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22．3 三角形的中位线
01 基础题
知识点 三角形的中位线定理
1．如图，在△ABC中，AB＝8
cm，AC＝10
cm，且AD＝4
cm，CE＝5
cm，则下列线段中是△ABC的中位线的是(
)
A．线段CD
B．线段BE
C．线段DE
D．线段AE
2．(2020·邢台模拟)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则下列说法中，正确的是(
)
A．CE＝BC
B．DE＝AB
C．∠AED＝∠C
D．∠A＝∠C
3．(2019·石家庄正定县期末)如图，要测量的A，C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E，F，量得E，F两点间距离等于23米，则A，C两点间的距离为(
)
A．46米
B．23米
C．50米
D．25米
4．(2020·宜宾)如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点．若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝(
)
A．20°
B．45°
C．65°
D．70°
5．(2019·河池)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是(
)
A．∠B＝∠F
B．∠B＝∠BCF
C．AC＝CF
D．AD＝CF
6．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为(
)
A．8
B．10
C．12
D．16
7．(2020·大庆)一个周长为16
cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为
cm.
8．(2020·辽阳)如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D.若BC＝4，则CD的长为
．
9．(2020·石家庄模拟)在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明给出如下部分证明过程．
已知：如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．
求证：
．
证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，
…
(1)补全求证．
(2)请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程．
(3)若CE＝3，DF＝8，求边AB的取值范围．
02 中档题
10．如图，点D，E，F分别是△ABC(AB＞AC)各边的中点，下列说法中错误的是(
)
A．EF＝BC
B．EF与AD互相平分
C．AD平分∠BAC
D．四边形AEDF是平行四边形
11．(2019·铜仁)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为(
)
A．12
B．14
C．24
D．21
12．(教材P132练习T2变式)(2020·保定莲池区期末)如图，在△ABC中，BC＝20，D，E分别是AB，AC的中点，F是DE上一点，DF＝4，连接AF，CF.若∠AFC＝90°，则AC的长度为(
)
A．10
B．12
C．13
D．20
13．(2019·石家庄行唐县期末)如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝147°，则∠PFE的度数是
．
03 综合题
14．如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为
．
15.已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，BD=AC，M,N分别为AD,BC的中线，MN分别交AC,BD于点F,G.
求证：EF=EG
22．3 三角形的中位线
01 基础题
知识点 三角形的中位线定理
1．如图，在△ABC中，AB＝8
cm，AC＝10
cm，且AD＝4
cm，CE＝5
cm，则下列线段中是△ABC的中位线的是(C)
A．线段CD
B．线段BE
C．线段DE
D．线段AE
2．(2020·邢台模拟)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则下列说法中，正确的是(C)
A．CE＝BC
B．DE＝AB
C．∠AED＝∠C
D．∠A＝∠C
3．(2019·石家庄正定县期末)如图，要测量的A，C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E，F，量得E，F两点间距离等于23米，则A，C两点间的距离为(A)
A．46米
B．23米
C．50米
D．25米
4．(2020·宜宾)如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点．若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝(D)
A．20°
B．45°
C．65°
D．70°
5．(2019·河池)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是(B)
A．∠B＝∠F
B．∠B＝∠BCF
C．AC＝CF
D．AD＝CF
6．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为(D)
A．8
B．10
C．12
D．16
7．(2020·大庆)一个周长为16
cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为8cm.
8．(2020·辽阳)如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D.若BC＝4，则CD的长为2．
9．(2020·石家庄模拟)在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明给出如下部分证明过程．
已知：如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，且DE＝BC．
证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，
…
(1)补全求证．
(2)请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程．
(3)若CE＝3，DF＝8，求边AB的取值范围．
解：
(2)∵点E是AC的中点，∴AE＝CE.
又∵EF＝ED，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(SAS)．
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF.
∴AD∥CF.∴AB∥CF.
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD.
∴BD＝CF.
∴四边形BDFC是平行四边形．
∴DE∥BC，DF＝BC.
∵DE＝FE，
∴DE＝BC.
(3)∵DF＝8，
∴BC＝8.
∵CE＝3，
∴AC＝6.
∴BC－AC＜AB＜BC＋AC，
即2＜AB＜14.
02 中档题
10．如图，点D，E，F分别是△ABC(AB＞AC)各边的中点，下列说法中错误的是(C)
A．EF＝BC
B．EF与AD互相平分
C．AD平分∠BAC
D．四边形AEDF是平行四边形
11．(2019·铜仁)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为(A)
A．12
B．14
C．24
D．21
12．(教材P132练习T2变式)(2020·保定莲池区期末)如图，在△ABC中，BC＝20，D，E分别是AB，AC的中点，F是DE上一点，DF＝4，连接AF，CF.若∠AFC＝90°，则AC的长度为(B)
A．10
B．12
C．13
D．20
13．(2019·石家庄行唐县期末)如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝147°，则∠PFE的度数是16.5°．
03 综合题
14．如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为．
15..已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，BD=AC，M,N分别为AD,BC的中线，MN分别交AC,BD于点F,G.
求证：EF=EG
证明：取AB的中点P，连接MP,NP.
∵MP
是△ABD
的中位线,
∴MP//BD,MP=1/2BD
∴∠EGF=∠PMN.
同理,PN=1/2AC
∠EFG=∠PNM.
又∵AC=BD,
∴PM=PN,
∴∠PMN=∠PNM.
∴∠EGF=∠EFG,
∴.EF=EG.
１
１
２
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精品试卷·第
2
页
（共
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22.3三角形的中位线
冀教版
八年级下
学习目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.
2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
课堂自主学习
预习交流：（P130-P131）
1.什么叫三角形的中位线？一个三角形有几条中位线？
2.三角形的中位线有什么性质？
3.怎样证明三角形中位线的性质？
导入新课
复习引入
A
B
C
在三角形中，连结一个
和它的
的
叫做三角形的中线.
顶点
顶点
D
中点
DE是三角形的什么呢？
E
中点
它就是我们这节课要学习的三角形的中位线.
顶点
对边中点
线段
将一张三角形纸片剪一刀，剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片,并且使所剪得的两张纸片拼成一个平行四边形.
(1)如果剪得的两张纸片能拼成一个平行四边形，
那么剪痕的位置有什么要求？
(2)
要把所剪得的两张纸片拼成一个平行四边形,
可将其中的三角形做怎样的图形的变换？
动手操作
合作探究一三角形中位线定义
A
B
C
D
E
DE是三角形的中位线
.
.
合作探究一
(三角形的中位线定义)
知识点归纳:(三角形的中位线的定义）
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
C
D
E
A
B
①
∵D、E分别为AB、AC的中点
DE为△ABC的
②
∵
DE为△ABC的中位线
D、E分别为AB、AC的
∴
∴
中位线
中点
A
B
C
三角形中共有几条中位线？
E
F
D
.
.
.
A
B
C
D
E
F
三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？
三角形中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形的中线只有一个端点是边的中点，另一端点在三角形的一个顶点上．
猜想：
在△ABC中，中位线DE和边BC有怎样的位置关系和数量关系?
A
B
C
.
.
D
E
DE和边BC关系
位置关系：
DE∥BC
数量关系：
合作探究二三角形中位线性质
四边形BCFD是平行四边形吗？为什么？
DE∥BC
吗？
合作探究二三角形中位线性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
已知：在△ABC中，AD=DB，AE=EC
求证：DE∥BC，DE=1/2
BC
证明：延长DE到F，使EF=DE，连结CF，
∵
________，∠AED=∠CEF（对顶角相等），ED=EF
∴△ADE≌△CFE（SAS）
AD=____（全等三角形的对应边相等）
∠ADE=_____（全等三角形的对应角相等）
∴AB∥CF（内错角相等，两直线平行）
∵AD=DB，∴CF=DB
∴四边形BCFD是________
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
于是DF∥BC，DF=BC，即_________，DE=1/2
BC。
A
B
C
F
D
E
AE=CE
平行四边形
DE∥BC
CF
∠F
合作探究二
三角形中位线性质证明
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
知识点归纳:(三角形的中位线的性质)
用符号语言表示
A
B
C
.
.
D
E
∴
DE∥BC
DE=
BC
∵
DE为△ABC的中位线
跟踪训练：
如图，A、B两点被建筑物阻隔，为测量
AB
两点间的距离，在地面上选一点C，连接CA
和CB，分别取CA和CB的中点D、E。
由DE的长度即可知道AB两点间的距离。
（1）你知道其中的道理吗？
（2）若DE的长为36m，求A,B两点间的距离。
例1.
在△ABC中，D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,
AC=12cm,
BC=16cm,
求四边形DECF
的周长。
A
E
D
F
B
C
变式1.上题基础上增条件AB=10连结EF
△DEF的周长=
cm
△ABC的周长=
cm
,
△DEF的周长=
△ABC的周长
变式2.试判断△DEF、△DEA、△DBF、△CEF的
面积有怎样的关系？
S△DEF=
S△ABC
小结：一个三角形的三条中位线所围成的三角形的周长
等于原三角形的周长的1/2
。
小结：一个三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的三角形，并且三条中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的1/4
1/2
1/4
19
38
求证:四边形EFGH是平行四边形.
如图,在四边形ABCD中,
E,F,G,H分别为各边的中点.
分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.
A
B
C
H
D
E
F
G
练一练
如图.
在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD
、
BC，BD的中点，∠ABD
=200
，∠BDC=700
，
则∠ＭＰＮ
=＿＿＿＿．
B
A
D
C
P
M
N
１３００
200
700
⌒
巩固提高
巩固提高
在四边形草坪ABCD中AD=BC,M是边BC的中点，N是边BC的中点。有一个活动的喷头P在对角线BD上运动，当喷头移动到BD
的哪一个位置时使PM和PN相等。为什么？
B
A
D
C
P
M
N
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴
EF∥HG,
EF=HG.
∴EF∥AC,
HG∥AC,
∴四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
H
D
E
F
G
结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
例2.如图,在四边形ABCD中,AD=BC，E,F分别是边AB,CD的中点，G为对角线BD的中点.
求证:△EFG是等腰三角形.
D
C
B
G
A
F
E
证明：在△ABD中
∵E,G分别是边AB,BD的中点，
∴EG=
AD，
∴同理FG=
BC；
又∵AD=BC，
∴EG=FG，∴△EFG是等腰三角形.
例3.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG、FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，
∴在直角△EGF中，由用勾股定理，得
∴EG∥AC,
FG∥BD,
G
1.连结三角形两边_____的_____叫做三角形的中位线.
2.三角形的中位线______于第三边，并且等于第三边的_____.
中点
线段
平行
３.四边形的两条对角线长分别是１２cm
和１０cm
,顺次连接各边中点所得的四边形的周长是＿＿＿＿．
２２cm
当堂检测
当堂练习
4.已知：如图，点
D、E、F
分别是
△ABC
的三边
AB、BC、AC
的中点.
（1）若∠ADF=50°，则∠B=
°；
（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，
则△
DEF的周长为
.
50
15
A
B
C
D
F
E
5.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,CD,AC,BD的中点.
求证:四边形EGFH是平行四边形.
D
C
B
G
A
F
H
E
证明：∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，∴FG∥AD，HE∥AD，FH∥CB，GE∥BC，
∴GE∥FH，GF∥EH（平行于同一条直线的两直线平行）；
∴四边形GFHE是平行四边形；
本课小结
１．理解三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
２．掌握三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半。
3．能应用三角形中位线的性质解决有关计算或说理等问题。
布置作业
课本132页A组题和B组题
谢谢
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