6.4.3 余弦定理、正弦定理的综合应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（word含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册
6.4.3 余弦定理、正弦定理的综合应用 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sinB?sinC)2=sin2A?sinBsinC，a=23，b=2，则?ABC的面积为(????)
A. 2 B. 23 C. 4 D. 43
有一长为10?m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是(????)
A. 5 B. 10 C. 102 D. 103
某人在C点测得某塔在南偏西80°方向上，塔顶A的仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10?m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为(????)
A. 15?m B. 5?m C. 10?m D. 12?m
如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4?km的C，D两点，测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°(A,B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为(????)
A. 853?km B. 4153km C. 2153km D. 25km
已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos?2A=0，a=7，c=6，则b等于? (??? )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 5
如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20000m，速度为900km/?，飞行员先看到山顶的俯角为30?，经过80s后又看到山顶的俯角为75?，则山顶的海拔高度为(????)
A. 5000(3+1)m B. 5000(3?1)m C. 5000(3?3)m D. 5000(5?3)m
如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60m，则河流的宽度BC是(????)
A. 2403?1m B. 1802?1m C. 1203?1m D. 303+1m
如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°方向，距离202海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)方向的C处，且cosθ=45.已知A，C之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为? (??? )
A. 485海里/小时 B. 385海里/小时
C. 27海里/小时 D. 46海里/小时
在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，B=45°，S△ABC=2，则?ABC外接圆的直径为? (??? )
A. 5 B. 43 C. 52 D. 62
如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(????)
A. 北偏东10° B. 北偏西10°
C. 南偏东80° D. 南偏西80°
如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平线，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角∠CAD的大小是(? ? )
A. 30? B. 45?
C. 60? D. 75?
如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB=45?，再沿AC方向前行20(3?1)米到达D点，测得∠ADB=30?，则塔高为(????)
403米 B. 203米 C. 40米 D. 20米
二．填空题
在?ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=______．
如图，为测量塔的高度，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到达点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进103米后到达点E，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为_________米．
在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2=ac且cosB=34．
(1)则1tanA+1tanC的值为_________；
(2)设BA?BC=32，则a+c的值为_________．
台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40千米处，则B城市处于危险区内的时间为_______小时．
如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°，∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100?m，则MN=_______m．
在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知?ABC的面积为315，b?c=2，cosA=?14，则a的值为__________.
三．解答题
在?ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，角C是钝角，且sinB=b2c．
(Ⅰ)求角C的值；
(Ⅱ)若b=2，?ABC的面积为3，求c的值．
某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为15°的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一水平面上，若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N?(异于村庄A)，要求PM=PN=MN=2(单位：千米).如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．
答案和解析
一．选择题
1.【答案】B
【解析】解：∵(sinB?sinC)2=sin2A?sinBsinC，
∴sin2B+sin2C?2sinBsinC=sin2A?sinBsinC，
∴由正弦定理可得b2+c2?2bc=a2?bc，可得b2+c2?a2=bc，
∴由余弦定理可得cosA=b2+c2?a22bc=bc2bc=12，由A∈(0,π)，可得A=π3，
∵sinA=32，
∵a=23，b=2，
∴由正弦定理可得sinB=b?sinAa=2×3223=12，由b∴C=π?A?B=π2，
∴△ABC的面积S=12ab=12×23×2=23．
故选：B．
由已知利用平方差公式，正弦定理，余弦定理可求cosA=12，由A∈(0,π)，可得A=π3，由正弦定理可得sinB=12，由b本题主要考查了平方差公式，正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题的考点是解三角形的实际应用，主要考查正弦定理的应用，考查三角形模型的构建，属于中档题．
由题意画出图形，利用正弦定理求出坡底要延长的距离AB即可．
【解答】
解：由题意可知PA=10，∠PAO=75°，
∠B=30°，∠BPA=45°，
如图：∠PAB=180°?75°=105°，
由正弦定理ABsin45°=PAsin30°，
可得AB=10×sin45°12=102．
即坡底要延长102m.
故选C．
3.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解三角形的实际应用以及余弦定理的应用，属于中档题．
作出图形，设塔高为??m.在Rt△AOC中，∠ACO=45°，则OC=OA=?．
在Rt?AOD中，∠ADO=30°，则OD=3?.在△OCD中，运用余弦定理，建立h的方程，解得h的值，即可得到答案．
【解答】
解：如图所示，设塔高为??m．
在Rt?AOC中，∠ACO=45°，则OC=OA=?．
在Rt?AOD中，∠ADO=30°，则OD=3?．
在?OCD中，∠OCD=120°，CD=10．
由余弦定理，得OD2=OC2+CD2?2OC·CDcos∠OCD，
即，
所以h2?5??50=0，
解得?=10或?=?5(舍)．
故选C．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了计算求解能力和转化思想，是中档题．
在?ACD中由正弦定理可求AD的值，在?BCD中由正弦定理可求BD的值，再在?ABD中由余弦定理可求AB的值．
【解答】
解：由已知，?ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，可得∠CAD=30°，
由正弦定理，得，
所以；
?BCD中，∠CDB=75°，∠BCD=45°，可得∠CBD=60°，
由正弦定理，得，
所以；
?ABD中，由余弦定理，得
AB2=AD2+BD2?2AD?BD?cos∠ADB=48+323?2×43×463×22=803，
解得：AB=4153，
则两目标A，B间的距离为4153km．
故选：B．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cosA的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．
【解答】
解：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A?1=0，
∴cos2A=125，A为锐角，
∴cosA=15，
又∵a=7，c=6，
根据余弦定理得：a2=b2+c2?2bc?cosA，
∴49=b2+36?125b，
∴解得：b=5或b=?135(舍去)，
∴b=5．
故选D．
6.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正弦定理与直角三角形的边角关系应用问题，属于中档题．
根据题意画出图形，结合图形利用正弦定理和直角三角形的边角关系，即可求出山顶的海拔高度．
【解答】
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
由题意知∠A=30?，∠CBD=75?，
则∠ACB=45?，AB=900×80×13600=20(km)．
∴在?ABC中，由正弦定理，得BC=102(km)．
∵CD⊥AD，
∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin75?=102sin75?=5+53(km)．
山顶的海拔高度为[20?(5+53)]km=5000(3?3)m．
故选C．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．
【解答】
解：如图，∠DAB=15°，
∵tan15°=tan(45°?30°)=2?3．
在Rt?ADB中，又AD=60，∴DB=AD?tan15°=120?603．
在Rt?ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD?tan60°=603．
∴BC=DC?DB=603?(120?603)=120(3?1)(m)，
∴河流的宽度BC等于120(3?1)m．
故选C．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查解三角形的应用，余弦定理的应用，属于中档题．
根据条件求出cos∠BAC，以及利用余弦定理求出BC的长度是解决本题的关键．
【解答】
解：∵cosθ=45，
∴sinθ=35，由题意得∠BAC=45°?θ，
即cos∠BAC=cos(45°?θ)=22×(45+35)=7210，
∵AB=202，AC=10，
∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2?2AB?ACcos∠BAC，
即BC2=(202)2+102?2×202×10×7210=800+100?560=340，
即BC=340=285，
设船速为x，
则12x=285，
∴x=485(海里/小时)，
故选A．
9.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正余弦定理的应用，三角形面积公式，考查运算化简的能力，属于基础题，先由三角形面积公式求得c=42，由余弦定理求得b=5，利用正弦定理可得．
【解答】
解：∵S△ABC=2，
．
∴12×1×c×22=2，
∴c=42．
false
∴b2=12+(42)2?2×1×42×22=25，
∴b=5．
设△ABC的外接圆半径为R．
，
．
故选C．
10.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解三角形的实际应用，解答此类题需要正确画出方位角．
根据图正确表示出方位角，即可求解．
【解答】解：由条件及题图可知，∠A=∠B=40°，
又∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，所以∠DBA=10°，
因此灯塔A在灯塔B南偏西80°．
11.【答案】B
【解析】
【分析】本题为解三角形的题目，考查利用余弦定理解三角形，题目基础．
首先分别求得AD2=4000，AC2=4500，进而利用余弦定理求得cos∠CAD的值，即可求解．
【解答】
解：AD2=602+202=4000，
AC2=602+302=4500．
在△CAD中，由余弦定理，得cos∠CAD=AD2+AC2?CD22AD?AC=22，
故∠CAD=45?．
故选B．
12.【答案】D
【解析】
【分析】本题为解三角形实际应用问题，题目基础．
首先设出关键量AB=x，在直角三角形中利用30°角的正切值求解即可．
【解答】
解：Rt?ABC中，设AB=x，
则由∠ACB=45?可知AC=x，
在Rt?ABD中，AD=x+20(3?1)，∠ADB=30?，
∴xx+20(3?1)=tan30?，即x+20(3?1)x=3，
解得x=20．
则塔高为20米．
故选D．
13.【答案】23
【解析】
【分析】
此题考查了三角形面积公式，以及同角三角函数的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．
由cosC的值，利用同角三角函数的基本关系求出sinC的值，利用三角形面积公式列出关系式，把a，sinC以及已知面积代入求出b的值即可．
【解答】
解：∵?ABC中，cosC=13，
∴sinC=1?cos2C=223，
∵a=32，S△ABC=43，
∴12absinC=43，
即12×32b×223=43，
解得：b=23，
故答案为：23．
14.【答案】15
【解析】
【分析】
本题考查余弦定理、解三角形的实际应用，属于中档题．
根据题意求出PE=DE=103，在三角形PDE中，由余弦定理得cos2θ=PD2+DE2?PE22PD·DE，求出，利用sin4θ=PAPE，即可求出结果．
【解答】
解：∵∠CPD=∠EDP?∠DCP=2θ?θ=θ，??
∴PD=CD=30，∠DPE=∠AEP?∠EDP=4θ?2θ=2θ，????
∴PE=DE=103，
在三角形PDE中，由余弦定理得
cos2θ=PD2+DE2?PE22PD·DE=302+1032?10322×30×103=32，
由图可以2θ为锐角，
，
，
∴sin4θ=PAPE=32，
∴PA=PE·sin4θ=103×32=15．
故答案为15．
15.【答案】(1)477? ；(2)3
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于基础题．
先求sinB=1?342=74，再有正弦定理得sin2B=sin?A sin?C，切化弦得1tan?A+1tan?C=cos?Asin?A+cos?Csin?C=1sinB，；
由BA?BC=32，得accosB=32，再利用余弦定理得(a+c)2=9，解得．
【解答】
解：(1)由cosB=34，B∈(0,π)，得sinB=1?342=74.?
由b2=ac及正弦定理，得sin2B=sin?A sin?C.?
于是1tanA+1tanC=cosAsinA+cosCsinC=sinCcosA+cosCsinAsinAsinC=
sin(A+C)sin2B=sinBsin2B=1sinB=477．
由BA?BC=32，有accosB=32，
∴ac=2，
又由b2=ac及余弦定理，得a2+c2?b2=2accos?B，?
即a2+c2?2=3，a2+2ac+c2=2ac+5，
得(a+c)2=9，
∴a+c=3．
16.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，设AP=x千米，根据余弦定理得出PB2=AP2+AB2?2AP·AB·cos?A，即x2?402x+700=0，结合根与系数的关系求出|x1?x2|，即可求出结果．
【解答】
解：设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，设AP=x千米，
在?ABP中，PB2=AP2+AB2?2AP·AB·cos?A，
即302=x2+402?2x·40cos?45°，得x2?402x+700=0，
设方程x2?402x+700=0的两根为x1，x2，
则x1+x2=402，x1x2=700，
故|x1?x2|2=(x1+x2)2?4x1x2=400，即|x1?x2|=20，
故B城市处于危险区内的时间为2020=1(小时)．
故答案为1．
17.【答案】150
【解析】
【分析】
本题考查了解三角形的实际应用，考查了正弦定理，属于中档题．
在三角形ABC中，由正弦定理得MAsin60°=ACsin45°，解得MA=1003?m，在三角形MNA中，MN1003=sin60°=32，可得山高MN的值．
【解答】
解：在三角形ABC中，AC=1002?m，
在三角形MAC中，MAsin60°=ACsin45°，解得MA=1003?m，
在三角形MNA中，MN1003=sin60°=32，
故MN=150?m，即山高MN为150?m．
故答案为150．
18.【答案】8
【解析】
【分析】
本题主要考查利用余弦定理解三角形，首先通过sin2A+cos2A=1，以及sinA为正数求出sinA，再结合S△ABC=315，和b?c=2，求出b、c的值，从而解得答案，难度较易，属于基础题．
【解答】
解：因为?ABC的面积为315，即，
由题意知b?c=2，
又sin2A+cos2A=1．
故，
联立解得b=6，c=4(负数舍去)，
由余弦定理，得，
解得a=8(负数舍去)．
故答案为8．
19.【答案】解：(Ⅰ)由sinB=b2c得2csinB=b，由正弦定理得：2sinCsinB=sinB，
所以sinB(2sinC?1)=0，…(3分)
因为sinB≠0，
所以sinC=12，
因为C是钝角，
所以C=5π6.??…(6分)
(Ⅱ)因为S=12absinC=12a=3，a=23，…(9分)
由余弦定理得c2=a2+b2?2abcosC=12+4?2×23×2×(?32)=28，
所以c=27，即c的值为27.???????…(12分)
【解析】(Ⅰ)由正弦定理化简已知可得sinB(2sinC?1)=0，由sinB≠0解得sinC=12，结合C是钝角，即可解得C的值．
(Ⅱ)由已知及三角形面积公式可求a的值，由余弦定理即可解得c的值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：在?BCD中，∠BDC=30°+15°=45°，
∠CBD=180°?45°?105°=30°，CD=106，
由正弦定理，得BC=CDsin45°sin30°=203；
在Rt?ABC中，AB=BCsin?60°=203×32=30(米)．
所以升旗速度v=ABt=3050=0.6(米/秒)．
【解析】本题考查解三角形的实际应用及正弦定理，属于基础题．
根据题意可求得，∠BDC=45°，∠CBD=30°，CD=106，然后利用正弦定理求得BC，最后在Rt?ABC中利用AB=BCsin?60°求得答案．
21.【答案】解：设∠AMN=θ，在?AMN中，MNsin60?=AMsin(120??θ)．
因为MN=2，所以AM=433sin(120°?θ).? ? ? ? ? ? ? ?
在?APM中，cos∠AMP=cos(60°+θ).? ? ? ? ? ? ? ? ?
AP2=AM2+MP2?2AM?MP?cos∠AMP
=163sin2(120°?θ)+4?2×2×433?sin(120°?θ)?cos(60°+θ)? ? ? ? ?
=163sin2(θ+60°)?1633?sin(θ+60°)?cos(θ+60°)+4
=83[1?cos?(2θ+120°)]?833?sin(2θ+120°)+4
=?83[3sin(2θ+120°)+cos?(2θ+120°)]+203
=203?163sin(2θ+150°)，θ∈(0,120°).? ? ? ? ? ? ? ? ?
当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23．
答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．
【解析】设∠AMN=θ，在△AMN中，求出AM，在?APM中，利用余弦定理，建立函数，利用辅助角公式化简，即可得出结论．
本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简，正确构建函数是关键．