6.4.3 1余弦定理-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（Word含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册
6.4.3 1．余弦定理 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=c=22a，则角A等于? (??? )
A. π2 B. π4 C. π3 D. 2π3
在?ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2=ac，则B的取值范围是(????)
A. (0,π3] B. [π3,π) C. (0,π6] D. [π6,π)
在△ABC中，cos2B2=a+c2c，则?ABC是(??? )
A. 正三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则AB?BC的值为? (??? )
A. 79 B. ?69 C. 5 D. ?5
已知?ABC是等腰直角三角形，AB⊥AC，点D在线段BC的延长线上，若BC=AD=22，则CD=? (??? )
A. 1 B. 2 C. 6?3 D. 6?2
在?ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bcos?A+acos?B=c2，a=b=2，则?ABC的周长为? (??? )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 7.5
已知ΔABC的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉x米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则x的取值范围是(??)
A. 0C. 1在圆内接四边形ABCD中，AB=136，BC=80，CD=150，DA=102，则圆的直径为(????)
A. 170 B. 180
C. 8605 D. 前三个答案都不对
已知?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ca+b+ab+c=1，则角B的大小为? (??? )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
?ABC的三边长分别为|AB|=7，|BC|=5，|CA|=6，则AB?BC?的值为(????)
A. 19 B. 14 C. ?18 D. ?19
(多选题)已知?ABC中，三边a，b，c满足1a+b+1b+c=3a+b+c，则? (??? )
B=30° B. cosB=12 C. B=60° D. sinB=12
二．填空题
在钝角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=3，则最长边c的取值范围是_______．
在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a+b?c)·(a+b+c)=ab，则角C的大小为_________．
在?ABC中，若a=3，b=4，c=6，则bccos?A+cacos?B+abcos?C的值为_________．
在?ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则A=??????????，AC边上的高为??????????．
三．解答题
已知a、b、c分别为?ABC内角A，B，C的对边，cosC=c+2b2a．
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)已知点D在BC边上，DC=2BD=2，AC=3，求AD．
在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1)若(a+b+c)(a+b?c)=3ab，求角C的大小；
(2)若BM是AC边上的中线，求证：BM=122(a2+c2)?b2．
在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a2+2c2?2b2+3ac=0．
(1)求cosB的值;
(2)求sin(2B+π4)的值．
答案和解析
一．选择题
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属基础题；
直接运用余弦定理即可解题．
【解答】
解：因为在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=c=22a，
所以cosA=b2+c2?a22bc=2b2?(2b)22b2=0，
所以A=π2.故选A．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查余弦定理，基本不等式，属于基础题．
由余弦定理求出cosB的范围，即可得解．
【解答】
解：由余弦定理及b2=ac，
得cosB=a2+c2?b22ac=a2+c2?ac2ac
≥2ac?ac2ac=12，
当且仅当a=c时等号成立，
∵0．
故选A．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的形状判断，正弦定理及三角恒等变换，属于中档题．
根据二倍角公式和正弦定理化简，结合三角形内角的范围得出答案．
【解答】
解：∵cos2B2=a+c2c，
∴1+cosB2=sinA+sinC2sinC=sinA2sinC+12，
∴sinA=sinCcosB，
又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC=0，
∴sinB=0或cosC=0，
∵0∴sinB≠0，cosC=0，
∴C=π2．
∴△ABC是直角三角形，
故选B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了余弦定理，以及平面向量数量积的运算，注意AB?BC的夹角是，而不是B．
【解答】
解：由AB=5，BC=7，AC=8，根据余弦定理得：，
又|AB|=5，|BC|=7，
则，
故选D．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
根据余弦定理求解即可．
【解答】
解：由题意可得∠ACD=135°，AC=2，
所以cos135°=CD2+4?84CD=?22，
即CD2+22CD?4=0，
解得CD=?2?6(舍去)或CD=6?2，
故选D．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查余弦定理的应用．
利用余弦定理进行化简求出c的值，继而求周长．
【解答】
解：
由题意bcosA+acosB=c2可利用余弦定理化简得b×b2+c2?a22bc+a×a2+c2?b22ac=2c22c=c2，
解得c=1，
周长为2+2+1=5．
故选A．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意得：截取后三角形的三边长为(4?x)米，(5?x)米，(6?x)米，且长为(6?x)米所对的角为α，α为钝角，
∴cosα=(4?x)2+(5?x)2?(6?x)22(4?x)(5?x)<0，
整理得：(x?1)(x?4)<0，
解得：1∵4?x>0，5?x>0，6?x>0，且4?x+5?x>6?x，
∴0则x的范围为1故选：C．
根据题意表示出截取后三角形的三边长，设最大角为α，利用余弦定理表示出cosα，利用余弦定理表示出cosα，根据α为钝角，得到cosα小于0，即可确定出x的范围．
此题考查了余弦定理，以及三角形边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了解三角形，涉及余弦定理的应用，属于基础题．
利用余弦定理计算可得结论．
【解答】
解：∵1502+802=1362+1022，即CD2+BC2=AB2+DA2，
∴在?BCD和?ABD中，
由余弦定理得BD2=BC2+DC2?2BC·DCcos∠BCD
=BA2+DA2?2BA·DAcos∠BAD，
∴BC·DCcos∠BCD=BA·DAcos∠BAD，
又∠BAD+∠BCD=π，∴cos∠BAD=?cos∠BCD，
∴cos∠BAD=cos∠BCD=0，
即，
∴圆的直径为BD，BD=BC2+DC2=170．
故选A．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
先对ca+b+ab+c=1通分化简得c2+a2?b2=ac，再由余弦定理可得．
【解答】
解：∵ca+b+ab+c=1，∴c(b+c)+a(a+b)(a+b)(b+c)=1，
∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，∴cb+c2+a2+ab=ab+b2+bc+ac，
∴c2+a2?b2=ac，故cosB=c2+a2?b22ac=ac2ac=12，
∵B∈(0°,180°)，∴B=60°，
故选B．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查余弦定理，数量积公式的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
利用余弦定理求出cosB，利用数量积公式求出结论．
【解答】
解：由题意，cosB=49+25?362×7×5=1935，
∴AB?BC=7×5×(?1935)=?19．
故选：D．
11.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
由已知化简可得a2+c2?b2=ac，再由余弦定理可得结果．
【解答】
解：由1a+b+1b+c=3a+b+c得(a+2b+c)(a+b+c)=3(a+b)(b+c)，
整理得a2+c2?b2=ac，
cos?B=a2+c2?b22ac=ac2ac=12，
因为，
故B=60°．
故选BC．
二．填空题
12.【答案】(10,4)
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的边角关系，余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，是简单题．
由a与b的值，利用三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出c的取值范围，然后再由三角形ABC为钝角三角形，得到cosC小于0，利用余弦定理表示出cosC，把a与b的值代入，根据cosC小于0列出关于c的不等式，求出不等式的解集，取c范围的公共部分，即可得到最大边c的取值范围．
【解答】
解：∵a=1，b=3，
∴3?1又△ABC为钝角三角形，∴cosC<0，
∴根据余弦定理得cosC=a2+b2?c22ab<0，
即a2+b2?c2<0，即c2>10，
解得：c>10，
∴10则最大边c的取值范围是(10,4)．
故答案为：(10,4)．
13.【答案】120°
【解析】
【分析】?
本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．
先对(a+b?c)·(a+b+c)=ab化简，再由余弦定理求得答案．
【解答】
解：由(a+b?c)(a+b+c)=ab，得(a+b)2?c2=ab，
∴c2=a2+b2+ab=a2+b2?2abcos?C，
∴cosC=?12，∴C=120°．
故答案为120°．
14.【答案】612
【解析】
【分析】
本题主要考查利用余弦定理的变式变形，达到用已知来表示未知的目的．
利用余弦定理的变式化角为边，进行化简．
【解答】
解：由余弦定理，bccosA+cacosB+abcosC
=bc×b2+c2?a22bc+ca×a2+c2?b22ac+ab×a2+b2?c22ab
=a2+b2+c22=9+16+362=612
故答案为612．
15.【答案】π3 ， 332
【解析】
【分析】
本题主要考查余弦定理和同角三角函数的基本关系，是基础题．
根据余弦定理求出cosA，可得sinA，结合A的范围求得A，从而可得边AC上的高．
【解答】
解：在三角形ABC中，AB=3，?BC=13，AC=4，?
∴由余弦定理，得cosA=?AB2+AC2?BC22AB·AC=12．
∴?sinA=1?cos2A=32，又0因此，边AC上的高
．
故答案为?π3,332.?
三．解答题
16.【答案】解：(Ⅰ)在?ABC中，由余弦定理得：，
化简得a2=b2+c2+bc，
所以，
又A∈(0,π)，所以A=2π3；
(Ⅱ)依题意BC=BD+DC=3，在△ABC中，
由正弦定理，，
即，解得，
又B∈(0,π)，故B=π6或5π6，
又因为A=2π3，故B=π6，从而C=π6，
所以AB=AC=3，
在△ABD中，由余弦定理，，
即32=3+1?AD223×1，解得AD2=1，
又因为AD>0，故AD=1．
【解析】本题主要考查正余弦定理的应用，属于中档题．
(Ⅰ)利用余弦定理有，化简得a2=b2+c2+bc，根据余弦定理即可求解．
(Ⅱ)根据题意有BC=BD+DC=3，根据正弦定理可求得，又A=2π3，结合B的范围即可求得B=π6，
则C=π6，则AB=AC=3，根据余弦定理即可求解．
17.【答案】解：(1)∵(a+b+c)(a+b?c)=3ab，
∴(a+b)2?c2=3ab，可得：a2+b2?c2=ab，
∴cosC=a2+b2?c22ab=ab2ab=12，
∵C∈(0,π)，
∴C=π3．
(2)设BM=x>0，∠BMC=α，则∠AMB=π?α，
在?BCM中，由余弦定理可得：cosα=x2+(b2)2?a22?x?b2=x2+b24?a2bc，
在?ABM中，同理可得：cos(π?α)=x2+b24?c2bx，
∵cos(π?α)+cosα=0，可得：x2+b24?a2bc+x2+b24?c2bx=0，
∴2x2+b22?(c2+a2)=0，x2=2(a2+c2)?b24，
∵x>0，
∴x=122(a2+c2)?b2，
∴BM=122(a2+c2)?b2．
【解析】(1)由已知可得a2+b2?c2=ab，利用余弦定理可求cosC=12，结合范围C∈(0,π)，可求C的值．
(2)设BM=x>0，∠BMC=α，则∠AMB=π?α，由余弦定理可得x2+b24?a2bc+x2+b24?c2bx=0，解得x的值，即可得证．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵由2a2+2c2?2b2+3ac=0，
∴得a2+c2?b2=?32ac，
∴由余弦定理得；
(2)∵由，B∈(0,π)，
∴得，
，
，
=22(?378+18)
=2?31416．
【解析】本题考查了解三角形的余弦定理，两角和的正弦公式，以及二倍角公式的应用，属于中档题．
(1)由题意，利用余弦定理，得到；
(2)由同角三角函数关系，得，化简可得．