7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（Word含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
若a，b∈R，i是虚数单位，a+2020i=2?bi，则a2+bi=? (??? )
A. 2020+2i B. 2020+4i C. 2+2020i D. 4?2020i
给出下列说法：
①若a∈R，则(a+1)i是纯虚数；
②若a，b∈R且a>b，则a+i3>b+i2；
③若(x2?1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中说法正确的是? (??? )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
设x∈R，i是虚数单位，则“x=2”是“复数Z=(x2?3x+2)+(x+2)i为纯虚数”的(????)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
已知复数z1=m+(4?m2)i(m∈R)，z2=2cos?θ+(λ+3sin?θ)i(λ,θ∈R)，并且z1=z2，则λ的取值范围为? (??? )
A. ?7,916 B. 916,7 C. [?1,1] D. ?916,7
给出下列说法，其中正确说法的个数是(????)
①如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么这两个复数相等；
②若a，b∈R且a>b，则ai>bi；
③如果复数x+yi是实数，则x=0，y=0；
④复数a+bi不是实数．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知方程x2+4x+4+(a+x)i=0(a∈R)有实根b，且z=a+bi，则复数z等于? (??? )
A. 2?2i B. 2+2i C. ?2+2i D. ?2?2i
如果z=m(m+1)+(m2?1)i为纯虚数，则实数m的值为(????)
A. 1 B. 0 C. ?1 D. ?1或1
(多选题)对于复数z=a+bi(a,b∈R)，下列结论错误的是? (??? )
A. 若a=0，则a+bi为纯虚数 B. 若a?bi=3+2i，则a=3，b=2
C. 若b=0，则a+bi为实数 D. i2=?1
(多选题)下列命题中，错误的是(????)
若x，y∈C，则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1
B. 若a，b∈R且a>b，则a+i>b+i
C. 若x2+y2=0，则x=y=0
D. z=3?2i的虚部为?2
二．填空题
已知α，β∈R，z1=cosα?45+isinα?35，z2=cosβ+isinβ，且z1=z2，则cos(α?β)=_______．
若实数x，y满足(x+y)?(x?y)i=2，则xy的值是_______．
已知x，y∈R，(3x+y)+(2x?y)i=(7x?5y)+3i，则x=??????????，y=??????????．
已知z1=?4a+1+(2a2+3a)i，z2=2a+(a2+a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为_________．
定义运算abcd=ad?bc，如果x，y∈R，(x+y)+(x+3)i=3x+2yi?y1，那么x=??????????，y=??????????．
已知集合M={1,2，(a2?3a?1)+(a2?5a?6)i}，N={?1,3}，若M∩N={3}，则实数a=________．
已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n，且z=m+ni，则复数z=_________．
三．解答题
分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x?1+(y+1)i=x?y+(?x?y)i；
(2)x2?x?6x+1+(x2?2x?3)i=0．
如果log12m+n?m2?3mi>?1，求自然数m，n的值．
实数m分别为何值时，复数z=2m2+m?3m+3+m2?3m?18i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
已知复数z1=m+(4?m2)i，z2=2cos?θ+(λ+3sinθ)i，λ、m∈R，θ∈0,π2，z1=z2，求λ的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查复数的概念，属于基础题.根据复数相等可得a，b的值，即可求解．
【解答】
解：因为a+2020i=2?bi，所以a=2，b=?2020，
所以a2+bi=4?2020i．
故选D．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了命题真假的判定、复数的概念，解题时逐一分析即可，属于基础题．
【解答】
解：对于①，若a=?1时，(a+1)i=0是实数，故错；
对于②，若a，b∈R且a>b，a+i3是虚数不能比较大小，故错；
对于③，(x2?1)+(x2+3x+2)i是纯虚数时，则x2?1=0且x2+3x+2≠0，解得x=1，故错；
对于④，两个虚数不能比较大小，正确．
所以D正确．
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：由x=2，得x2?3x?2=22?3×2?2=0，x+2=2+2=4．
而由x2?3x+2=0x+2≠0，得x=1或2．
所以“x=2”是“复数Z=(x2?3x+2)+(x+2)i为纯虚数”的充分不必要条件．
故选：A．
由x=2能得到复数复数Z=(x2?3x+2)+(x+2)i为纯虚数为纯数，反之，复数Z=(x2?3x+2)+(x+2)i为纯虚数得到x=2或1，则答案可求．
本题考查了复数的基本概念，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，复数为纯虚数的充要条件是不等于0且虚部不等于0，是基础题．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的运算，以及三角函数的性质．
由复数相等的条件得λ=4?4cos2θ?3sinθ=4(sinθ?38)2?916，利用二次函数的性质求解．
【解答】
解：由z1=z2，得m=2cosθ，4?m2=λ+3sinθ，
得λ=4?4cos2θ?3sinθ
=4sin2θ?3sinθ
=4(sinθ?38)2?916，
当sinθ=38时，λ?有最小值?916，
当sinθ=?1时，λ?有最大值7，
得λ∈[?916,7]．
故选D．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查复数的基本概念，复数的相等，属于基础题．
直接利用复数的基本概念，复数的相等对各选项逐一进行判定即可．
【解答】
解：对于①，如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么这两个复数相等，满足复数相等的条件，所以①正确;
对于②，因为只有两个复数都是实数时才能比较大小，所以②不正确;
对于③，如果复数x+yi是实数，只需y=0即可，所以③不正确;
对于④，当a∈R，b=0时，a+bi是实数，所以④不正确．
故选A．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，复数的相等，是基础题．
把b代入方程，化简利用复数相等的条件，求a，b即可得到复数z．
【解答】
解：∵方程x2+4x+4+(a+x)i=0(a∈R)有实根b，
∴(b2+4b+4)+(b+a)i=0．
故b2+4b+4=0且b+a=0，
∴b=?2，a=2，z=2?2i，
故选A．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得：
m(m+1)=0m2?1≠0，
解得：m=0，
故选：B．
根据纯虚数的定义判断即可．
本题考查了纯虚数的定义，考查对应思想，是一道基础题．
8.【答案】A， B
【解析】
【分析】
本题考查复数的相关概念，属于基础题．
立足复数的相关概念对各选项逐一展开判定即可．
【解答】
解：A，根据纯虚数概念，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数，故A不正确；
?B，若a?bi=3+2i，即a+?bi=3+2i，则a=3,b=?2.故B不正确；
C，若b=0，则a+bi为实数，故C正确；
D，由虚数单位的定义i2=?1，故D正确．
故选AB．
9.【答案】A B C
【解析】
【分析】
本题主要考查复数的概念、复数相等的充要条件等，属于基础题.根据复数的概念、复数相等的充要条件逐个判断即可．
【解答】
解：对于A，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x+yi的实部和虚部，故A是假命题；
对于B，由于两个虚数不能比较大小，故B是假命题；
C是假命题，如12+i2=0，但1≠0，i≠0；
对于D，由复数的概念知是正确的．
故选ABC．
10.【答案】12
【解析】
【分析】
本题考查了复数的相等应用，解题时由z1=z2推出cosα?45=cosβ,sinα?35=sinβ,再进行求解即可，属于基础题．
【解答】
解：由复数相等的充要条件，知cosα?45=cosβ,sinα?35=sinβ,即cosα?cosβ=45①,sinα?sinβ=35②.
由①2+②2得2?2(cos?α·cos?β+sin?α·sin?β)=1，即2?2cos(α?β)=1，所以cos(α?β)=12．
所以答案为12．
11.【答案】1
【解析】
【分析】
本题主要考查复数相等的应用，属于基础题．
根据复数相等的列方程组求解可得．
【解答】
解：由题意得，∴(x+y)?(x?y)i=2，x+y=2x?y=0,x=1,y=1,xy=1,
故答案为：1．
12.【答案】94 ， 32
【解析】
【分析】本题考查了复数相等的充要条件，由复数相等的充要条件得3x+y=7x?5y,2x?y=3,解出即可．
【解答】解：∵x，y是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，
可得3x+y=7x?5y,2x?y=3,解得x=94,y=32.
13.【答案】0
【解析】
【分析】本题考查复数为实数的条件，属于基础题．
由z1>z2，可得两复数为实数，且?4a+1>2a，即可得出a的范围．
【解答】
解：∵z1>z2，
∴2a2+3a=0,a2+a=0,?4a+1>2a,即a=0或a=?32,a=0或a=?1,a<16.
故a=0．
14.【答案】?1， 2
【解析】
【分析】
本题考查了复数相等的充要条件，由新定义得3x+2yi?y1=3x+2y+yi，由复数相等的充要条件得出方程组，解出即可．
【解答】
解：由abcd=ad?bc，得3x+2yi?y1=3x+2y+yi，
故(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi．
因为x，y为实数，
所以x+y=3x+2yx+3=y解得x=?1y=2,
故答案为?1；2
15.【答案】?1
【解析】
【分析】
本题考查复数相等的充要条件，交集的运算，属于基础题，
解题时根据M∩N={3}可知，3∈M，然后得到(a2?3a?1)+(a2?5a?6)i=3，即可得到实部为3，虚部为零，依次解出a的值．
【解答】解：由M∩N={3}知，3∈M，即有(a2?3a?1)+(a2?5a?6)i=3，
所以a2?3a?1=3,a2?5a?6=0,解得a=?1．
故答案为?1．
16.【答案】3?i
【解析】
【分析】
本题考查复数相等的条件．
由题意得n2+(m+2i)n+2+2i=0，? 即n2+mn+2+(2n+2)i=0.根据复数相等，得到m，n的方程，解得m，n的值，即可得到答案．
【解答】
由题意知n2+(m+2i)n+2+2i=0，? 即n2+mn+2+(2n+2)i=0，
由复数相等可得n2+mn+2=0,2n+2=0,
解得m=3,n=?1,即z=3?i．
故答案为3?i
17.【答案】解：(1)∵x,y∈R，且2x?1+(y+1)i=x?y+(?x?y)i，
∴由复数相等的条件得2x?1=x?yy+1=?x?y,
解得x=3y=?2．∴x=3,y=?2;
(2)∵x∈R且，
∴由复数相等的条件得x2?x?6x+1=0x2?2x?3=0,
解得x=3．
【解析】本题考查由复数相等求参数的取值，属于基础题．
(1)由已知得到2x?1=x?yy+1=?x?y求解即可;
(2)由已知得到x2?x?6x+1=0x2?2x?3=0求解即可．
18.【答案】解：因为log12(m+n)?(m2?3m)i>?1，
所以log12(m+n)?(m2?3m)i是实数．
从而有m2?3m=0,①log12(m+n)>?1,②
由①得，m=0或m=3．
由②得，0当m=0时，得0当m=3时，得?3综上可得，m=0，n=1．
【解析】本题考查复数概念以及对数不等式的求解，属于基础题．
因为只有实数才能比较大小，所以m2?3m=0，得到m的值，然后代入对数中解不等式，再根据n为自然数得到n的值．
19.【答案】解：(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0．
故若使z为实数，则m2?3m?18=0m+3≠0，
解得m=6.所以当m=6时，z为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0．
故若使z为虚数，则m2?3m?18≠0，且m+3≠0，
所以当m≠6且m≠?3时，z为虚数．
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0．
故若使z为纯虚数，则2m2+m?3=0m+3≠0m2?3m?18≠0,
解得m=?32或m=1．
所以当m=?32或m=1时，z为纯虚数．
【解析】本题考查复数的概念，属于基础题。
(1)复数为实数则有虚部为零即可，还要注意分母不为零，可解出m的值；
(2)复数为虚数，则虚部不为零，分母不为零，解出m即可；
(3)复数为纯虚数则复数的实部为0，虚部不为0，分母不为零，解出m即可．
20.【答案】解：∵z1=z2，
∴由两复数相等的充要条件得m=2cosθ4?m2=λ+3sinθ，
∴λ=4?4cos2θ?3sinθ=4sin2θ?3sinθ
=4(sinθ?38)2?916，
∵θ∈0,π2，∵sinθ∈[0,1]．
由二次函数的性质知λ∈[?916,1]．
∴λ的取值范围是[?916,1]．
【解析】本题考查了两复数相等的充要条件、二次函数的单调性、正弦函数的图象与性质等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
利用两复数相等的充要条件得m=2cosθ4?m2=λ+3sinθ，消去m，再利用二次函数的单调性、正弦函数的图象与性质即可得出．