(共29张PPT)
第六章
导数及其应用
6.1 导 数
6.1.1 函数的平均变化率
新课程标准
素养风向标
1.了解平均变化率的概念
2.理解平均变化率的几何意义
3.掌握求函数平均变化率的方法
1.理解平均变化率的概念(数学抽象)
2.了解平均变化率的几何意义(数学抽象)
3.会求函数在某一段的平均变化率(数学运算)
主题 变化率问题
1.写出气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的关系式.然后将球半径r
表示为球体积V的函数.
提示:体积V与半径r之间的关系式为V(r)=
πr3.将半径r表示为体积V的函数
为r(V)=
基础预习初探
2.当V从0增加到1
L时,气球半径增加了多少?此时气球的平均膨胀率是多少?
当V从1
L
增加到2
L呢?
提示:当V从0增加到1
L时,气球半径增加了r(1)-
r(0)≈0.62(dm).
气球的平均膨胀率为
≈0.62(dm/L).
当V从1
L增加到2
L时,
气球半径增加了r(2)-r(1)≈0.16(dm).
气球的平均膨胀率为
≈0.16(dm/L).
3.若跳水运动员运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时
间t(单位:s)存在函数关系:h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则运动员在0≤t≤0.5这段
时间里的平均速度是多少?运动员在1≤t≤2这段时间里的平均速度是多少?
提示:在0≤t≤0.5这段时间里的平均速度是
在1≤t≤2这段时间里的平均速度是
=-8.2(m/s).
结论:
若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则
(1)自变量的改变量为Δx=____;
(2)因变量的改变量为Δy=_____(或Δf=f(x2)-f(x1));
(3)以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率为
x2-x1
y2-y1
【对点练】
1.当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数
( )
A.在[x0,x1]上的平均变化率
B.在x0处的变化率
C.在x1处的变化率
D.以上都不对
【解析】选A.由平均变化率的定义知当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在[x0,x1]上的平均变化率.
2.质点运动规律s=t2+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度等于
( )
A.6+Δt
B.6+Δt+
C.3+Δt
D.9+Δt
【解析】选A.
【补偿训练】
婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,则第二
年婴儿体重的月平均变化率是________.?
【解析】由题图可知,第二年婴儿体重的月平
均变化率为
=0.25(千克/月).
答案:0.25千克/月
核心互动探究
探究点一 求函数的平均变化率
【典例1】求函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.
【思维导引】利用平均变化率的定义求解.
【解析】函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为
=6x0+3Δx.
当x0=2,Δx=0.1时,函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2+3×0.1=12.3.
【延伸探究】
在本例中,分别求函数在x0=1,2,3附近Δx取
时的平均变化率k1,k2,k3,并比
较其大小.
【解析】由例题可知,函数在[x0,x0+Δx]上的平均变化率为6x0+3Δx.
当x0=1,Δx=
时,函数在[1,1.5]上的平均变化率为k1=6×1+3×0.5=7.5;
当x0=2,Δx=
时,函数在[2,2.5]上的平均变化率为k2=6×2+3×0.5=13.5;
当x0=3,Δx=
时,函数在[3,3.5]上的平均变化率为k3=6×3+3×0.5=19.5.
所以k1
【类题通法】求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy,主要步骤是:
(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x1)-f(x0);
(2)再计算自变量的改变量Δx=x1-x0;
(3)得平均变化率
【定向训练】
若函数y=f(x)=x2-1,图像上点P(2,3)及其邻近一点Q(2+Δx,3+Δy),则
=
( )
A.4
B.4Δx
C.4+Δx
D.Δx
【解析】选C.因为Δy=(2+Δx)2-1-(22-1)=4Δx+(Δx)2,
所以
=4+Δx.
探究点二 平均变化率的比较
【典例2】已知函数f(x)=3-x2,计算当x0=1,2,3,Δx=
时,平均变化率的值,
并比较函数f(x)=3-x2在哪一点附近的平均变化率最大?
【思维导引】先利用平均变化率的定义分别求解,然后比较大小.
【解析】函数f(x)=3-x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为
当x0=1,Δx=
时,平均变化率的值为-
;
当x0=2,Δx=
时,平均变化率的值为-
;
当x0=3,Δx=
时,平均变化率的值为-
,
因为
所以函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.
【类题通法】平均变化率比较大小问题:
(1)计算函数值的改变量Δy;
(2)计算平均变化率
(3)比较各平均变化率的大小.
【定向训练】
函数y=-x2,y=
,y=2x+1,y=
在x=1附近(Δx很小时),平均变化率最大的
一个是
( )
A.y=-x2
B.y=
C.y=2x+1
D.y=
【解析】选C.y=-x2在x=1附近的平均变化率为k1=-(2+Δx);y=
在x=1附近的
平均变化率为k2=
;y=2x+1在x=1附近的平均变化率为k3=2;y=
在x=1
附近的平均变化率为k4=
;
当Δx很小时,k1<0,k2<0,0探究点三 平均变化率的几何意义
【典例3】已知函数f(x)=x2-1图像上两点A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当Δx=-1时,
求割线AB的斜率.
【解析】因为Δx=-1,2+Δx=1,所以Δy=
=-3,kAB=
=3.所以
割线AB的斜率为3.
【类题通法】求割线斜率问题:
(1)计算函数值的改变量Δy;
(2)计算平均变化率
(3)平均变化率即为割线的斜率.
【定向训练】
过曲线f(x)=x3上两点P(2,8)和Q(2+Δx,8+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时,割线的斜率.
【解析】因为Δy=f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)3-8=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx,
所以割线PQ的斜率k=
=Δx2+6Δx+12.
设Δx=0.1时割线的斜率为k1,则k1=0.12+6×0.1+12=12.61.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx应满足
( )
A.Δx>0
B.Δx<0
C.Δx=0
D.Δx≠0
【解析】选D.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx要求Δx≠0.
2.函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,Δy=
( )
A.f(x0+Δx)
B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·Δx
D.f(x0+Δx)-f(x0)
【解析】选D.Δy看作相对于f(x0)的“增量”,可用f(x0+Δx)-f(x0)代替.
3.函数y=
在x=1附近,当Δx=
时,平均变化率为______.?
【解析】
答案:
-2
4.已知某质点按规律s=2t2+2t(单位:m)做直线运动,求:
(1)该质点在前3
s内的平均速度;
(2)该质点在2
s到3
s内的平均速度.
【解析】(1)由题设知,Δt=3,Δs=s(3)-s(0)=24,所以平均速度v=
=8(m/s).
(2)由题意知,Δt=3-2=1,Δs=s(3)-s(2)=12,所以平均速度v=
=12
m/s.(共42张PPT)
6.1.2 导数及其几何意义
新课程标准
素养风向标
1.了解瞬时速度的意义
2.理解函数在某一点处的导数及导函数的概念
3理解导数的几何意义
4.会求曲线的切线方程
1.理解函数在某一点处的导数及导函数的概念(数学抽象)
2.掌握利用定义求导数的方法(数学运算)
3.借助求曲线的切线方程,提升学生的数学运算能力(数学运算)
主题1 导数的概念
1.物体的平均速度能否精确反映它的运动状态?
提示:不能,如高台跳水运动员运动过程中的重心相对于水面的高度h与起跳时
间t的函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,易知
=h(0),
而
运动员依然是运动状态.
基础预习初探
2.如何精确描述物体在某一时刻的运动状态?
提示:可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.如求t=2时的瞬
时速度,可考察在t=2附近的一个间隔Δt,当Δt趋近于0时,看平均速度
的变
化趋势,用式子
表示,这就是物体在t=2时的瞬时速度.
3.导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用?
提示:函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率,导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.
结论:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为Δx,当
Δx无限接近于0时,若平均变化率
无限接近于一个常数k,
那么称常数k为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率,此时,也称f(x)在x0处可导,并
称k为f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)=k.
【对点练】
1.设函数f(x)在x0处可导,则
=
( )
A.f′(x0)
B.f′(-x0)
C.-f′(x0)
D.-f′(-x0)
【解析】选C.
=-f′(x0).
2.设函数y=f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则
( )
A.f′(x)=a
B.f′(x)=b
C.f′(x0)=a
D.f′(x0)=b
【解析】选C.
=a+b·Δx,
f′(x0)=
(a+b·Δx)=a.
主题2 导数的几何意义
1.如图(1),l1是否为曲线在点A处的切线?l2是否为曲线在点B处的切线?l2是否为曲线在点C处的切线?
提示:l1不是曲线在点A处的切线;l2是曲线以点B为切点的切线,不是以点C为切点的切线.
2.你能不能类比圆的割线和切线的动态关系,结合图(2)直观地感知,当Pn→P时对应的一般曲线的切线?
提示:当Pn→P时,割线趋于确定的位置,这个确定位置上的直线就是曲线在点P处的切线.
3.问题2从直观上感知了“割线逼近切线”的变化过程,进一步,如图(3)如何研究割线方程和切线方程的变化关系?
提示:割线逼近切线,不妨设点P(x0,f(x0)),
Pn(x0+Δx,f(x0+Δx)).
割线PPn的方程为y-f(x0)
=
(x-x0),
当Pn→P,即Δx→0时,变化的最终结果是
=f′(x0),
故切线方程就是y-y0=f′(x0)(x-x0).
结论:导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是切线的斜率k,k=
=f′(x0).
【对点练】
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f
′(x0)的几何意义是
( )
A.在点x0处的斜率
B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值
C.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率
D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率
【解析】选C.由导数的几何意义可知函数y=f(x)在x=x0处的导数f
′(x0),即为曲线在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
2.抛物线y2=x与x轴、y轴都只有一个公共点,但只有________是它的切线,而________不是它的切线.?
【解析】根据曲线在某点处的切线的定义知y轴是曲线y2=x的一条切线,x轴不是切线.
答案:y轴 x轴
【补偿训练】1.过曲线y=2x上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为________.?
【解析】依题意得,割线的斜率为
=1.
答案:1
2.如图,函数f(x)的图像是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),
(6,4),试求
的值.
【解析】由导数的概念和几何意义知,
=f
′(1)=kAB=
=-2.
核心互动探究
探究点一 求函数在某点处的导数
【典例1】根据导数的定义求下列函数的导数.
(1)求函数y=f(x)=x2+3在x=1处的导数.
(2)求函数y=f(x)=
在x=a(a≠0)处的导数.
【思维导引】(1)利用导数定义
进行变形.
(2)本题是根据定义求函数的导数,因此可先求
,再求其极限值,即可得出导
数值.
【解析】(1)Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+3]-(12+3)=2Δx+(Δx)2,
所以
=2+Δx.
所以y′|x=1=
(2+Δx)=2.
(2)Δy=f(a+Δx)-f(a)
所以
所以y′|x=a=
【类题通法】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤
(1)作差Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)作比
(3)取极限f′(x0)=
.
简记为一差、二比、三极限.
【定向训练】
求函数y=f(x)=3x2在x=1处的导数.
【解题指南】先求Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+3(Δx)2,再求
=6+3Δx,再求
=6.
【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+3(Δx)2.
（6+3Δx)=6.
探究点二 求切线方程
【典例2】求曲线y=f(x)=x3+2x-1在点P(1,2)处的切线方程.
【思维导引】利用导数的几何意义求切线的斜率.
【解析】易证得点P(1,2)在曲线上,由y=x3+2x-1得Δy=(x+Δx)3+2(x+Δx)-
1-x3-2x+1
=(3x2+2)Δx+3x·(Δx)2+(Δx)3.
=3x2+2+3x·Δx+(Δx)2.
当Δx无限趋近于0时,3x2+2+3x·Δx+(Δx)2无限趋近于3x2+2,
即f′(x)=3x2+2,所以f′(1)=5.
故点P处的切线斜率为k=5.
所以点P处的切线方程为y-2=5(x-1),
即5x-y-3=0.
【延伸探究】
将本例中的“在点P(1,2)”改为“过点Q(0,1)”,结果会怎样?
【解析】因为点Q不在曲线上,所以设切点坐标为(x0,y0).
由例题知k=f′(x0)=3
+2,切线方程为y-y0
=(3
+2)(x-x0).
又因为切线过点Q(0,1),
所以1-y0=(3
+2)(0-x0).
又因为y0=
+2x0-1得
=-1,即x0=-1,
所以切线方程为5x-y+1=0.
【类题通法】
利用导数的几何意义求切线方程的分类
(1)当已知的点在曲线上且切于该点时,直接利用导数求切线的斜率,写出直线方程.
(2)当已知点不在曲线上时,设出切点,利用导数表示出切线斜率,写出切线方程,代入已知点的坐标,求出切点坐标,写出直线方程.
【定向训练】
已知曲线C:f(x)=x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程;
(2)求过点(1,1)与f(x)=x3相切的直线.
【解析】(1)因为f′(x)=
=
=
[(Δx)2+3x2+3x·Δx]=3x2,
所以f′(1)=3×12=3,
又f(1)=13=1,
所以切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
(2)设切点为P(x0,
),由(1)知切线斜率为k=f′(x0)=3
,
故切线方程为y-
=3
(x-x0).
又点(1,1)在切线上,将其代入切线方程得
1-
=3
(1-x0),即2
-3
+1=0,
解得x0=1或x0=-
.
所以k=3或k=
.
故所求的切线方程为y-1=3(x-1)或y-1=
(x-1),
即3x-y-2=0或3x-4y+1=0.
探究点三 导数几何意义的综合应用
【典例3】设函数y=f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.
【思维导引】利用导数的几何意义求出切线的斜率,结合直线的斜率为-12求解.
【解析】因为Δy=f(x+Δx)-f(x)
=(x+Δx)3+a(x+Δx)2-9(x+Δx)-1-(x3+ax2-9x-1)=(3x2+2ax-9)Δx+(3x+a)(Δx)2+(Δx)3,
所以
=3x2+2ax-9+(3x+a)Δx+(Δx)2.
所以f′(x)=
=3x2+2ax-9,
所以f′(x)=
因为斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,
所以该切线斜率为-12.
所以-9-
=-12,
解得a=±3,又a<0,所以a=-3.
【类题通法】导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导,利用题目所给的斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等已知条件求解题目.此处常与函数、不等式等知识结合.
【定向训练】
已知点M(0,-1),F(0,1),过点M的直线l与曲线y=
x3-4x+4在x=2处的切线平
行.
(1)求直线l的方程;
(2)求以点F为焦点,直线l为准线的抛物线C的方程.
【解析】
(1)因为y′=
=
=x2-4,
所以y′|x=2=0,
所以直线l的斜率为0,其直线方程为y=-1.
(2)因为抛物线以点F(0,1)为焦点,以直线y=-1为准线,
所以设抛物线方程为x2=2py,
则
=1,p=2.
故抛物线C的方程为x2=4y.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么
( )
A.f′(x0)>0
B.f′(x0)<0
C.f′(x0)=0
D.f′(x0)不存在
【解析】选B.由x+2y-3=0知,斜率k=-
,
则f′(x0)=-
<0.
2.已知y=f(x)的图像如图所示,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
( )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)=f′(xB)
C.f′(xA)D.f′(xA)与f′(xB)大小不能确定
【解析】选A.由y=f(x)的图像可知,在A,B点处的切线斜率kA>kB,根据导数的几何意义有:f′(xA)>f′(xB).
3.曲线y=f(x)=x2在x=0处的切线方程为________.?
【解析】f′(x)=
=
=2x,
所以f′(0)=0,故切线方程为y=0.
答案:y=0
4.设函数f(x)=ax+3,若f′(1)=3,则a等于________.?
【解析】因为f′(1)=
=
=a,
所以f′(1)=a=3.
答案:3
5.已知曲线y=2x2-7,求过点P(3,9)且与曲线相切的直线方程.
【解析】y′=
=
(4x+2Δx)=4x.
由于2×32-7=11≠9,故点P(3,9)不在曲线上.
设所求切线的切点为(x0,y0),则切线的斜率k=4x0,
故所求的切线方程为y-y0=4x0(x-x0).
将P(3,9)及y0=2
-7代入上式,得
9-(2
-7)=4x0(3-x0),解得x0=2或x0=4.
所以切点为(2,1)或(4,25).
故所求的切线方程为8x-y-15=0或16x-y-39=0.(共27张PPT)
6.1.3 基本初等函数的导数
主题 几个常用函数的导数与
基本初等函数导数公式
1.f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=
均可表示为y=f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)的形式,
其导数有何规律?
提示:因为(x)′=1·x1-1,(x2)′=2·x2-1,(
)′=(
)′=
所以(xα)′
=α·xα-1.
基础预习初探
2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
(1)函数y=f(x)=c(常数)的导数的物理意义是什么?
(2)函数y=f(x)=x的导数的物理意义呢?
提示:(1)若y=c表示路程关于时间的函数,则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.
(2)若y=x表示路程关于时间的函数,则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.
3.利用导数的定义可以求函数的导函数,但运算比较繁杂,有些函数式子在中学阶段无法变形,怎样解决这个问题?
提示:可以使用给出的导数公式进行求导,简化运算过程,降低运算难度.
结论:常用函数的求导公式,其中C,x,a均为常数,a>0且a≠1.
C′=__
(xα)′=αxα-1
(ax)′=______
logax=
(sinx)′=cosx
(cosx)′=-sinx
0
axln
a
【对点练】
1.已知函数f(x)=
,则f′
的值为
( )
A.4 B.-4 C.
D.-
【解析】选B.因为f(x)=
,所以f′(x)=-
,
所以
=-4.
2.设函数f(x)=x2,则不等式f(x)+f′(x)>3的解集为________.?
【解析】因为f(x)=x2,所以f′(x)=2x,
所以不等式f(x)+f′(x)>3变为x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,所以解集为(-∞,
-3)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-3)∪(1,+∞)
3.正弦函数y=sin
x在x=
处的切线方程为________.?
【解析】求导,得y′=cos
x,代入x=
,
可得曲线y=sin
x在x=
处的切线斜率为
,
又切点纵坐标为sin
,即
,
所以所求切线方程为y-
去分母化简得12y-6=6
x-
π,
即6
x-12y+6-
π=0.
答案:6
x-12y+6-
π=0
核心互动探究
探究点一 利用公式求函数的导数
【典例1】(1)给出下列结论:
①
②若y=ln
x,则y′=
;
③若f(x)=3x,则(f′(1))′=3;
④若y=
,则y′=
.
其中正确的个数是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)求函数f(x)=cos
x在
处的导数.
【思维导引】(1)适当进行化简,再运用导数公式判断.
(2)先求函数的导函数,然后把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.
【解析】(1)选A.
为常数,则
′=0,所以①错误;y′=(ln
x)′=
,所以②正确;因为f(x)=3x,所以f′(x)=3,所以(f′(1))′=0,所以③
错误;y′=
所以④错误.
(2)因为f′(x)=-sin
x,
所以
【类题通法】求函数导数的关注点
(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.
(2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避
免不必要的运算失误.
(3)要特别注意“
与ln
x”,“ax与logax”,“sin
x与cos
x”的导数区别.
【定向训练】
已知f(x)=x2,g(x)=ln
x,若f′(x)-g′(x)=1,则x=__________________
.?
【解析】因为f(x)=x2,g(x)=ln
x,所以f′(x)=2x,g′(x)=
且x>0,
f′(x)-g′(x)=2x-
=1,即2x2-x-1=0,解得x=1或x=-
(舍去).故x=1.
答案:1
【补偿训练】
质点的运动方程是s=sin
t.
(1)求质点在t=
时的速度.
(2)求质点运动的加速度.
【解析】(1)v(t)=s′(t)=cos
t,所以
即质点在t=
时的速度为
.
(2)因为v(t)=cos
t,
所以加速度a(t)=v′(t)=(cos
t)′=-sin
t.
探究点二 曲线切线方程的确定与应用
【典例2】过原点作曲线y=ex的切线,求切点的坐标及切线的斜率.
【思维导引】利用基本初等函数的导数求切点和斜率.
【解析】因为(ex)′=ex,设切点坐标为(x0,
),
则过该切点的直线的斜率为
,
所以所求切线方程为y-
=
(x-x0).
因为切线过原点,所以-
=-x0·
,x0=1.
所以切点为(1,e),斜率为e.
【延伸探究】
已知点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.
【解析】根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图.
则在点(x0,y0)处的切线斜率为1,即
=1.
y′=(ex)′=ex,
=1,得x0=0,
代入y=ex,y0=1,即P(0,1).
利用点到直线的距离公式得距离为
.
【类题通法】利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题.解题的关键是确定所求切线的位置,进而求出切点坐标.
【定向训练】
(2020·全国Ⅲ卷)若直线l与曲线y=
和圆x2+y2=
都相切,则l的方程
为( )
A.y=2x+1
B.y=2x+
C.y=
x+1
D.y=
x+
【解析】选D.设直线l在曲线y=
上的切点为
,
由题意知x0>0,
函数y=
的导数为y′=
,
则直线l的斜率k=
,
直线l的方程为y-
即x-2
y+x0=0,
由于直线l与圆x2+y2=
相切,则
两边平方并整理得5
-4x0-1=0,
解得x0=1,x0=-
(舍),
则直线l的方程为x-2y+1=0,即y=
【课堂小结】
课堂素养达标
1.若函数f(x)=10x,则f′(1)等于
( )
A.
B.10
C.10ln
10
D.
【解析】选C.因为f′(x)=10xln
10,所以f′(1)=10ln
10.
2.已知f(x)=xα(α∈Q,且α≠0),若f′(1)=
,则α等于
( )
【解析】选D.因为f(x)=xα,所以f′(x)=αxα-1,
所以f′(1)=α=
.
3.一物体在曲线s=
上运动,则该物体在t=3时的瞬时速度为__________.?
【解析】因为s′=(
)′=
,所以该物体在t=3时的瞬时速度为s′(3)=
答案:
4.已知f(x)=cos
x,g(x)=x,求适合f′(x)+g′(x)≤0的x的值.
【解析】因为f(x)=cos
x,g(x)=x,
所以f′(x)=(cos
x)′=-sin
x,g′(x)=x′=1,
由f′(x)+g′(x)≤0,得-sin
x+1≤0,
即sin
x≥1,但sin
x∈[-1,1],
所以sin
x=1,所以x=2kπ+
,k∈Z.(共43张PPT)
6.1.4 求导法则及其应用
新课程标准
素养风向标
1.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数
2.能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数
1.掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则.(数学抽象)
2.会用导数的运算法则求简单函数的导数.(数学运算)
3.理解并掌握复合函数的求导法则.(数学运算)
主题1 导数的运算法则
利用导数的定义分别求y=5+x,y=5x,y=
的导数.
基础预习初探
提示:(1)
=1,
=1.故y=5+x的导数为1.
(2)
=5,
=5.故y=5x的导数为5.
(3)
故y=
的导数为
.
结论:导数的运算法则
1.函数和差的导数,[f(x)±g(x)]′=_______________.
2.函数积的导数,[f(x)·g(x)]′=______________________.
3.函数商的导数,
___________________(g(x)≠0).
4.推论:常数与函数的积的导数,[cf(x)]′=________.
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
cf′(x)
【对点练】
1.使得函数f(x)=(x-3)ex的导数f′(x)>0的实数x的取值范围是
( )
A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)
【解析】选D.f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,
令f′(x)>0,解得x>2.
2.下列导数运算正确的是
( )
A.(x-1)′=
B.(2x)′=x2x-1
C.(cos
x)′=sin
x
D.(ln
x+x)′=
+1
【解析】选D.A.(x-1)′=-x-2=-
,故选项A不正确;
B.(2x)′=2x·ln2,故选项B不正确;
C.(cosx)′=-sinx,故选项C不正确;
D.(lnx+x)′=
+1,故选项D正确.
【补偿训练】
当函数y=
(a>0)在x=x0处的导数为0时,那么x0等于
( )
A.a B.±a C.-a D.a2
【解析】选B.y′=
由
-a2=0得x0=±a.
主题2 复合函数的导数
1.y=ln(x+2)的结构特征是什么?
提示:令u=x+2,则y=ln
u.
因此y=ln(x+2)可看成是由u=x+2和y=ln
u复合而成的.
2.如何求y=ln(x+2)的导数?
提示:由y=ln(x+2)的结构特征,可考虑由外向内求导数.令u=x+2,则y=ln
u,因
此y′x=y′u·u′x=(ln
u)′·(x+2)′=
.
结论:
复合函数的概念
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,
y可以表示成________,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)
的复合函数,记作__________
复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的
关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于_________________
_____________
x的函数
y=f(g(x))
y对u的导数与u对x
的导数的乘积
【对点练】
1.f(x)=ln
cos2x的导数是
( )
【解析】选D.因为f(x)=ln
cos2x,
所以f′(x)=
2.已知f(x)=ln(3x-1),则f′(1)=________.?
【解析】f′(x)=
·(3x-1)′=
,所以f′(1)=
.
答案:
核心互动探究
探究点一 利用运算法则求函数的导数
【典例1】(1)已知函数f(x)=
+2lnx图像在点P的切线平行于直线5x-2y=
2
019,则点P的坐标为
( )
A.(2,0) B.
C.
D.(1,1)
(2)求下列函数的导数.
①y=x-2+x2;
②y=3xex-2x+e;
③y=
;
④y=x2-
【思维导引】(1)先求导,再结合条件求P点横坐标,又点P在函数f(x)上,可求P点纵坐标.
(2)分析各个函数解析式的特点,应用和、差、积、商的导数法则求导.
【解析】(1)选D.设点P
,
因为
+2ln
x,
所以f′(x)=
所以由题意得
解得x0=1,
所以y0=
+2ln
x0=1,
所以切点P的坐标为
(2)①y′=2x-2x-3;
②y′=(ln
3+1)·(3e)x-2xln
2;
③y′=
④因为y=x2-sin
=x2-
sin
x,
所以y′=2x-
cos
x.
【类题通法】利用导数的公式及运算法则求导的思路
【定向训练】
1.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=
.若f′(1)=
,则a=________.?
【解析】由函数的解析式可得:
则
所以
所以a2-2a+1=0,
解得:a=1.
答案:1
2.求下列函数的导数:
(1)f(x)=ax4lnx+bx4-c.
(2)f(x)=
(3)f(x)=
【解析】(1)f′(x)=4ax3ln
x+ax4·
+4bx3
=x3(4a
lnx+a+4b).
(2)f′(x)=
(3)f′(x)=
【拓展延伸】导数运算法则的推广
(1)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导数仍然成立.两个函
数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况,即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′=f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…
±fn′(x).
(2)积的导数公式的拓展,若y=f1(x)f2(x)…fn(x),则有y′=f1′(x)f2(x)…
fn(x)+f1(x)f2′(x)…fn(x)+…+f1(x)f2(x)…fn′(x).
【补偿训练】求下列函数的导数:
(1)y=
.(2)y=
.
【解析】(1)y′=
(2)y′=
探究点二 求复合函数的导数
【典例2】(1)已知函数f(x)=
,求其导数.
(2)设函数f(x)=cos(
x+φ)(0<φ<π),且f(x)+f′(x)为奇函数.
①求φ的值;
②求f(x)+f′(x)的最值.
【思维导引】(1)f(x)=
是y=eu与u=-ax2+bx的复合.
(2)先求出函数f(x)=cos(
x+φ)(0<φ<π)的导数,再利用f(x)+f′(x)为奇
函数求φ的值,进而求出f(x)+f′(x)的最值.
【解析】(1)令u=-ax2+bx,则y=eu.
y′x=y′u·u′x=eu·(-ax2+bx)′
=eu·(-2ax+b)=(-2ax+b)·
.
(2)①f(x)+f′(x)=cos(
x+φ)-sin(
x+φ)(
x+φ)′
=cos(
x+φ)-
sin(
x+φ)
=
因为0<φ<π,f(x)+f′(x)是奇函数,
所以φ=
.
②由①知f(x)+f′(x)=2sin(
x+π)=-2sin
x,
故f(x)+f′(x)的最大值是2,最小值是-2.
【类题通法】复合函数求导的步骤
【定向训练】
1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
),其导函数f′(x)的部分
图像如图所示,则函数f(x)的解析式为
( )
【解析】选D.因为
所以
由图像可得Aω=2,
=2π,
所以T=4π,
又因为T=
,所以ω=
,A=4,
由
得φ=
,
所以
2.求下列函数的导数.
(1)y=
;(2)y=5log2(1-x).
【解析】(1)函数y=
可看作函数y=u-3和u=2x-1的复合函数,所以yx′=yu′·ux′=(u-3)′(2x-1)′=-6u-4=-6(2x-1)-4=-
.
(2)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,所以yx′=yu′·ux′=(5log2u)′·(1-x)′=
【补偿训练】指出下列函数的复合关系:
(1)y=sin
x3.
(2)y=cos
.
(3)y=
【解析】函数的复合关系分别是(1)y=sin
u,u=x3.
(2)y=cos
u,u=
-x.
(3)y=
,u=2+cos
v,v=3x.
探究点三 导数的综合应用
【典例3】设函数y=f(x)=ax-
,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-
4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面
积为定值,并求此定值.
【思维导引】(1)由条件列出关于a,b的二元一次不等式组求解.
(2)设任一点P(x0,y0),由(1)得f(x)及f′(x).求点P处的切线方程,再用x0表示
三角形面积,化简即可.
【解析】
(1)由7x-4y-12=0得y=
x-3.
当x=2时,y=
,
所以f(2)=2a-
.①
又f′(x)=a+
,
所以f′(2)=a+
.②
由①②得
解得
故f(x)=x-
.
(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由f′(x)=1+
知,曲线在点P(x0,y0)处的切线
方程为
y-y0=
(x-x0),
即y-
(x-x0).
令x=0得y=-
,从而得切线与直线x=0的交点坐标为
.
令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为
|2x0|=6.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,
此定值为6.
【类题通法】对导数的考查,往往与其他知识点相结合:如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等,解题的关键是能够熟练求出导数,把问题转化为相对应的知识求解.
【定向训练】
若曲线y=xln
x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是________,切线方程为________.
?
【解析】设P(x0,y0).因为y=xlnx,
所以y′=lnx+x·
=1+lnx.
所以k=1+lnx0.又k=2,所以1+lnx0=2,
所以x0=e.所以y0=eln
e=e.
所以点P的坐标是(e,e).
故切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0.
答案:(e,e) 2x-y-e=0
【课堂小结】
课堂素养达标
1.已知f1(x)=sin
x+cos
x,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1′(x),f3(x)=
f2′(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N
,则f2
020(x)=
( )
A.sin
x+cos
x
B.sin
x-cos
x
C.-sin
x+cos
x
D.-sin
x-cos
x
【解析】选B.根据题意,f1(x)=sin
x+cos
x,f2(x)=f1′(x)=cos
x-sin
x,
f3(x)=(cos
x-sin
x)′=-sin
x-cos
x,f4(x)=-cos
x+sin
x,f5(x)=sin
x+
cos
x,…,可得出fn(x)=fn+4(x),f2
020(x)=f4(x)=sin
x-cos
x.
2.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a等于
( )
【解析】选D.因为f′(x)=3ax2+6x,
所以f′(-1)=3a-6=4.
所以a=
.
3.已知直线l与曲线y=ex-2相切于点P,与曲线y=ln
x相切于点Q,则直线l的方程为________.?
【解析】由题意可设两个切点坐标为
因为
所以切线l的方程为
因为这两个方程都表示直线l的方程,所以
=ln
x2-1,
消去x2得
=1-x1,
所以x1=1,或x1=2,
所以直线l的方程为y-e-1=e-1(x-1),或y-e0=e0(x-2),即y=
,或y=x-1.
答案:y=
,或y=x-1
4.已知函数f(x)=x4+ax2-bx,且f′(0)=-13,f′(-1)=-27,则a+b=________.?
【解析】f′(x)=4x3+2ax-b,
由
?
?
?a+b=5+13=18.
答案:18
5.求下列函数的导数.
(1)y=cos(x+3).(2)y=(2x-1)3.(3)y=e-2x+1.
【解析】(1)函数y=cos(x+3)可以看作函数y=cos
u和u=x+3的复合函数,由复合函数的求导法则可得yx′=yu′·ux′=(cos
u)′·(x+3)′
=-sin
u·1=-sin
u=-sin(x+3).
(2)函数y=(2x-1)3可以看作函数y=u3和u=2x-1的复合函数,
由复合函数的求导法则可得yx′=yu′·ux′=(u3)′·(2x-1)′
=3u2·2=6u2=6(2x-1)2.
(3)y′=(e-2x+1)′·(-2x+1)′=e-2x+1·(-2)=-2e-2x+1.(共45张PPT)
6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
新课程标准
素养风向标
1.结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系
2.能利用导数研究函数的单调性
3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间
1.通过数与形的研究,探索导数与函数单调性的关系(数学抽象)
2.通过新旧方法的比较,体会导数应用的优越性(数学运算)
3.通过典型问题的解决,强化导数在函数单调性中的应用意识(数学运算)
主题1 函数的单调性与导数的关系
1.观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系,
(1)观察图像,完成下列填空.
基础预习初探
图①中的函数y=x的导函数y′=__,此函数的单调递增区间为__________;
图②中的函数y=x2的导函数y′=___,此函数的单调递增区间为________,单调递
减区间为________.
图③中的函数y=x3的导函数y′=___,此函数的单调递增区间为__________;
图④中的函数y=
的导函数y′=_____,此函数的单调递减区间为
________________.
1
(-∞,+∞)
2x
(0,+∞)
(-∞,0)
3x2
(-∞,+∞)
(-∞,0),(0,+∞)
(2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系,思考函数的单调性与导函数的正、负有什么关系?
提示:根据(1)中的结果可以看出,函数的单调区间与导函数的正负有关,当导函数在某区间上大于0时,此时对应的函数单调递增,当导函数在某区间上小于0时,此时对应的函数单调递减.
2.观察图像,完成下表:
区间
(-∞,a)
(a,b)
(b,+∞)
y=f(x)
增
___
增
切线斜率
___
负
正
f′(x)
___
___
>0
减
正
>0
<0
结论:在区间(a,b)内函数的单调性与导函数的关系
导函数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递___
f′(x)<0
单调递___
f′(x)=0
常数函数
增
减
【对点练】
1.函数f(x)=x+ln
x在(0,6)上
( )
A.单调递增
B.单调递减
C.在
上单调递减,在
上单调递增
D.在
上单调递增,在
上单调递减
【解析】选A.因为x∈(0,6),所以f′(x)=1+
>0,
故函数在(0,6)上单调递增.
2.若函数f(x)=ln
x+
x2-bx存在单调递减区间,则实数b的取值范围为
( )
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-∞,2)
D.(-∞,2]
【解析】选B.由f(x)=lnx+
x2-bx,可得f′(x)=
(x>0),由题意可得存
在x>0,使得f′(x)=
<0,
即存在x>0,使得x2-bx+1<0,等价于b>x+
,由对勾函数性质易得b>2.
【补偿训练】函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减性为
( )
A.单调递增
B.单调递减
C.先增后减
D.先减后增
【解析】选C.y′=-6x,故当x∈(-1,0)时,y′>0;当x∈(0,1)时,y′<0,所以原函数在区间(-1,1)上先增后减.
主题2 函数变化的快慢与导数的关系
1.在同一坐标系中画出函数y=2x,y=3x,y=
,y=x2,y=x3的图像.
提示:这几个函数的图像如图所示.
2.观察以上函数的图像,当x>0时,函数增长的快慢与各函数的导数值的大小作对比,你发现了什么?
提示:增长速度快的,导函数值大,增长速度慢的,导函数值小.
结论:函数变化的快慢与导数间的关系
一般地,如果一个函数在某一范围内导数的___________,那么函数在这个范围内
变化得快,这时函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就
比较“平缓”.
绝对值较大
【对点练】
1.函数f(x)的图像如图所示,则导函数y=f′(x)的图像可能是
( )
【解析】选D.从原函数y=f(x)的图像可以看出,其在区间(-∞,0)上是减函数,
f′(x)<0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上是减函数,
f′(x)<0;在区间(x2,+∞)上是增函数,f′(x)>0.结合选项可知,只有D项满足.
2.已知导函数y=f′(x)的图像如图所示,请根据图像写出原函数y=f(x)的单调
递增区间是________.?
【解析】从图像可知当-15时f′(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为
(-1,2),(5,+∞).
答案:(-1,2),(5,+∞)
核心互动探究
探究点一 函数单调区间的判断及求解
【典例1】(1)设f(x)=x-sin
x,则f(x)
( )
A.既是奇函数又是减函数
B.既是奇函数又是增函数
C.是有零点的减函数
D.是没有零点的奇函数
(2)求函数f(x)=3x2-2ln
x的单调区间.
【思维导引】(1)利用奇偶性的定义判断f(x)=x-sin
x的奇偶性,利用导数判断其单调性.
(2)先求导,令导函数值大于0,得到增区间,令导函数值小于0,得到减区间.
【解析】(1)选B.因为f(-x)=-x-sin(-x)
=-(x-sin
x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
又f′(x)=1-cos
x≥0,
所以f(x)单调递增,选B.
(2)f(x)=3x2-2ln
x的定义域为(0,+∞),
则f′(x)=
由f′(x)>0得6x2-2>0,即x2>
则
所以递增区间为
由f′(x)<0得6x2-2<0,即x2<
则
因为x>0,所以0所以递减区间为
【类题通法】利用导数研究函数单调性的一般步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求导函数f′(x).
(3)若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
【定向训练】
1.函数y=x3-x2-x的单调递增区间为
( )
A.
和(1,+∞)
B.
C.
∪(1,+∞)
D.
【解析】选A.y′=3x2-2x-1,令y′>0,得x<-
或x>1,所以函数的单调递增区间
为
和(1,+∞).
2.函数y=
的单调递减区间是________.
?
【解析】函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y′=
令y′<0,得
x<1,且x≠0,故函数
的单调递减区间是(-∞,0)和(0,1).
答案:(-∞,0)和(0,1)
3.求函数f(x)=
x2+aln
x(a∈R,a≠0)的单调区间.
【解析】函数定义域为(0,+∞),f′(x)=x+
.
①当a>0时,f′(x)=x+
>0恒成立,这时函数只有单调递增区间(0,+∞);
②当a<0时,由f′(x)=x+
>0,得x>
;
由f′(x)=x+
<0,得0,
所以当a<0时,函数的单调递增区间是(
,+∞),
单调递减区间是(0,
).综上,当a>0时,单调递增区间为(0,+∞),无单调递减
区间;当a<0时,单调递增区间为(
,+∞),单调递减区间为(0,
).
【补偿训练】求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x3+
.
(2)y=xex.
【解析】(1)f′(x)=3x2-
=3
.
由f′(x)>0,解得x<-1或x>1;
由f′(x)<0,解得-1所以函数的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);
单调递减区间为(-1,0),(0,1).
(2)y′=ex+xex=ex(1+x).
令y′>0,得x>-1;
令y′<0,得x<-1.
因此,y=xex的单调递增区间为(-1,+∞),
单调递减区间为(-∞,-1).
探究点二 原函数与导函数图像间的关系
【典例2】(2018·全国卷Ⅲ)函数y=-x4+x2+2的图像大致为
( )
【思维导引】利用导数的符号判断函数的单调性.
【解析】选D.因为y=-x4+x2+2,
所以y′=-4x3+2x,令y′>0,解得x<-
或0,
令y′<0,解得x>
或-
所以函数y=-x4+x2+2在
上单调递增,在
上单调递减,所以选D.
【类题通法】判断函数与导数图像间对应关系的两个关键
第一:要弄清所给图像是原函数的图像还是导函数的图像.
第二:注意以下两个方面:
(1)函数的单调性与其导函数的正、负的关系:在某个区间(a,b)内,若f′(x)>0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;若f′(x)<0,则y=f(x)在这个区间上单调递减;若恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具有单调性.
(2)导数与函数图像的关系:
函数值增加得越来越快,
函数值增加得越来越慢,
f′(x)>0且越来越大.
f′(x)>0且越来越小.
函数值减小得越来越快,
函数值减小得越来越慢,
f′(x)<0且越来越小,
f′(x)<0且越来越大,
绝对值越来越大.
绝对值越来越小.
【定向训练】
1.设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中,不正确的是
( )
【解析】选D.A,B,C均有可能;对于D,若C1为导函数,则y=f(x)应为增函数,不符合;若C2为导函数,则y=f(x)应为减函数,也不符合.
2.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像可能是
( )
【解析】选A.因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则从左到右函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的.
探究点三 利用函数的单调性求参数的范围
【典例3】(1)若f(x)=ax3+x在区间[-1,1]上单调递增,求a的取值范围.
(2)设函数f(x)=x2+ax-ln
x,a∈R,若f(x)在区间(0,1]上单调递减,求实数a的取值范围.
【思维导引】(1)由f(x)=ax3+x在区间[-1,1]上单调递增,可得出利用不等式f′(x)>0在[-1,1]上恒成立,确定a的取值范围.
(2)把f(x)在区间(0,1]上单调递减,转化为f′(x)≤0对任意x∈(0,1]恒成立.
【解析】(1)f′(x)=3ax2+1,因为f(x)在区间[-1,1]上单调递增,所以f′(x)
=3ax2+1>0在[-1,1]上恒成立.当x=0时,显然成立,当x≠0时,a>-
.
因为-
在x∈[-1,0)∪(0,1]的最大值为-
,
所以a>-
.
故a的取值范围是
.
(2)f′(x)=2x+a-
.
因为f(x)在区间(0,1]上单调递减,
所以f′(x)<0对任意x∈(0,1]恒成立,
即2x+a-
<0对任意x∈(0,1]恒成立,
所以a<
-2x对任意x∈(0,1]恒成立.
令g(x)=
-2x,所以a【类题通法】利用函数的单调性求参数的取值范围
应用条件f′(x)>0(或f′(x)<0),x∈(a,b)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0.
【定向训练】
若函数f(x)=ln
x+x2+ax在定义域内为增函数,则实数a的取值范围是________.
?
【解析】定义域为(0,+∞).f′(x)=
+2x+a.
函数f(x)=ln
x+x2+ax在定义域内为增函数,即f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
即
+2x+a≥0在x>0内恒成立,因此可以得到a≥-
在x>0时恒成立,a满足:
a≥
因为x>0,所以
,当且仅当x=
时等号成立.
所以有
,因此实数a的取值范围是a≥-2
.
答案:
a≥-2
【课堂小结】
课堂素养达标
1.已知函数f(x)=x3-3x2-9x,则函数f(x)的单调递增区间是
( )
A.(3,9)
B.(-∞,-1),(3,+∞)
C.(-1,3)
D.(-∞,3),(9,+∞)
【解析】选B.因为f(x)=x3-3x2-9x,
所以f′(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x-3)(x+1).
令f′(x)>0,知x>3或x<-1.
2.已知二次函数f(x)的图像如图所示,则其导函数f′(x)的图像大致形状
是
( )
【解析】选B.根据图像可设f(x)=a(x+1)(x-1)(a<0),
则f′(x)=2ax(a<0).
3.函数f(x)=xln
x的单调递减区间为________.?
【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln
x+1.
令f′(x)<0得x<
,又x>0,
所以f(x)的单调递减区间为
.
答案:
4.若函数y=-
x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是________.?
【解析】因为y′=-4x2+a,且y有三个单调区间,所以方程y′=-4x2+a=0有两个不
等的实根,
所以Δ=02-4×(-4)×a>0,所以a>0.
答案:(0,+∞)
5.已知y=
x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调函数,求b的取值范围.
【解析】若函数是单调递增函数,则y′>0恒成立,即x2+2bx+b+2>0恒成立,
所以Δ=4b2-4(b+2)<0,
所以-16.2.2 导数与函数的极值、最值
第1课时 函数的导数与极值
主题 函数极值的概念及求法
观察图像回答下面问题
基础预习初探
1.函数在点x=a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系?
提示:函数在点x=a的函数值比它在点x=a附近的其他点的函数值都小.
2.f′(a)等于多少?在点x=a附近,函数的导数的符号有什么规律?
提示:f′(a)=0,在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.
3.函数在点x=b的情况呢?
提示:函数在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.
结论:函数极值的概念
1.设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有
(1)f(x),则称x0为函数f(x)的一个极大值点,且f(x)在x0处取极大值;
(2)f(x)>f(x0)
,则称x0为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取极小值.
2.极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值.
【对点练】
1.函数y=f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系为
( )
A.导数y′由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值
B.导数y′由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
C.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
【解析】选D.由导数y′与函数值的变化情况以及极值之间的关系,可知选项D正确.
2.下列四个函数中,能在x=0处取得极值的是
( )
①y=x3;②y=x2+1;③y=cos
x-1;④y=2x.
A.①②
B.②③
C.③④
D.①③
【解析】选B.①④为单调函数,不存在极值.
3.如图是导函数y=f′(x)的图像,函数y=f(x)的极大值点是________,极小值点是________.?
【解析】因为在点x2左侧导函数图像在x轴上方,导数为正,在点x2右侧附近导函数图像在x轴下方,导数为负,故点x2为极大值点,
因为在点x4左侧附近导函数图像在x轴下方,导数为负,在点x4右侧附近导函数图像在x轴上方,导数为正,故点x4为极小值点.
答案:x2 x4
核心互动探究
探究点一 求函数的极值
【典例1】(1)对于函数f(x)=x3-3x2,给出命题:
①f(x)是增函数,无极值;
②f(x)是减函数,无极值;
③f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调递减区间为(0,2);
④f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.
其中正确的命题有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(2)设函数f(x)=
+ln
x,则
( )
A.x=
为f(x)的极大值点
B.x=
为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
(3)求函数f(x)=
的极值.
【思维导引】求导后写出定义域内的单调区间,根据单调区间确定函数极值.
【解析】(1)选B.f′(x)=3x2-6x.
令f′(x)=3x2-6x>0,得x>2或x<0;
令f′(x)=3x2-6x<0,得0所以函数f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减.
当x=0和x=2时,函数分别取得极大值0和极小值-4.
故①②错,③④对.
(2)选D.函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)
当x=2时,
f′(x)=0;
当x>2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当0f(x)单调递减,所以x=2为函数f(x)的极小值点.
(3)函数f(x)=
的定义域为(0,+∞),且f′(x)=
,令f′(x)=0,得x=e,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:
故当x=e时,函数取得极大值f(e)=
,无极小值.
x
(0,e)
e
(e,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
↗
↘
【类题通法】求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)定区间求导:确定函数的定义区间,求导数f′(x).
(2)解方程:求方程f′(x)=0的根.
(3)列表:用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列成表格.
(4)检测判断:检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.
【定向训练】
设函数f(x)=x3+ax2-9x的导函数为f′(x),且f′(2)=15.
(1)求函数f(x)的图像在x=0处的切线方程.
(2)求函数f(x)的极值.
【解析】(1)因为f′(x)=3x2+2ax-9,
又因为f′(2)=15,所以12+4a-9=15,
所以a=3.所以f(x)=x3+3x2-9x,
所以f′(x)=3x2+6x-9,
所以f(0)=0,f′(0)=-9,
所以函数在x=0处的切线方程为y=-9x.
(2)令f′(x)=0,得x=-3或x=1.
当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如表:
即函数f(x)在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=-3时,f(x)有极大值27,当x=1时,f(x)有极小值-5.
x
(-∞,-3)
-3
(-3,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
27
↘
-5
↗
【补偿训练】求函数y=
-2的极值.
【解析】因为函数的定义域为R,
所以y′=
令y′=0,得-
=0,
解得x=-1或x=1.
当x变化时,y′,y的变化情况如表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+∞)
y′
-
0
+
0
-
y
↘
极小值
↗
极大值
↘
故当x=-1时,函数有极小值,且y极小值=f(-1)=-3;
当x=1时,函数有极大值,且y极大值=f(1)=-1.
探究点二
利用函数极值求参数的值
【典例2】(1)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=
( )
A.-4
B.
-2
C.4
D.2
(2)已知函数f(x)=
x3-
(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)内
有两个极值点,求实数m的取值范围.
【思维导引】(1)求出f′
,解出方程f′
=0的根,再根据不等式
f′
>0,f′
<0的解集得出函数的极值点.
(2)求出f′(x),f(x)在(1,+∞)内有两个极值点相当于f′(x)在(1,+∞)内与x
轴有两个不同的交点,得到关于m的不等式组,求解即可.
【解析】(1)选D.
f′
=3x2-12=3
,
令f′
=0,得x=-2或x=2,
易知f
在
上单调递减,
在
上单调递增,
故f
的极小值为f
,所以a=2.
(2)f′(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,
所以导数f′(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
所以
解得m>3.
故实数m的取值范围是(3,+∞).
【类题通法】利用极值求参数值的关注点
(1)求参数值:利用函数的极值确定参数的值,常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)检验:因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后,必须验证根的合理性.
【定向训练】
已知函数f(x)=x3-px2-qx的图像与x轴切于点(1,0),则f(x)的极值为
( )
A.极大值为
,极小值为0
B.极大值为0,极小值为
C.极小值为-
,极大值为0
D.极大值为-
,极小值为0
【解析】选A.f′(x)=3x2-2px-q.由函数f(x)的图像与x轴切于点(1,0),得
p+q=1,
所以q=1-p,① 3-2p-q=0,② 联立①②,解得p=2,q=-1,所以函数f(x)=x3-
2x2+x,
则f′(x)=3x2-4x+1,令f′(x)=0,得x=1或x=
.
当x≤
时,f′(x)≥0,f(x)单调递增;
当
所以f(x)极大值=f
=
,f(x)极小值=f(1)=0.
【补偿训练】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且当x=-1时取得极大值7,当x=3时取得极小值,试求函数f(x)的极小值,并求a,b,c的值.
【解析】f(x)=x3+ax2+bx+c,f′(x)=3x2+2ax+b.
因为x=-1时函数取得极大值,x=3时函数取得极小值,
所以-1,3是方程f′(x)=0的根,即为方程3x2+2ax+b=0的两根.故
解得
所以f(x)=x3-3x2-9x+c.
因为x=-1时取得极大值7,
所以(-1)3-3×(-1)2-9×(-1)+c=7,
所以c=2,所以函数f(x)的极小值为f(3)=33-3×32-9×3+2=-25.
探究点三 函数极值的综合应用
【典例3】(1)若函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,则函数f(x)的图像在x=1处的切线的斜率为________.?
(2)已知函数f(x)=x3-3ax-1(a≠0).若函数f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求m的取值范围.
【思维导引】(1)先求出参数c的值,再利用导数求出斜率.
(2)先由已知条件求出a值,确定f(x),再由直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同交点,利用数形结合求出m的范围.
【解析】(1)因为函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,
所以f′(x)=(x2+c)+(x-2)×2x,
令f′(2)=0,所以(c+4)+(2-2)×2×2=0,
所以c=-4,
所以f′(x)=(x2-4)+(x-2)×2x.
所以函数f(x)的图像在x=1处的切线的斜率f′(1)=(1-4)+(1-2)×2=-5.
答案:-5
(2)因为f(x)在x=-1处取得极值,
所以f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,
所以a=1.
所以f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,f′(x)>0;
当-1当x>1时,f′(x)>0.
所以由f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.
作出f(x)的大致图像如图所示:
因为直线y=m与函数y=f(x)的图像有三个不同的交点,结合f(x)的图像可知,m的取值范围是(-3,1).
【类题通法】
1.三次函数有极值的充要条件
三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值?导函数f′(x)=3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac>0.
2.三次函数单调性与极值(设x1(1)当Δ≤0时,①若a>0,则f(x)在R上是增函数;
②若a<0,则f(x)在R上是减函数.
(2)当Δ>0时,①若a>0,则f(x)的增区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极小值;②若a<0,则f(x)的减区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),增区间为(x1,x2),f(x1)为极小值,f(x2)为极大值.(如图所示)
Δ>0
Δ≤0
a>0
a<0
【补偿训练】已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6ln
x+m.是否存在实数m,使得y=f(x)的图像与y=g(x)的图像有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
【解析】函数y=f(x)的图像与y=g(x)的图像有且只有三个不同的交点,即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.因为φ(x)=x2-8x+6ln
x+m,所以φ′(x)=
=
(x>0),
令φ′(x)=0,得x=1或x=3,
当x变化时,φ′(x)与φ(x)的变化情况如表
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
φ′(x)
+
0
-
0
+
φ(x)
↗
极大
↘
极小
↗
当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)单调递增;
当x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)单调递减;
当x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)单调递增;
当x=1,或x=3时,φ′(x)=0.
所以φ(x)极大值=φ(1)=m-7,
φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln
3-15.
因为当x充分接近0时,φ(x)<0,
当x充分大时,φ(x)>0.
所以要使φ(x)的图像与x轴正半轴有三个不同的交点,
必须且只须
即73.
所以存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图像有且只有三个不同的交点,
m的取值范围为(7,15-6ln
3).
【课堂小结】
课堂素养达标
1.函数f(x)的定义域为区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在(a,b)内的极小值的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选A.在(a,b)内,使f′(x)=0的点有A,B,O,C.要为函数的极小值点,则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正,只有点B符合.
2.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取得极值”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.对于f(x)=x3,f′(x)=3x2,f′(0)=0,
不能推出f(x)在x=0处取极值,反之成立.
3.下列函数存在极值的是
( )
A.y=
B.y=x-ex
C.y=x3+x2+2x-3
D.y=x3
【解析】选B.对于A中f′(x)=-
,
令f′(x)=0无解,所以A中函数无极值.
B中f′(x)=1-ex,
令f′(x)=0可得x=0.当x<0时,f′(x)>0,
当x>0时,f′(x)<0.
所以y=f(x)在x=0处取极大值,f(0)=-1.
C中f′(x)=3x2+2x+2,Δ=4-24=-20<0.
所以y=f(x)无极值.D也无极值.
4.函数f(x)=ln
x-x在区间(0,e)上的极大值为
( )
A.-e
B.1-e
C.-1
D.0
【解析】选C.f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
-1.令f′(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,e)时,f′(x)<0,故f(x)在x=1处取得极大值,f(1)=ln
1-1=0-1=-1.
5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则
的值为
( )
A.-
B.-2 C.-2或-
D.2或-
【解析】选A.由题意知,f′(x)=3x2+2ax+b,f′(1)=0,f(1)=10,
即
解得
或
经检验只有
满足题意,
故
=-
.
6.求函数y=x+
的极值.
【解析】y′=1-
=
,令y′=0解得x=±1,而原函数的定义域为{x|x≠0},所以当x变化时,y′,y的变化情况如表:
所以当x=-1时,y极大值=-2,当x=1时,y极小值=2.
x
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
(0,1)
1
(1,+∞)
y′
+
0
-
-
0
+
y
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗(共53张PPT)
第2课时 函数的导数与最值
主题 函数的最值
1.观察图中在[a,b]上函数y=f(x)的图像,找出它们的极大值和极小值.
基础预习初探
提示:f(c),f(e)是函数y=f(x)的极小值,f(d),f(g)是函数y=f(x)的极大值.
2.观察1中函数y=f(x)的图像,你能找出函数f(x)在区间[a,b]上的最大值、最小值吗?若将区间改为(a,b),f(x)在(a,b)上还有最值吗?
提示:函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是f(g),最小值是f(b).若区间改为(a,b),则f(x)有最大值f(g),无最小值.
3.观察如图所示函数y=f(x)的图像,该函数有最大值吗?
提示:由图可见在最高点处图像是间断的,因此该函数没有最大值.
结论:
1.函数有最值的条件
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
2.函数f(x)在区间[a,b]上的最值
(1)函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值
假设在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线,该函数在[a,b]
上一定能够取得_______和_______,若函数在(a,b)上是可导的,该函数的最值
必在极值点或区间端点取得.
最大值
最小值
(2)求可导函数在[a,b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
【对点练】
1.下列说法正确的是
( )
A.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值
B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值
C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值
D.若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值
【解析】选D.由极值与最值的区别知选D.
2.连续函数f(x)在(a,b)上有最大值是有极大值的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为区间(a,b)为开区间,所以连续函数f(x)在(a,b)上有最大值能推出函数有极大值,但函数有极大值不一定有最大值.
3.函数f(x)=(1-x)ex有
( )
A.最大值为1
B.最小值为1
C.最大值为e
D.最小值为e
【解析】选A.f′(x)=-ex+(1-x)ex=-xex,
当x<0时,f′(x)>0;
当x>0时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)有最大值,为f(0)=1.
核心互动探究
探究点一 求函数的最值
【典例1】(1)函数f(x)=4x-lnx的最小值为
( )
A.1+2ln2
B.1-2ln2
C.1+ln2
D.1-ln2
(2)求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间[-2,+∞)上的最大值与最小值.
【思维导引】(1)求出函数的导函数,分别令导函数大于0和小于0求出x的范围,即可求出函数的最小值
.
(2)求函数的最值与求函数的极值相似(但最值与极值不一定相同),先列出表格,再进行判断,从而求出最值.
【解析】(1)选A.f′(x)=4-
=
,令f′(x)>0得x>
;令f′(x)<0得
0,
所以当x=
时,函数有最小值,为f
=4×
-ln
=1+ln4=1+2ln2.
(2)y′=12x2+6x-36,令y′=0,解得x1=-2,x2=
.
当x变化时,y′,y的变化情况如表:
x
-2
y′
0
-
0
+
y
57
↘
极小值
↗
由于当x>
时,y′>0,所以y在
上单调递增,因此,函数y在[-2,+∞)上
只有最小值-28
,无最大值.
【类题通法】闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必有最值
(1)给定的区间必须是闭区间,f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值.如f(x)=
,x∈(0,1),f(x)在区间(0,1)内连续,但没有最大值和最小值(如图1).
图1
图2
(2)在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间断点,也不能保证f(x)有
最大值和最小值,
如函数f(x)=
.
在[-1,1]上有间断点,没有最小值(如图2).
(3)若连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值
就是最小值.
【定向训练】
(1)函数y=
在[0,2]上的最大值是
( )
A.当x=1时,y=
B.当x=2时,y=
C.当x=0时,y=0
D.当x=
时,y=
(2)求函数f(x)=
x3-4x+4在[0,3]上的极值及最大值与最小值.
【解析】(1)选A.y′=
令y′=0,得x=1.
因为x=0时,y=0,x=1时,y=
,x=2时,y=
,
所以最大值为
(x=1时取得).
(2)f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2),
令f′(x)=0,
解得x1=-2(舍去),x2=2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:
x
0
(0,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
-
0
+
f(x)
4
单调递减↘
极小值
单调递增↗
1
所以函数f(x)=
x3-4x+4在[0,3]上有极小值,且f(x)极小值=
,最大值为4,
最小值为
.
探究点二 与参数有关的最值问题
【典例2】(1)已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,求a的值,并求
f(x)在[-2,2]上的最大值.
(2)设函数f(x)=-
x3+2ax2-3a2x+b,0【思维导引】(1)按求函数最值的步骤求出最小值,再结合已知求得a,进而求出f(x)在[-2,2]上的最大值.
(2)先求导数,求出极值点,通过列表确定函数的单调区间,进而求函数的最值.
【解析】(1)f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
令f′(x)=0,得x=0或x=2.
又f(0)=a,f(2)=a-8,f(-2)=a-40.f(0)>f(2)>f(-2),
所以当x=-2时,f(x)min=a-40=-37,得a=3.
所以当x=0时,f(x)max=3.
(2)f′(x)=-x2+4ax-3a2.令f′(x)=0,
解得x=a或x=3a,x∈[0,3a],列表如下:
x
0
(0,a)
a
(a,3a)
3a
f′(x)
-
0
+
0
f(x)
b
↘
a3+b
↗
b
由表知:当x∈(0,a)时,函数f(x)单调递减;
当x∈(a,3a)时,函数f(x)单调递增.
所以当x=a时,f(x)的最小值为
a3+b;
当x=0或x=3a时,f(x)的最大值为b.
【类题通法】已知函数最值求参数的步骤
(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值.
(2)通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值.
(3)结合已知求出参数,进而使问题得以解决.
【定向训练】
已知函数f(x)=lnx-
.
(1)当a=1时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)在区间(2,e)上存在零点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=lnx-x+1,定义域为(0,+∞),则f′(x)=
-1,
令f′(x)=0得x=1.当x∈(0,1)时f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)max=f(1)=0.
(2)由题意知,方程f(x)=lnx-
=0在(2,e)上有实根.
因为lnx≠0,所以方程可转化为a=
.
设g(x)=
,则g′(x)=
设h(x)=lnx+
-1,则h′(x)=
-
.当20,所以h(x)在(2,e)
上单调递增.
所以h(x)>h(2)=ln2-
>0,于是g′(x)>0,所以g(x)在(2,e)上单调递增,
所以g(2)是
.
探究点三 与最值有关的恒成立问题
【典例3】(1)已知函数f(x)=
x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是
( )
A.m≥
B.m>
C.m≤
D.m<
(2)设函数f(x)=ex-e-x,若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求实数a的取值范围.
【思维导引】应用导数分析求出函数最值,将不等式恒成立问题转化为研究函数最值问题.
【解析】(1)选A.令f′(x)=2x3-6x2=0,得x=0或x=3.
经检验,知x=3是函数的最小值点,
所以函数f(x)的最小值为f(3)=3m-
.
因为不等式f(x)+9≥0恒成立,即f(x)≥-9恒成立,
所以3m-
≥-9,解得m≥
.
(2)令g(x)=f(x)-ax,
则g′(x)=f′(x)-a=ex+e-x-a,
由于ex+e-x=ex+
≥2(当且仅当x=0时等号成立),
所以当a≤2时,g′(x)=ex+e-x-a≥2-a≥0,
故g(x)在(0,+∞)上单调递增.
所以当x≥0时,g(x)≥g(0)=0,即f(x)≥ax,
当a>2时,方程g′(x)=0的根为
x1=
<0,x2=
>0,
此时,若x∈(0,x2),
则g′(x)<0,故g(x)在区间(0,x2)内单调递减,
所以x∈(0,x2)时,g(x)即f(x)综上所述,满足条件的实数a的取值范围为a≤2.
【类题通法】恒成立问题向最值转化的方法
(1)要使不等式f(x)f(x)max,则上面的不等式恒成立.
(2)要使不等式f(x)>h在区间[m,n]上恒成立,可先在区间[m,n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min,只要f(x)min>h,则不等式f(x)>h恒成立.
【定向训练】
设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.
(1)求a,b的值.
(2)若对于任意的x∈[0,3],都有f(x)【解析】(1)f′(x)=6x2+6ax+3b,
因为函数f(x)在x=1及x=2时取得极值,
所以f′(1)=0,f′(2)=0,
即
解得
(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c,
f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
当x∈(0,1)时,f′(x)>0;
当x∈(1,2)时,f′(x)<0;
当x∈(2,3)时,f′(x)>0.
所以,当x=1时,f(x)取极大值f(1)=5+8c,
又f(0)=8c,f(3)=9+8c.
所以当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.
因为对于任意的x∈[0,3],都有f(x)所以9+8c9.
因此c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).
【课堂小结】
课堂素养达标
1.函数f(x)=(1+x)ex有
( )
A.最大值为e-2
B.最大值为e-1
C.最小值为-e2
D.最小值为-e-2
【解析】选D.f′(x)=(1+x)ex+ex=
ex,当x<-2时f′(x)<0;当x>-2时
f′(x)>0,
所以f(x)在
上单调递减,在
上单调递减,所以f(x)有最小值,
为f(-2)=-e-2.
2.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)
( )
A.有最大值,但无最小值
B.有最大值,也有最小值
C.无最大值,但有最小值
D.既无最大值,也无最小值
【解析】选D.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上单调递减,无最大值和最小值.
3.已知函数f(x)=
+2ln
x,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围
是__________.?
【解析】由f(x)=
+2ln
x,得f′(x)=
,
又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,
令f′(x)=0,得x=-
(舍去)或x=
.
当0时,f′(x)<0;
当x>
时,f′(x)>0.故x=
是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且
f(
)=ln
a+1.要使f(x)≥2恒成立,需ln
a+1≥2恒成立,则a≥e.
答案:[e,+∞)(共47张PPT)
6.3 利用导数解决实际问题
核心互动探究
探究点一 平面几何中的最值问题
【典例1】(1)如图所示,半径为2的☉M切直线AB于点O,射线OC从OA出发绕着O点
顺时针旋转到OB,旋转过程中,OC交☉M于P,记∠PMO为x,弓形PnO的面积为
S=f(x),那么f(x)的图像是如图中的
( )
(2)将边长为1
m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=
,则S的最小值是
( )
【思维导引】建立函数模型,应用导数求最值.
【解析】(1)选A.由所给的图示可得,当x≤π时,弓形PnO的面积为S=f(x)=S扇形PnO-S△MPO=2x-2sin
x,其导数为f′(x)=2-2cos
x,由余弦函数的性质知,此值越来越大,即f(x)的图像上升得越来越快,由此可以排除B,C;再由所给图示的对称性知,弓形PnO的面积先是增加得越来越快,然后是增加得越来越慢,直到增加率为0,由此可以排除D.
(2)选A.如图所示,设AD=x
m(0则DE=AD=x
m,
所以梯形的周长为x+2(1-x)+1=(3-x)m,
又S△ADE=
x2(m2),所以梯形的面积为
(m2),所以S=
×
(0于是S′=
,
令S′=0得x=
或3(舍去),当x∈
时,S′<0,S递减,当x∈
时,S′>0,S
递增.故当x=
时,S的最小值是
.
【类题通法】
1.利用导数解决优化问题的基本思路
2.关于平面图形中的最值问题
平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形,主要研究与面积相关的最值问题,一般将面积用变量表示出来后求导数,求极值,从而求最值.
【定向训练】
如图是一块地皮OAB,其中OA,AB是直线段,曲线段OB是抛物线的一部分,且点O是
该抛物线的顶点,OA所在的直线是该抛物线的对称轴.经测量,OA=2
km,AB=
km,
∠OAB=
.现要从这块地皮中划一个矩形CDEF来建造草坪,其中点C在曲线段OB
上,点D,E在直线段OA上,点F在直线段AB上,设CD=a
km,矩形草坪CDEF的面积为
f
km2.
(1)求f
,并写出定义域.
(2)当a为多少时,矩形草坪CDEF的面积最大?
【解析】(1)以O为原点,OA边所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
过点B作BG⊥OA于点G,在直角△ABG中,AB=
,∠OAB=
,所以AG=BG=1,又因为
OA=2,所以OG=1,则B
,设抛物线OCB的标准方程为y2=2px,代入点B的坐标,得
p=
,所以抛物线的方程为y2=x.
因为CD=a,所以AE=EF=a,则DE=2-a-a2,
所以f
=a
=-a3-a2+2a,定义域为
.
(2)f′
=-3a2-2a+2,令f′
=0,得a=
.当0时,f′
>0,
f
在
上单调递增;
当
<0,f
在
上单调递减.所以当a=
时,
f
取得极大值,也是最大值.
探究点二 立体几何中的最值问题
【典例2】请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x
cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
【解析】设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),
由已知得a=
x,h=
=
(30-x),0(1)因为S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1
800,
所以当x=15时,S取得最大值.
(2)根据题意有V=
(60-2x)=2
x2(30-x)(0所以V′=6
x
,
由V′=0得,x=0(舍)或x=20.
所以当x∈
时V′>0;当x∈
时V′<0,所以当x=20时取得极大值,也是
最大值,此时包装盒的高与底面边长的比值为
,即包装盒
的高与底面边长的比值为
.
【类题通法】关于立体几何中的最值问题
(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积,在此基础上解决与实际问题相关的问题.
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求值过程.
【定向训练】
如图所示的某种容器的体积为90π
cm3,它是由圆锥和圆柱两部分组合而成的,
圆柱与圆锥的底面圆半径都为r
cm.圆锥的高为h1
cm,母线与底面所成的角为
45°;圆柱的高为h2
cm.已知圆柱底面造价为2a元/cm2,圆柱侧面造价为a元/cm2,
圆锥侧面造价为
a元/cm2.
(1)将圆柱的高h2表示为底面圆半径r的函数,并求出定义域.
(2)当容器造价最低时圆柱的底面圆半径r为多少?
【解析】(1)因为圆锥的母线与底面所成的角为45°,所以h1=r,
圆锥的体积为V1=
πr2h1=
πr3,圆柱的体积为V2=πr2h2.因为V1+V2=90π,
所以V2=πr2h2=90π-
πr3,所以h2=
.因为V1=
πr3<90π,
所以r<3
.因此0.
所以h2=
,定义域为{r|0}.
(2)圆锥的侧面积S1=πr·
r=
πr2,
圆柱的侧面积S2=2πrh2,底面积S3=πr2.
容器总造价为y=
aS1+aS2+2aS3=2πr2a+2πrh2a+2πr2a=2πa(r2+rh2+r2)
=
令f(r)=r2+
,则f′(r)=2r-
.令f′(r)=0,得r=3.
当0时,
f′(r)>0,f(r)在(3,
)上为单调递增的.因此,当且仅当r=3时,f(r)有
最小值,即y有最小值,为90πa元.
所以总造价最低时,圆柱的底面圆半径为3
cm.
探究点三 实际生活中的最值问题
【典例3】树人中学高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动,决定对某商
场销售的商品A进行市场销售量调研,通过对该商品一个阶段的调研得知,发现
该商品每日的销售量g(x)(单位:百件)与销售价格x(元/件)近似满足关系式
g(x)=
+2(x-5)2,其中2售出该商品10百件.
(1)求函数g(x)的解析式.
(2)若该商品A的成本为2元/件,根据调研结果请你试确定该商品销售价格的值,使该商场每日销售该商品所获得的利润(单位:百元)最大.
【思维导引】(1)由题意将(3,10)代入函数解析式,建立方程,即可求出g(x)的解析式.
(2)商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润,可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数,再用求导数的方法讨论函数的单调性,得出函数的极大值点,从而得出最大值对应的x值.
【解析】(1)由题意,10=
+2(3-5)2,解得a=2,故g(x)=
+2(x-5)2
(2(2)商场每日销售该商品所获得的利润为y=h(x)=(x-2)g(x)=2+2(x-5)2(x-2)
(22(x-5)2=6(x-3)(x-5).列表得x,y,y′的变化情况:
由表可得,x=3是函数h(x)在区间(2,5)内的极大值点,也是最大值点.
x
(2,3)
3
(3,5)
y′
+
0
-
y
单调递增
极大值
单调递减
【类题通法】(1)利润最大问题是生活中常见的一类问题,一般根据“利润=收入-成本”建立函数关系式,再利用导数求最大值.
解此类问题需注意两点:①价格要大于或等于成本,否则就会亏本;②销量要大于0,否则不会获利.
(2)在解决面积、体积的最值问题时,要正确引入变量,将面积或体积表示为关于变量的函数,结合使实际问题有意义的变量的范围,利用导数求函数的最值.
(3)选取合适的量做自变量,并根据实际确定其取值范围,正确列出函数关系式,然后利用导数求最值.其中把实际问题转化为数学问题,正确列出函数关系式是解题关键.
【定向训练】
1.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种
植一斤藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=-
x3+
ax2+
x
(x是莲
藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万斤,利润是2.5万
元,则要使利润最大,每年需种植莲藕
( )
A.6万斤
B.8万斤
C.3万斤
D.5万斤
【解析】选A.由题意,设销售的利润为g(x),
得g(x)=-
x3+
ax2+
x-1-
x,
即g(x)=-
x3+
ax2-1,
当x=2时,g(2)=-1+
a-1=
,
解得a=2,
故g(x)=-
x3+
x2-1,
则g′(x)=-
x2+
x=-
x·(x-6),
可得函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减,所以x=6时,利润最大.
2.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比
为
( )
【解析】选A.设锅炉的高h与底面直径d的比为
k=
,由V=
h=
·kd=
kd3,
可得d=
,h=kd=
,
设造价为y,则y=2π·
·a+πdh·b=
则y′=
令y′=0,解得k=
,
可得此时y取得最小值.
故当造价最低时锅炉的高与底面直径的比为
.
3.(2020·江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如
图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO′为铅垂线(O′在AB上),经测量,
左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式
h1=
a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间
满足关系式h2=-
b3+6b.已知点B到OO′的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF.且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价
k(万元)(k>0),问O′E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?
【解析】(1)过A,B分别作MN的垂线,垂足为A′,B′,
则AA′=BB′=-
×403+6×40=160(米).
令
a2=160,得a=80,所以AO′=80,AB=AO′+BO′=80+40=120(米).
(2)设O′E=x,则CO′=80-x,由
,得0设总造价为y,则y=
=
(x3-30x2+160×800),
y′=
(3x2-60x)=
x(x-20),
因为k>0,所以令y′=0,得x=0或x=20,
所以当0当200,y单调递增.
所以,当x=20时,y取最小值,即当O′E为20米时,造价最低.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.有一长为16
m的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积
为( )
A.4
m2
B.8
m2
C.12
m2
D.16
m2
【解析】选D.设矩形一边长为x(0m2.
2.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2·
(0容积最大时,x的值为
( )
A.30
B.40
C.50
D.60
【解析】选B.V(x)=-
x3+30x2,V′(x)=-
x2+60x,
令V′(x)=0,得x=40(x=0舍去),且当0V′(x)>0,当403.有矩形铁板,其长为6,宽为4,现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子,要使容积最大,则x=________.?
【解析】如图所示,则折叠后的长方体长为6-2x,宽为4-2x,高为x,体积V=x
,x∈
,则V=x
=4
,
V′=4
,令V′=0,
解得x=
,
,则当x∈
时,V′>0,V单调递增,
当x∈
时,V′<0,V单调递减,所以当x=
时取到最大值.
答案:
4.某厂生产某种产品x件的总成本C(x)=1
200+
x2(单位:万元),又知产品
单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定
为________件时总利润最大.?
【解析】设产品单价为m,因为产品单价的平方与产品件数x成反比,所以
m2=
,(其中k为非零常数),又生产100件这样的产品单价为50万元,所以
502=
,故k=250
000,记生产x件产品时,总利润为f(x),
所以f(x)=mx-C(x)=500
-1
200-
x2,x>0,则f′(x)=
x,由
f′(x)>0得0225,故函数f(x)在
上单调递增,
在
上单调递减,因此当x=225时,f(x)取得最大值.
即产量定为225件时,总利润最大.
答案:225(共36张PPT)
阶段复习课
第二课 导数及其应用
网络体系构建
【答案速填】
①瞬时变化率
②运动的瞬时速度
③曲线的切线斜率
④基本初等函数求导
⑤导数的运算法则
⑥函数的极值与最值
易错案例警示
易错点一 理解导数的概念不透彻而出现错误
【案例1】若一辆汽车从静止到速度为100
km/h只用了8
s,则它的平均加速度大约为______m/s2(精确到0.01)
( )?
A.3.47
B.12.5
C.34.72
D.1.25
【解析】选A.因为速度的改变量为Δv=100
000/3
600
,时间的改变量为
Δt=8
s,所以它的平均加速度
≈3.47
.
【错因探究】本题中,出错原因有:(1)不知道速度的改变量与时间的改变量的比值是平均加速度,(2)单位没有换算,直接用100除以8算出结果为B.
【避错警示】准确理解平均速度,平均加速度,函数的平均变化率以及瞬时速度,瞬时变化率(导数)的概念,还有要注意实际问题中的单位要统一.
易错点二 导数的几何意义掌握不好而出现错误
【案例2】已知曲线y=x+ln
x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=________
.?
【解析】由y′=1+
可得曲线y=x+ln
x在点(1,1)处的切线斜率为2,故切线方
程为y=2x-1,与y=ax2+(a+2)x+1联立得ax2+ax+2=0,显然a≠0,
所以由Δ=a2-8a=0?a=8.
答案:8
【错因探究】本题中,出错原因有:(1)导数计算错误;(2)不能区分“在”“过”;
(3)不能掌握函数在某点处的导数,就是函数图像在这个点处的切线斜率.
【避错警示】(1)熟练掌握求导公式及求导法则,是解决导数问题的前提.
(2)牢记导数的几何意义:f′(x0)是曲线y=f(x)在点x0处的切线斜率.
易错点三 求导公式、复合函数求导法则混淆导致错误
【案例3】讨论函数f
=logax-ln
a2x
的单调性.
【解析】函数的定义域为
,f′
=
-2ln
a=
,
因为ln
a≠0,所以1-2
x=0,
解得x=
.
下面对a分类讨论:
当a>1时,ln
a>0,所以在区间
上,f′
>0,f
单调递增,在区间
上,f′
<0,
f
单调递减.
当0a<0,所以在区间
上,
f′
<0,f
单调递减,在区间
上,
f′
>0,f
单调递增.
【错因探究】本题中,出错原因有:(1)求导公式记错,(2)求导数时运算错误.
【避错警示】熟记求导公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则,计算准确无误.
易错点四 利用导数研究函数的单调性时忽略定义域而出现错误
【案例4】已知函数f(x)=x2-5x+2ln
x,则函数f(x)的单调递增区间是____________.?
【解析】函数求导可得f′(x)=2x-5+
(x>0),当f′(x)=
>0,即(2x-1)(x-2)>0,
解得x>2或0,
综上所述,f(x)的单调递增区间是
和(2,+∞).
答案:
和(2,+∞)
【错因探究】本题中,容易出现增区间为
,(2,+∞)的错误,原因是忽略
了函数的定义域是
.
【避错警示】解答函数的单调性问题,应该首先确定函数的定义域,否则写出的单调区间易出错;另外,函数的单调区间不能出现“并”的错误写法.
易错点五 利用导数研究函数的极值时忽略导数的符号改变而出现错误
【案例5】对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是
( )
A.-1是f(x)的零点
B.1是f(x)的极值点
C.3是f(x)的极值
D.点(2,8)在曲线y=f(x)上
【解析】选A.若选项A错误,则选项B,C,D正确,f′(x)=2ax+b,因为1是f(x)的极
值点,3是f(x)的极值,
所以
即
解得:
因为点(2,8)在曲线y=f(x)上,所以
4a+2b+c=8,即4a+2×(-2a)+a+3=8,解得:a=5,所以b=-10,c=8,
所以f(x)=5x2-10x+8,
因为f(-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=23≠0,
所以-1不是f(x)的零点,
所以选项A错误,选项B,C,D正确,故选A.
【错因探究】本题中,不能掌握函数的导数为零与极值的关系而出错.
【避错警示】掌握:(1)可导函数在极值点处的导数为零,反之不成立.(2)可导函数的极值点的个数等于导数的变号零点个数.
易错点六 因忽视对所得参数进行检验而致误
【案例6】若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,试求a,b的值.
【解析】由导数公式表和求导法则得,
f′(x)=3x2+2ax+b,
依题意得
即
解得
或
但由于当a=-3,b=3时,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上单调递增,
不可能在x=1处取得极值,
所以
不符合题意,应舍去.
而当
时,经检验知符合题意,故a,b的值分别为4,-11.
【错因探究】由于函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件,而非充分条件.因此,本题在解答时很容易忽略对得出的两组解进行检验而出错.
【避错警示】根据极值条件求参数的值的问题中,在得到参数的两组解后,应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验,探究每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值,从而进行取舍.
易错点七 求最值时因忽略极值与区间端点值的对比致误
【案例7】求函数f(x)=x3-2x2+1在区间[-1,2]上的最大值与最小值.
【解析】由已知得f′(x)=3x2-4x.
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=
.
当x∈(-1,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈
时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈
时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以函数f(x)在x=0处取得极大值f(0)=1,
在x=
处取得极小值f
.
又f(-1)=-2,f(2)=1,
所以函数f(x)的最大值是1,最小值是-2.
【错因探究】求出函数的极值后,要与区间端点的函数值进行比较方可确定函数的最值,否则会出现错误.
【避错警示】若连续函数y=f(x)在[a,b]上为单调函数,则其最值必在区间端点处取得;若该函数在[a,b]上不单调,即存在极值点,则最值可能在端点处取得,也可能在极值点处取得.
易错点八 因没有注意问题的实际意义而出错
【案例8】某船由甲地逆水行驶到乙地,甲、乙两地相距s(km),水的流速为常量a(km/h),船在静水中的最大速度为b(km/h)(b>a),已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比,比例系数为k,则船在静水中的航行速度为多少时,其全程的燃料费用最省?
【解析】设船在静水中的航行速度为x
km/h,全程的燃料费用为y元,
由题设可得y=f(x)=
·kx2=sk·
,x∈(a,b],
所以y′=sk·
,令y′=0,得x=2a或x=0(舍).
(1)当2a≤b时,若x∈(a,2a),则y′<0,f(x)单调递减,若x∈(2a,b],则y′>0,f(x)单调递增,
所以当x=2a时,ymin=4ask.
(2)当2a>b时,y′=sk·
,
当x∈(a,b]时,y′<0,所以f(x)在(a,b]上是减函数,
所以当x=b时,ymin=sk·b2·
.
综上可知,若b<2a,则当船在静水中的速度为b
km/h时,燃料费用最省;
若b≥2a,则当船在静水中的速度为2a
km/h时,燃料费用最省.
【错因探究】这个实际问题的定义域为(a,b],而x=2a为函数的极值点,是否在(a,b]内不确定,所以需要分类讨论,否则会出现错误.
【避错警示】在运用导数解决实际问题的过程中,正确建立数学模型,找到实际问题中函数定义域的取值范围.