6.4.3 2正弦定理 第2课时-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（word含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册
6.4.3 正弦定理第 2课时 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：__________学号：___________
一．选择题
在?ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2+4S=b2+c2，则角A为? (??? )
A. 45° B. 60° C. 120° D. 150°
在?ABC中，A=60°，a=13，则a+b+csinA+sinB+sinC等于(????)
A. 833 B. 2393 C. 2633 D. 23
在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出下列关系式：
①asin?B=bsin?A；②a=bcos?C+ccos?B；
③a2+b2?c2=2abcos?C；④b=csin?A+asin?C．
上述关系式一定成立的有? (??? )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
在?ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积为32，那么b等于(????)
A. 1+32 B. 1+3 C. 2+22 D. 23
在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(3,?1)，n=(cosA,sinA).若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角A，B的大小分别为?(? ? ?)
A. ?π6,π3 B. 2π3,π6 C. π3,π6 D. π3,π3
已知?ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(sin2A+sin2C?sin2B)?tanB=sinA?sinC，则B=(????)
A. π6 B. π3 C. π6或5π6 D. π3或2π3
在?ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若?ABC的面积为S，且43S=a+b2?c2，则sinC+π4=(????)
A. 1 B. 22 C. 6?24 D. 6+24
在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，B=45°，S△ABC=2，则?ABC外接圆的直径为? (??? )
5 B. 43 C. 52 D. 62
二．填空题
在?ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在线段AC上．若∠BDC=45°，则BD=? ? ??? ?，cos∠ABD=? ? ????．
?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cosA=45，cosC=513，a=1，则b=________．
在?ABC中，若A=60°，b=16，此三角形的面积S=2203，则a的值为_________．
在Rt?ABC中，C=90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a+b=cx，则实数x的取值范围是________．
三．解答题
?ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a?sin?Asin?B+b?cos2A=2a.
(1)求ba；?????????????
(2)若c2=b2+3a2，求B．
在?ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA+3cosA=2．
(1)求角A的大小；
(2)现给出三个条件：①a=2；②B=π4；③c=3b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积．(写出一种方案即可)
在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知向量m=(a,3b)与n=(cos?A,sin?B)平行．
(1)求角A的大小；
(2)若a=7,b=2,求?ABC的面积．
答案和解析
一．选择题
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了余弦定理的应用．要能熟练掌握余弦定理公式及其变形公式．用三角形面积公式表示出S，利用题设等式建立等式，进而利用余弦定理求得sinA和cosA的关系进而求得A．
【解答】
解：因为a2=b2+c2?2bccosA且a2+4S=b2+c2，
所以S=12bccos?A=12bcsin?A，
即sinA=cosA，
则tanA=1，
又0°所以A=45°．
故选A．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦定理及已知可得a=2393sinA，b=2393sinB，c=2393sinC，则a+b+csinA+sinB+sinC=2393(sinA+sinB+sinC)sinA+sinB+sinC=2393．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
【解答】
解：由正弦定理asinA=bsinB=csinC=1332=2393
∴a=2393sinA，b=2393sinB，c=2393sinC
则a+b+csinA+sinB+sinC=2393(sinA+sinB+sinC)sinA+sinB+sinC
=2393，
故选B．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查正余弦定理，比较容易.根据正余弦定理直接判断即可．
【解答】
解：对①：根据正弦定理有，所以，所以①正确；
对②：，?所以②正确；
对③：根据余弦定理可知，a2+b2?c2=2abcosC，可知③正确；
对④：由正弦定理知?sin?B?=?sin?Csin?A?+?sin?Asin?C?=?2sin?Asin?C?，所以④不一定成立．
故选C．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及勾股定理等知识．要求熟练掌握相应的公式和定理．先根据已知条件求出a，b，c的关系，再根据三角形的面积公式求出ac=6，利用余弦定理求出b的值．
【解答】
解：∵B=30°，?ABC的面积是32，
∴S=12acsin30°=12×12ac=32，
即ac=6，
∵2b=a+c，
∴4b2=a2+c2+2ac，①
则由余弦定理得b2=a2+c2?2ac×32，②
∴两式相减得3b2=2ac+2ac×32=12+63，
即b2=4+23，
即b=1+3，
故选B．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查向量数量积及向量垂直的充要条件，同时考查正弦定理及两角和与差的三角函数，考查学生计算能力，属于基础题．
根据向量垂直，可得，分析可得A，再根据正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=sin2C，进而可得sinC=sin2C，可得C，再根据三角形内角和定理可得B，进而可得答案．
【解答】
解：因为，所以，所以，
又，则A=π3，
由正弦定理，得
所以，所以，
因为0所以C=π2，B=π6．
故选C．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
由正弦定理，余弦定理化简已知等式可得2cosB?sinB=cosB，解得sinB=12，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．
【解答】
解：∵(sin2A+sin2C?sin2B)?tanB=sinA?sinC，
∴(sin2A+sin2C?sin2B)?sinB=sinA?sinC?cosB，
∴由正弦定理可得：(a2+c2?b2)sinB=ac?cosB，
∴由余弦定理可得：2ac?cosB?sinB=ac?cosB，可得：2cosB?sinB=cosB，
∴cosB=0(舍去)，或sinB=12，
∵B∈(0,π)，
∴B=π6或5π6．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查余弦定理，面积公式的综合应用，以及两角和差公式的应用，难度一般.由43S=a+b2?c2，求出，结合sin2C+cos2C=1解出，，则．
【解答】
解：∵S=12absinC,cosC=a2+b2?c22ab，
∴2S=absinC,a2+b2?c2=2abcosC，
代入已知等式得：43S=a+b2?c2=a2+b2?c2+2ab，即，
∵ab≠0，，
∵sin2C+cos2C=1，
∴解得：，，则．
故选D．
8.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正余弦定理的应用，三角形面积公式，考查运算化简的能力，属于基础题，先由三角形面积公式求得c=42，由余弦定理求得b=5，利用正弦定理可得．
【解答】
解：∵S△ABC=2，
．
∴12×1×c×22=2，
∴c=42．
∵b2=a2+c2?2accosB，
∴b2=12+(42)2?2×1×42×22=25，
∴b=5．
设△ABC的外接圆半径为R．
，
．
故选C．
二．填空题
9.【答案】1225; 7210
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理及两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
由正弦定理得，可求出BD，由即可求出cos∠ABD．
【解答】
解：在?ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
则AC=AB2+BC2=5，
sinC=45,cosC=35；sinA=35,cosA=45，
在?BCD中，由正弦定理得，即BD45=322，
则BD=1225；
则．
故答案为：1225；7210．
10.【答案】2113
【解析】
【分析】本题考查和差角公式，以及正弦定理，属较易题．
由已知，利用和差角公式sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC，由正弦定理asinA=bsinB求边长．
【解答】解：因为cosA=45，cosC=513，
所以sinA=35，sinC=1213，
从而sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC
=35×513+45×1213=6365．
由正弦定理asinA=bsinB，得b=asinBsinA=2113．
11.【答案】49
【解析】
【分析】
本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．
根据三角形面积公式求出c的值，再由余弦定理求出求出a的值．
【解答】
解：由12bcsin?A=2203得c=55，
所以a2=b2+c2?2bccos?A=2401，
所以a=49．
故答案为49．
12.【答案】(1,2]
【解析】
【分析】
本题是中档题，考查三角形的基本性质，勾股定理基本不等式的应用，考查计算能力．利用三角形的边的关系，以及勾股定理基本不等式，即可推出x的范围．
【解答】
解：因为在Rt?ABC中，∠C=90°，且角A、B、C所对的边a、b、c，
所以有a+b>c，即a+b=cx>c，∴x>1，因为a2+b2=c2，
所以a+b=cx化为(a+b)2=(a2+b2)x2，
x2=a2+b2+2aba2+b2≤2(a2+b2)a2+b2=2；
x≤2，
综上x∈(1,2],
故答案为(1,2]．
三．解答题
13.【答案】解：(1)由正弦定理得，sin2Asin?B+sin?Bcos2A=2sin?A，
???? 即sin?B(sin2A+cos2A)=2sin?A，
故sin?B=2sin?A，所以ba=2．
(2)由余弦定理和c2=b2+3a2，得cos?B=(1+3)a2c，
由(1)知b2=2a2，故c2=(2+3)a2，
可得cos2B=12，又cos?B>0，故cos?B=22，
所以B=45°.
【解析】本题主要考查正余弦定理，同角三角函数基本关系，属于中档题．
(1)利用正弦定理以及同角三角函数基本关系即可求解．
(2)利用余弦定理和c2=b2+3a2，可得cos?B=(1+3)a2c，结合b2=2a2，可得c2=(2+3)a2，
故cos2B=12，又cos?B>0，故cos?B=22，所以B=45°.
14.【答案】解：(1)依题意得2sin(A+π3)=2，即sin(A+π3)=1，
∵0∴π3∴A+π3=π2，
∴A=π6．
(2)选择①②由正弦定理asinA=bsinB，得b=asinA?sinB=22，
∵A+B+C=π，
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=24+64，
∴S=12absinC=12×2×22×2+64=3+1．
【解析】本题主要考查了正弦定理，三角形面积的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题中重要的两个定理，应熟练掌握．
(1)利用两角和公式对已知等式化简求得sin(A+π3)的值，进而求得A．
(2)选择①②利用正弦定理先求得sinC的值，进而利用三角形面积公式求得三角形的面积．
15.【答案】解：(1)∵m//n，∴asinB?3bcosA=0，
由正弦定理，得sinAsinB?3sinBcosA=0，
又sinB≠0，∴tanA=3，
由于0(2)由余弦定理，得a2=b2+c2?2bccosA，
∵a=7，b=2，A=π3，
∴7=4+c2?2c，即c2?2c?3=0，
解得c=3或?1，
∵c>0，∴c=3，∴S△ABC=12bcsinA
=12×2×3×32=332．
【解析】本题考查了平面向量共线的充要条件，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，向量与三角形的综合应用，解题的关键是掌握平行向量的性质和三角形的面积公式，属于中档题．
(1)先根据平行向量的坐标表示，得到asinB?3bcosA=0，再由正弦定理得到sinAsinB?3sinBcosA=0，由sinB≠0可得tanA的值，即可求出角A的大小；
(2)先由已知利用余弦定理可得c的值，再利用三角形的面积公式进行计算，即可求出△ABC的面积．