基础知识检测12（第9章-第15章）-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册WORD含解析

高一下学期数学基础知识检测（12）
考查知识点：苏教版必修第二册
第九章《平面向量》、第十章《三角恒等变换》、第十一章
《解三角形》、第十二章《复数》、第十四章《统计》、第十五章《概率》
一、单选题
1．已知为复数，，则等于（
）
A．0
B．1
C．
D．2
2．下列调查中属于抽样调查的是（
）
①每隔5年进行一次人口普查；②调查某商品的质量优劣；③某报社对某个事情进行舆论调查；④高考考生的身体检查．
A．②③
B．①④
C．③④
D．①②
3．从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和不大于9”这一事件包含的样本点的个数是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
4．下列结论中，正确的是（
）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．若向量与都是单位向量，则
C．若向量与是平行向量，则与的方向相同
D．若两个向量相等，则它们的模相等
5．已知锐角、满足，则的最小值为（
）
A．4
B．
C．8
D．
6．如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数，…的图形之一，此图形中的余弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
7．在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（
）
A．48
B．49
C．50
D．51
8．已知
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的取值范围为（
）
A．（，）
B．
C．
D．
二、多选题
9．某工厂生产A?B?C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2：5：3，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则（
）
A．此样本的容量n为20
B．此样本的容量n为80
C．样本中B型号产品有40件
D．样本中B型号产品有24件
10．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（
）
A．
B．
C．的共轭复数为
D．的虚部为1
11．已知向量，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．向量的夹角为
D．在方向上的投影是
12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列命题，其中正确的命题为（
）
A．若，则；
B．若，则满足条件的有两个；
C．若，则是钝角三角形；
D．存在角A，B，C，使得成立；
三、填空题
13．袋中有4个小球，分别为2个白球，1个蓝球和1个黑球．现在从袋中无放回地依次摸出2个球，则摸出的球全为白球的概率为__．
14．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为______．
15．在中，，，有下述四个结论：
①若为的重心，则
②若为边上的一个动点，则为定值2
③若，为边上的两个动点，且，则的最小值为
④已知为内一点，若，且，则的最大值为2
其中所有正确结论的编号是______．
16．（双空题）已知函数，，则函数的最大值是__________，且取到最大值时的集合是__________．
四、解答题
17．有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某海鲜市场进口了一批这种鱼，质监部门对这种鱼进行抽样检测，在30条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下：
0.07
0.34
0.95
0.98
1.02
0.98
1.37
1.40
0.39
1.02
1.44
1.58
0.54
1.08
0.71
0.70
1.20
1.24
1.62
1.68
1.85
1.30
0.81
0.82
0.84
1.39
1.26
2.20
0.91
1.31
（1）完成下面频率分布表，并画出频率分布直方图；
频率分布表：
分组
频数
频率
1
合计
30
1
频率分布直方图：
（2）根据频率分布直方图估算样本数据的平均值（保留小数点后两位，同一组中的数据用该组区间中点值代表），并根据频率分布直方图描述这批鱼身体中汞含量的分布规律．
18．已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：
（Ⅰ）cos（2α﹣β）的值；
（Ⅱ）β的值．
高一下学期数学基础知识检测（12）
考查知识点：苏教版必修第二册
第九章《平面向量》、第十章《三角恒等变换》、第十一章
《解三角形》、第十二章《复数》、第十四章《统计》、第十五章《概率》
参考答案
1．C
【分析】
由，再由求模长公式求解即可.
【详解】
由，得，
所以，
故选：C.
2．A
【分析】
一般地，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查方式，根据抽样调查与普查的特点，对序号内容逐一分析判断.
【详解】
①每隔5年进行一次人口普查，应选择普查方式；②调查某商品的质量优劣，调查过程中带有破坏性，只能采取抽样调查；③某报社对某个事情进行舆论调查，进行一次全面的调查，费大量的人力物力得不偿失，所以采取抽样调查即可；④高考考生的身体检查，必须具体到每个人，应选择普查方式，所以适合抽样调查的有②③.
故选：A.
3．B
【分析】
利用列举法可得事件包含的样本点的个数．
【详解】
样本空间为{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)，(2，3，4)}，样本点个数为5.
故选：B
4．D
【分析】
根据向量相等、单位向量、平行向量的概念进行判断.
【详解】
A．两个向量相等，则两个向量可以平移至起点和终点重合，但两个向量不一定起点和终点重合，故错误；
B．单位向量的模长都相等，但是方向不一定相同，故错误；
C．若两个向量是平行向量，则这两个向量的方向也可以相反，故错误；
D．相等向量的模长相等，方向相同，故正确，
故选：D.
5．C
【分析】
本题首先可根据得出，然后令，，则，最后通过基本不等式即可求出的最小值.
【详解】
因为，所以，
令，，则，
因为、是锐角，所以，，
则
，当且仅当，即、时等号成立，
故选：C.
【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
6．C
【分析】
在BCD中，利用余弦定理求出,再在BAD中，利用余弦定理求出的余弦值.
【详解】
在△ABC中，,
在BCD中，，
在BAD中，.
故选：C
【点睛】
方法点睛：解三角形需要三个条件，且至少有一个为边，对于未知的元素可以放到其它三角形中去求解.
7．B
【分析】
建立平面直角坐标系，假设点坐标，然后得到，然后代入并结合基本不等式进行计算即可.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，，因为，
所以，，.
因为，所以，，
所以.
当且仅当，即，时取等号.
故选:
B.
8．B
【分析】
利用余弦定理求出B的值，再根据题意利用三角恒等变换和三角函数的图象与性质，即可求得对应的取值范围．
【详解】
由，可得，
由余弦定理得，
因为，可得，
又由
，
因为，所以，所以，
所以，
即的取值范围为.
故选：B.
9．BC
【分析】
根据分层抽样的定义和方法，列出方程，即可
【详解】
根据分层抽样的定义可知，，则，
设样本中B型号的产品有件，则，
所以，即B型号的产品有件.
故选：BC.
10．AD
【分析】
由除法运算把复数化为代数形式，然后根据复数的定义与运算法则计算并判断．
【详解】
解：由已知，
，，共轭复数为，的虚部为1．
其中真命题为AD．BC为假命题．
故选：AD．
11．AC
【分析】
根据向量垂直、模、夹角的运算判断ABC选项的正确性，根据向量投影的计算公式判断D选项的正确性.
【详解】
对选项A，，因为，所以，故A正确；
对选项B，，所以，故B错误；
对选项C，，所以向量的夹角为，故C正确；
对选项D，在方向上的投影是，故D错误.
故选：AC
12．ABC
【分析】
A.利用正弦定理判断该选项正确；
B.
由于，因此满足条件的有两个，所以该选项正确；
C.
可以证明，
是钝角三角形，所以该选项正确；
D.
可以证明，所以该选项不正确.
【详解】
A.若，，由正弦定理可得：，则，所以该选项正确；
B.
若，，，则，因此满足条件的有两个，所以该选项正确；
C.
若，则，，，，是钝角三角形，所以该选项正确；
D.
由于当时，，，所以该选项不正确.
故选：ABC
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是灵活利用和角的正切公式，只有灵活运用该公式才能简洁高效地判断后面两个选项的真假.
13．
【分析】
利用相互独立事件概率乘法公式能求出摸出的球全为白球的概率．
【详解】
袋中有4个小球，分别为2个白球，1个蓝球和1个黑球．
现在从袋中无放回地依次摸出2个球，
则摸出的球全为白球的概率p＝＝
故答案为：
14．（5，）
【分析】
首先根据复数的运算法则化简复数，再根据复数的几何意义求解即可.
【详解】
解：，对应点的坐标为（5，），
故答案为：（5，）．
15．①③
【分析】
易知三角形是等腰直角三角形,
①取BC的中点D，根据为的重心，利用平面向量的基本定理求解判断；②由在上的投影为求解判断；③以A为原点，分别以AB，AC为x,y轴，建立平面坐标系，易知直线BC的方程为，设，利用数量积运算求解判断；④设，，且，易得，再由，得到求解判断.
【详解】
在中，，，所以三角形是等腰直角三角形,
如图所示：
①取BC的中点D，因为为的重心，则，故正确；
②若为边上的一个动点，向量在上的投影为，所以，故错误；
③如图所示：
以A为原点，分别以AB，AC为x,y轴，建立平面坐标系，则，直线BC的方程为，，
因为，为边上的两个动点，设，且，不妨设，
因为，则
，即，所以，
所以，当时，等号成立，所以的最小值为，故正确；
④如图所示：
，设，因为，所以，即，
设，且，又，
所以，
因为，所以，所以无最大值，则无最大值，故错误.
故答案为：①③
【点睛】
方法点睛：平面向量的基本运算方法是：一是基底法；二是坐标法.
16．
.
【分析】
利用辅助角公式进行合一计算可得函数，即可得最大值为，再利用整体法计算值即可.
【详解】
函数，又因为，所以的最大值是；此时，即.
故答案为：；.
17．（1）填表见解析；作图见解析；（2）平均值为：，答案见解析．
【分析】
（1）由样本数据，即可完善频率分布表中的数据，并画出频率直方图.
（2）由（1）的频率直方图计算样本均值，进而描述汞含量分布规律.
【详解】
（1）由题设样本数据，则可得频率分布表如下，
分组
频数
频率
3
10
12
4
1
合计
30
1
（2）根据频率分布直方图估算平均值为：
，
分布规律：
①该频率分布直方图呈中间高，两边低，大多数鱼身体中汞含量主要集中在区间；
②汞含量在区间的鱼最多，汞含量在区间的次之，在区间的最少；
③汞含量超过的数据所占比例较大，这说明这批鱼被人食用，对人体产生危害的可能性比较大．
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cos（α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；
（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值．
【详解】
（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，），
∵，，
∴sinα，cos（α﹣β），
∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα
cos（α﹣β）+
sinα
sin（α﹣β）
，
又∵，∴β．
【点睛】
关键点点睛：拆角，是本题解题关键.