福建省南安市侨光一高2020-2021学年高一下学期期中阶段考试数学试题 Word版含答案

侨光一高2020-2021学年高一下学期期中阶段考试
数学试卷
一、客观题
（一）单选题（共10小题，50分；每题只有一个正确选项，选对得5分，选错得0分.）
1．复数，则的虚部是( 　)
A． B． C． D．
2.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是( 　)
A. 平均数中位数众数 B. 平均数中位数众数
C. 中位数众数平均数 D. 众数中位数平均数
3.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长为( 　)
A. B. C. D.
4.已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为( 　)
A． B． C． D．
5. 已知向量，则向量在向量方向上的投影是( 　)
A. B. C. D.
6.设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则； ②若，，则；
③若，，，则；
④若，，则与所成的角和与所成的角相等．
　其中正确命题的序号是( 　)
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
7．随机抽取骑行共享单车的市民进行问卷调查，得到样本的频率分布直方图如图所示．再从这些市民中用分层抽样的方法抽取一个样本进行调查，若第二次抽取的样本中年龄段的人数为14，则第二次抽取的样本中年龄段的人数为( 　)
A． B． C． D．
8. 中，, , , ，则等于( 　)
A． B． C． D．
9.△ABC中，若且，则△ABC的形状是( 　)
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形
10.已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝4，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等边三角形，则球面O的表面积为( 　)
A． B． C．64π D．32π
（二）、多选题（共4题20分；每题有两个或以上的答案，全选对得5分，部分选对但不完整得2分，有错选得0分.）
11.已知复数z在复平面上对应的点为Z(3，﹣1)，i为虚数单位，则下列正确的是( 　)
A．z＝﹣1＋3i B．＝10 C．＝3＋i D．z＋i是实数
12.下列关于平面向量的说法中不正确的是( 　)
A．，,若，则与的夹角为钝角
B．若平面上四个点,,,满足,则,,三点共线.
C． 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
D．若且，则
13.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幕减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”即．现有△ABC满足sinA：sinB：sinC＝2：3：，且△ABC的面积S△ABC＝，请运用上述公式判断下列命题正确的是( 　)
A．△ABC周长为5＋
B．△ABC三个内角A，C，B满足关系A＋B＝2C
C．△ABC外接圆半径为
D．△ABC中线CD的长为
14.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列正确的是( 　)
A．直线平面
B．二面角的大小为
C．三棱锥的体积为定值
D．异面直线与所成角的取值范围是
二、填空题（共4小题20分；答对得5分，答错或漏答得0分.）
15.若复数满足：，则______
16.已知30个数据的分位数是,这30个数据从小到大排列后第18个数据是，则第19个数据是______．
17.瑞云塔是福清著名的历史文化古迹. 如图，一研究性小组同学为了估测塔的高度，在塔底D和A,B（与塔底D同一水平面）处进行测量，在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°，30°，且A,B两点相距，由点D看A,B的张角为150°，则瑞云塔的高度CD=______m
18. 已知向量满足，，则的最大值为______
三、解答题（共5题60分；解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（1,2）．
（1）若，且∥，求的坐标．
（2）若，且与垂直，求与的夹角．
20.（12分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.
问题：在中，内角的对边分别是，若已知，， ，求的值.
21.（12分）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，．．
求证：（1）平面；
（2）．
22.（12分）如图，是直角斜边上一点，.
（1）若，求角的大小；
（2）若，且，求的长．
23.（12分）如图,四边形为矩形,且面, ,为的中点.
（1）求与平面所成角的正切值；
（2）求点到平面的距离；
（3）探究在上是否存在点,使得平面， 并说明理由.
2020-2021学年高一下学期期中阶段考试
数学参考答案
一．单选题 1---5: C D C A D 6---10: B A D C B
多选题 11、CD 12、 AD 13、 ABD 14、 AC
二．填空题
三．解答题
19.解：（1）∵；
∴设，且，；
∴；
∴k＝±2；
∴，或
（2）∵，且；
∴


＝0；
∴；
又；
∴与的夹角为．
20.解：若选①：因为，
所以，
因为，所以
所以，
即
所以，因为，所以.
所以，所以，
所以，所以.
若选②：因为，
所以，
所以
因为，所以,所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以
若选③：因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以.
21.（1）在直三棱柱中,
∵平面，且
∴矩形是正方形，∴为的中点，
又为的中点，∴,
又∵平面，平面，
∴平面
（2）在直三棱柱中，
∵平面，平面，∴
又∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴
∵矩形是正方形，∴，
∵，平面，，∴平面
又∵平面，∴．
22、解：在中,根据正弦定理,有.
因为,所以
又，所以.
于是,所以.
设,则,,.
于是,,
在中,由余弦定理,得 ,
即,得，故 ．
23.（１）连结,∵为的中点,,
∴为等腰直角三角形,
则,同理可得,∴,∴,
又,且, ∴,
又∵,∴,
∴与平面所成角即为
又由已知可求得,
∴在中，
(２)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,的直角边为，
∴,
　
而是三棱锥的高,
∴.
∴点到平面的距离
（３）在上存在中点,使得.理由如下:
取的中点,连结.
∵是的中点, ∴,且,
又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC//AD,且EC=AD,
所以EC//GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,
又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG//平面PCD.