，若
恒成立，则实数m的取值范围是________.
15.已知函数
，有下列命题：
①函数
的图像在点
处的切线为
；
②函数
有3个零点；
③函数
在
处取得极大值；
④函数
的图像关于点
对称
上述命题中，正确命题的序号是________．
16.函数
在区间
上的最小值为________．
四、解答题
17.已知函数
.
（1）若
，求
的最小值；
（2）求函数
的单调区间.
18.已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
恒成立，求正整数
的最大值．
参考数据：
．
19.已知函数
.
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）证明∶对任意的
，都有
.
20.已知函数
.
（1）若
在
上单调递增，求
的取值范围；
（2）证明：
，
.
21.设函数
.
（1）若
，
有两个零点，求
的取值范围；
（2）若
，求证：
.
22.已知
，
（1）求函数
的单调区间；
（2）已知
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】【解答】
，则
，
由题意知
，即
，所以
，
所以
.
故答案为：B
2.【答案】
C
【解析】【解答】对函数
求导得
，
所以，曲线
在
处的切线斜率为
，且
，
所以，
在
处的切线方程为
，即
，
直线
交
轴于点
，交
轴于点
，
因此，所求三角形的面积为
.
故答案为：C.
3.【答案】
B
【解析】【解答】由
，
设
，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，
，
因为函数
有三个零点，故
．
故答案为：B
?
4.【答案】
D
【解析】【解答】解：由题得
令
因为x>0，所以x>2.
故答案为：D.
5.【答案】
A
【解析】【解答】由题意，函数
，则
，
令
，可得
，
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
处取得极小值，
若函数
在
上有极值，则
，解得
．
因此“
”是“函数
在
上有极值”的充分不必要条件．
故答案为：A．
6.【答案】
D
【解析】【解答】因为
，
,定义域关于原点对称，
且
，
所以
是偶函数，
当
时，
，
所以
在
单调递增，
故答案为：D
7.【答案】
C
【解析】【解答】由
得：
，即
∴
在
上恒成立；
∵
在
上单调递增，
∴
在
上恒成立；
∴
在
上恒成立，
构造函数
，
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
∴
，∴
，解得
.
故答案为：C.
8.【答案】
D
【解析】【解答】因为
，所以函数的奇函数，排除答案A
、C
，又当
时，
，
，函数
单调递减，故排除答案B，
故答案为：D．
二、多选题
9.【答案】
B,C
【解析】【解答】
，
，
当
时，
，
单增，
又
，
，∴
在
内存在唯一零点，记为
，则
在
上单减，在
上单增，
既是极小值又是最小值；
当
时，
在
和
上单增，在
上单减，
，
，
若
，则
，
在
上有两个零点，记为
，在
上有一个零点，记为
，则
在
和
上单减，在
和
上单增，
为小于0的极小值点，
和
中的较小者即为
的最小值；
若
，则
，
只在
上存在唯一零点，记为
，
在
上单减，在
上单增，
为最小值；B、C符合题意，A不符合题意；
对于D，当
时，
，
，
取
，则有
，D不符合题意．
故答案为：BC
10.【答案】
B,C
【解析】【解答】f(x)=x3-3lnx-1的定义域为
，
令
，得
，
列表得：
x
(0,1)
1
(1,+∞)
-
0
+
f(x)
单减
?
单增
所以f(x)的极小值，也是最小值为f(1)=0，无极大值，在定义域内不单调；C符合题意，A、D不符合题意；
对于B:由f(1)=0及
，所以y=f(x)在（1，f(1))处的切线方程
，即
.B符合题意.
故答案为：BC
11.【答案】
A,C
【解析】【解答】由导函数
的图像可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减；
A符合题意；
B.如果当
时，
的最大值是2，由函数单调性可知：
的最大值为
，B不符合题意；
C.函数
有4个零点，即
图像与
有
个交点，由
的定义域为
，且
，
取得最大值为
，所以
时，有两个交点，因此
；C符合题意；
D.因为函数
在
上单调递增，所以
处不可能取得极值，D不符合题意.
故答案为：AC.
12.【答案】
C,D
【解析】【解答】依题意
，
由
，得
，
构造函数
，
，
所以
在
上递减，
，
，
，
所以
，
。
故答案为：CD
三、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】构造函数
，
，所以
在
上递增.
，
，
所以不等式
的解集
故答案为：
14.【答案】
(-∞,-e]
【解析】【解答】∵函数f（x）对x∈R均有f（x）+2f（﹣x）＝mx﹣6①，
∴将﹣x换为x，得f（﹣x）+2f（x）＝﹣mx﹣6②，
∴由①②，解得f（x）＝﹣mx﹣2．
∵f（x）≥lnx恒成立，∴m
恒成立，
∴只需m
．
令
，则g'（x）
，
令g'（x）＝0，则x
，
∴g（x）在（0，
）上单调递减，在（
，+∞）上单调递增，
∴
，∴m≤﹣e，
∴m的取值范围为（﹣∞，﹣e]．
故答案为：（﹣∞，﹣e]．
15.【答案】
①②④
【解析】【解答】①
，
，且
，
函数
的图像在点
处的切线为
，①正确；
②令
解得
或
，
函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
在
上各有一点
使
，即函数
有3个零点，②正确；
③由②知函数
在
处取得极小值，③错误；
④令
，因为
，
所以函数
为奇函数，则
的图像关于原点对称，
将函数
的图像向右平移一个单位再向上平移一个单位可得函数
，
所以函数
的图像关于点
对称，④正确.
16.【答案】
-2
【解析】【解答】由
，得
.
令
，解得
，
.
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以最小值为
.
故答案为：-2.
四、解答题
17.【答案】
（1）解：若
，
定义域为
，
，
由
可得
，
由
可得
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
的最小值为
；
（2）解：
①当
时，
，由
可得
，
由
可得
，
此时
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
②当
时，由
可得
或
由
可得
，
此时
的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
，
③当
时，
恒成立，此时
的单调递增区间为
，
④当
时，由
可得
或
，
由
可得
，
此时
的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
，
综上所述：当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
，
当
时，
的单调递增区间为
，
当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
，?
18.【答案】
（1）解：
，因为
则
当
，即
时，
对
恒成立，∴
在
上单调递减．
当
，即
时，令
，得
，
由
，解得：
，由
．解得：
．
所以
在
单调递增，在
单调递减
综上所述，当
，
在
上单调递减；
当
时，在
单调递增，在
单调递减．
（2）解：∵当
时，
，即
对
恒成立．
令
，得
，令
，则
，
因为
，所以
，
是增函数，
因为
，
，
所以
，使
，
由
，得：
，
当
，
，
单调递减，当
，
，
单调递增．
所以
时，
取得最小值，为
，所以
，
又
为正整数，所以
，所以正整数
的最大值为4．
19.【答案】
（1）解：函数
的定义域为
，由题得
.
又
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.
（2）解：
.
由于
，令
，得
；
所以当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，
所以对任意的
，都有
.
20.【答案】
（1）解：
，
若
在
上单调递增，则
，即
，
设
，则
，因为
，所以
，
故
在
上单调递增，所以
，所以
.
所以
的取值范围为
.
（2）证明：设
，则
，所以
在
上单调递增，
所以
，所以
，
所以
时，
，当
时，显然
，
故
时，
.
设
，则
，
，
则
在
上单调递增，
所以
，所以
在
上单调递增，所以
，
即
.
所以
.
所以
，
只需证
，即证
.
设
，则
，
，
所以
在
上单调递增，所以
，所以
在
上单调递增，
.
故
成立，所以，当
时，
.
综上所述，
，
.
21.【答案】
（1）解：当
时，
.则
，
若
，
，
单调递增，不合题意.
若
，由
得
.
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增，
此时，所以
的极小值为
，
有两个零点，则
，即
，所以
，
故
的取值范围是
.
（2）解：由题意可得：
，
若
，
，
单调递增，当
时，
，此时存在
，使得
，不符合题意.
若
，由
，知
，即
，满足
.
若
，由
得
，当
时，
，当
时，
，
则
在
时极小值，也即为最小值，
则有
，
所以
，则
.
令
，则
，
可知
单调递减，由于
，
，
故存在
，使得
，即有
.
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
所以，当
时，
取得最大值.
，
由于
在
单调递增，故
.
所以，
.
22.【答案】
（1）解：
的定义域是
，又
，
令
，解得：
或
，
，
，
的变化如下：
0
2
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
故
在
递增，在
递减，在
递增；
（2）解：
的定义域是
，
当
时，由
可知：
，
令
，（
），
则
，
令
，则
或
，
故
在
递减，在
递增，
故
在
上的最小值是
，
故
，即
的取值范围是
.
?
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